数学练习题考试题高考题教案第2讲 递推数列、数列求和、数学归纳法

数学练习题#考#高考题第2讲 递推数列、数列求和、数学归纳法 2 1. 能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。 Sn(1),,12.能利用S与a的关系解题。 a,nn,nSSn,(2)?,,nn1 3.了解递推关系是给出数列的一种方法，能通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差 数列或等比数列问题来解决。 4. 理解“归纳－猜想－数学归纳法证明”的解题思想。 能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。 通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差数列或等比数列问题。 1. 设3n，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得f(x),(x,1)，1 的值为： ． f(,4)，？，f(0)，？，f(5)，f(6) nan2.若满足a，，则= （ ） ,(n,2)a,241n,1an，1 442（A） （B）1 （C） （D） 353 2222n3. 若n{}aaaaa，，，，,S,,21, 则．的前项和123nnn 1设数列{a}的前n项和为S,且S,(1，,),,a,其中,,,1,0 nnnn 1（）证明：数列{a} 是等比数列；n 12（）设数列qf,(),{a}{b}{}bb,b，=f (b)(n*,n?2),?N求数列的公比，数列满足的nn-12nnn1 通项公式； 13（）记Ca,,(1){}C,,1n ，，求数列的前项和Ｔ．nnnnbn 1设{}b{}aab,,1ab，,21是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，1135nn ab，,13． 53 （?）求{}b{}a，的通项公式； nn anS{}的前n项和． nbn （?）求数列 *2已知数列{a}的前n项和为S，且成等差数列，na,,N,1．函数,1,,San1nnn，1 ． fxx()log,3 （I）求数列{a}的通项公式； n 1（II）设数列b,满足，记数列的前n项和为T，试比较 {}b{}bnnnn(3)[()2]nfa，，n 525n，的大小． T与,n12312 '2已知二次函数{}afxx()62,,yfx,()的图象经过坐标原点，其导函数为，数列n ,nS(,)()nSn,Nyfx,()的前项和为，点均在函数的图象上． nn (1)求数列{}a的通项公式； n 3m,(2)设{}bTnb,，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小n,NT,nnnnaa20nn，1 正整数m. 23设xp,xpxq,，,0{}x,,，为实数，是方程的两个实根，数列满足，pq，1n 2xpq,,xpxqx,,{}xp,1，（…）．（1）求数列的通项公式；（2）若，n,34，，2nnn,,12n1q,{}xSn，求的前项和． nn4 nn，,13在数列aaan,,，，,,2(2)2()，,,,N中，，其中． a,,0,,11nn，n （?）求数列的通项公式； a,,n nS的前项和； a,,nn （?）求数列 1*4已知各项全不为零的数列{a}的前k项和为S，且S＝N），其中a=1． (aak,kkk1kk，12（?）求数列{a}的通项公式； k bkn,k，1（?）对任意给定的正整数n（n?2），数列{b}满足,（k=1，2，…，n-1），b=1． 求k1bakk，1b+b+…+b.． 12n x4已知Aab()，ye,aa,S{}an（）是曲线上的点，，是数列的前n,N*nnn1nn 222SnaS,，3a,0项和，且满足，，…． n,234，，，1nnn,n ,,bn，2（I）证明：数列（）是常数数列； n?2,,bn,, （II）确定a{}a的取值集合，使时，数列是单调递增数列. MaM,n Sn(1),,11.利用S与a的关系解题要注意分类讨论。 a,nn,nSSn,(2)?,,nn1 2.求递推数列的通项的分析方法有：（1）构造新数列（等差或等比）；（2）累加法、累乘法、迭代法等；（3）归纳－猜想－数学归纳法证明。 3.数列求和常见的四种方法：倒序相加、裂项相消、错位相减、分解求和。 1. 若数列1a,,,a满足：且，则 （ ） ,,a1a,2n，1n12009an 1（A）－1 （B）1 （C）2 （D） 22.已知数列{}a{}a满足，a,a，2a，3a，？，(n,1)a，则时，数列的通a,1n,2nnn123n,11 项（ ） a,n (1)!n，n!（A） （B） （C） （D）(1)!n，n! 22 Aa745n，nn,{}bB{}an和的前项和分别为A和，且，则使得nnnnBn，3bnn 3. 已知两个等差数列n为整数的正整数的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 223212n,4.的值为 ． 1234(1),，,，，,n an5. 由给出数列的第34项是 ． {}a,,1,aan11，n31a，n 4S44SSn126.已知正项数列S{}aa,的前n项和为，且，，，,S，则 ． nnnnaaa，，，222n127. 数列c{a}a,2aacn,，aaa，，n,123，，，中，，（是常数，），且成公比不为n1nn，1123 1 的等比数列． I（）求c 的值； II（）求{a} 的通项公式．n 8. (0,0),(1,0),(0,2)P,OBC的各个顶点分别为，设为线段1 POPPOC的中点，为线段的中点，为线段的中BC132 点．对每一个正整数PnP,PP为线段的中点．令的n，3nnn，1 1坐标为(,)xyayyy,，， ，．nnnnnn，，122 ,1 （）求a,a,aan,(),N 及；123n y,n 2（）证明：yn,,,1,()N ，n44 , 3（）记{b}byyn,,,,()N ，证明：是等比数列．，nnnn444 2 Sn(1),,11. 能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。 与a的关系解题。 a,nn,nSSn,(2)?,,nn1 2.能利用S3.了解递推关系是给出数列的一种方法，能通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差 数列或等比数列问题来解决。 能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。 通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差数列或等比数列问题。 1. 设3n，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得f(x),(x,1)，1 的值为： 11 ． f(,4)，？，f(0)，？，f(5)，f(6) 解：课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法即为“倒序相加法”． 令 ? f(,4)，f(,3)，？，f(0)，？，f(5)，f(6),S 则也有 ? f(6)，f(5)，？，f(2)，？，f(,3)，f(,4),S 33由f(x)，f(2,x),(x,1)，1，(1,x)，1,2可得：，于是由f(,4)，f(6),f(,3)，f(5),？,2??两式相加得，所以． S,112S,11，2nan2.若满足，，则a= （ C ） ,(n,2)a,241n,1an，1 442（A） （B）1 （C） （D） 353 12222nn3. 若n{}aaaaa，，，，,S,,21(41),, 的前项和则．123nnn3 1设数列{a}的前n项和为S,且S,(1，,),,a,其中,,,1,0 nnnn 1（）证明：数列{a} 是等比数列；n 12（）设数列qf,(),{a}{b}{}bb,b，=f (b)(n*,n?2),?N求数列的公比，数列满足的nn-12nnn1 通项公式； 13（）记Ca,,(1){}C,,1n ，，求数列的前项和Ｔ．nnnnbn (1)解：由SaSan,，,,,，,,(1)(1)(2),,,, nnnn,,11 a,n 相减得：aaan,,，？,,,,,(2),{}a ?数列是等比数列nnn,1n1，a,n,1 b,11n(2)fb(),1,,？,,,， n，，11,bbbnnn,,11 1111{},2,，,,，2(1)1nn？？,b1? 是首项为，公差为的等差数列，．．nbbb1n，1nn 111nn,,11(3) ,(),(1)()aCan,？,,, 时，nnn,,1b22n 11121n,12()3()()？,，，，，Tn ? n222 1111123n()2()3()()Tn,，，，， ? n22222 111111231nn, ??－得：1()()()()()Tn,，，，，，, n222222 11111111231nnnn, 1()()()()()2(1())()？,，，，，，,,,,Tnn n22222222 11nn 所以：4(1())2()Tn,,, ．n22 1设{}b{}a是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且ab,,1，ab，,21，1135nn ab，,13． 53 （?）求{}b{}a，的通项公式； nn an（?）求数列S{}的前n项和． nbn 4,1221，，,dq，,解：（?）设{}b{}aq,0的公差为，的公比为，则依题意有且 qd,nn21413，，,dq，,, nn,,11解得bq,,2andn,，,,,1(1)21，q,2．所以，． d,2nn a21n,352321nn,,n（?）,．，? S,，，，，，1nn,1nn1221,,b22222n 52321nn,,，? 223S,，，，，，nnn,,32222 22221n,?－?得， S,，，，，，,22nnn221,,2222 1,1n,121n,11121n,23n，2． ,，，,22,，，，，，，,22(1),,6n,1221nn,,n,112222221,2 *2已知数列{a}的前n项和为S，且成等差数列，na,,N,1．函数,1,,San1nn，1n ． fxx()log,3 （I）求数列{a}的通项公式； n 1（II）设数列b,满足，记数列的前n项和为T，试比较 {}b{}bnnnnnfa，，(3)[()2]n 525n，的大小． T与,n12312 解：（I）,1,,Sa成等差数列，？,,21Sa当时，21Sa,,． n,2nn，1nn，1nn,1 an，1?－?得：？3a,a？,3.2()SSaa,,,，， nnnn,，11nn，1an a2当n=1时，由?得？,？,a3,3,？,,,221Saa， 又a,1, 21121a1 an,12？,？,a3,3,？,a3.？{}a是以3为公比的等比数列， 2nna1 n,1n,1 （II）fxxfan()log,()log31,？,,,？,,,,faan()loglog31，， 33nnn33 11111b,,,,()， nnfannnn，，，，，，(3)[()2](1)(3)213n 1111111111111 ()？,,，,，,，,，，,，,Tn224354657213nnnn，，， 525n，11111,,,,，,,() 122(2)(3)nn，，22323nn，， 525n，比较T与,的大小，只需比较2(2)(3)nn，，与312 的大小即可． n12312 22 又2(2)(3)3122(56156)2(5150)nnnnnn，，,,，，,,，,,，,2(15)(10)nn 525n，**??当时， n,N,19,,,nn且N2(2)(3)312,;nnT，，,,,即n12312 525n，当时， 2(2)(3)312,;nnT，，,,,即n,10n12312 525n，*当时，． nn,,10且N2(2)(3)312,nnT，，,,,即n12312 '2已知二次函数{}a的图象经过坐标原点，其导函数为fxx()62,,，数列yfx,()n ,nS的前项和为，点(,)()nSn,N均在函数的图象上． yfx,()nn (1)求数列{}a的通项公式； n 3m,(2)设{}bTnb,，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小n,NT,nnnnaa20nn，1 正整数m. 2解:(1)设这二次函数f(x)＝ax+bx (a?0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 2a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x－2x. ,2又因为点(,)()nSn,NS均在函数yfx,()的图像上，所以＝3n－2n. nn 22当n?2时，，，a＝S－S＝（3n－2n）－＝6n－5. 31)2(1)（nn,,,－nnn1，， ,2当n＝1时，a＝S＝3×1－2＝6×1－5，所以，a＝6n－5（） n,N11n 33111(2)由(1)得知b,＝＝， (),naa(65)6(1)5nn,,,26561nn,，,,nn，1 n11111111，，故Tb(1)()...(),，,，，,＝＝＝（1－）. n,i,,77136561nn,，2261n，，，i,1 111mm,因此，要使(1－)<（n,N）成立的m,必须且仅须满足?，即m?10，261n，22020 所以满足的最小正整数m为10. 23（08广东卷）设xpxq,，,0{}x,,，为实数，是方程的两个实根，数列pq，n 2xpq,,xp,xpxqx,,{}x满足，，（…）．（1）求数列的通项公式；n,34，，21nnn,,12n 1（2）若q,{}xS，，求的前n项和． p,1nn4 【解析】（1）设xsxtxsx,,,()xstxstx,，,()，则，由nnnn,,,112nnn,,12 stp，,,xpxqx,,得， ,nnn,,12stq,, 22消去ss,,,,,spsq,，,0xpxq,，,0？s，得，是方程的根，由题意可知， t12 ss,,,,stp，,,,,12?当时，此时方程组的解记为 ,,,或,,,tt,,,,stq,,,,12 ？,,,xxxx,,,(),xxxx,,,,,,(), nnnn,,,112nnnn,,,112 即s,,s,,、分别是公比为、的等比数列， xtx,xtx,,,,,12nn11,nn21, n,2n,2由等比数列性质可得xxxx,,,,,,()xxxx,,,,,,(),, nn,121nn,121 nn,,22两式相减，得()()(),,,,,,,,,,,xxxxx n,12121 222xpqxp,,,,？,，，x,,,,x,，,,，， 2121 nnn,,222nnn,,222？,,,()xx,,,,,()xx,,,,,,,,， 2121 nnnn，，11,,,,,,nn？,？,xx？,,,(),,,,x，即， nnn,1,1,,,,,, 22?当xpxq,，,0？,,pq40,,,时，即方程有重根，， 22即()40stst，,,()0,stst,,？,，得，不妨设，由?可知 st,,, n,2nn,2xxxx,,,,,,()？,,,,xxxx,,,,(),,,，， nn,121nn,121 xxxxnnnn,1nn,1即？,，xx,,，等式两边同时除以，得,，1，即,,1 ,nn,1nn,1nn,1,,,, xn？数列{}是以1为公差的等差数列，n, xx2,nnn1？,，xn,,？,，,，,，,,，(1)111nnn, nn,,, nn，，11,,,,,(),,,,综上所述，x, ,,,,nnn,n,,,,，,,(), 11122q,xpxq,，,0，代入，得，解得 p,1xx,，,0,,,,442 11nn ？,，xn()()n（2）把22 11111111,,,,2323nnSn,，，，，，，，，，()()()...()()2()3()...() n,,,,22222222,,,, 11111,,nn23,,，，，，，n1()()2()3()...(),,22222,, 1111nnnn,1 ,,，,,,,，1()2()()3(3)()nn2222 nn，,13在数列aaan,,，，,,2(2)2()，,,,N中，，其中． a,,0,,11nn，n （?）求数列的通项公式； a,,n （?）求数列nS的前项和； a,,nn 222（?）解法一：a,，，,,，2(2)22,,,,， 2 223233a,，，，,,，,,,,,(2)(2)222， 3 334344a,，，，,,，,,,,,(22)(2)232． 4 nn由此可猜想出数列an,,，(1)2,的通项公式为． a,,nn 以下用数学归纳法证明． （1）当a,2时，，等式成立． n,11 kk（2）假设当ak,,，(1)2,时等式成立，即， nk,k kk，1kkkkk，，11那么aa,，，,,,,(2)2,,，，，,,,,,,(1)222k k，11 kk，，11,，,，[(1)1]2k,． nn这就是说，当an,,，(1)2,时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对nk,，1n ,任何n,N都成立． nn，,1解法二：由aan,，，,,,,,(2)2()N，， ,,0nn，1 nn，1aa22,,,,nn，1可得,,,，1， ,,,,nn，1,,,,,,,, nn,,a2a2,,,,,,nn,为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列,,,n1a,,,,n,,n,,,,,,,,,,,,,,n nn所以an,,，(1)2,的通项公式为． n 2341nn,（?）解：设Tnn,，，，，,，,,,,,,23(2)(1)， ? n 3451nn，,,,,,,Tnn,，，，，,，,23(2)(1) ? n 当时，?式减去?式， ,,1 21n，,,,2311nnn，，得(1)(1)(1),,，，，,,,,,,,,,,,Tnn， n1,,211212nnnn，，，，,,,,,,,,,,，(1)(1)nnnT,,,． n22(1)1(1),,,,,, nn，，212(1)nn,,，,,,n，1这时数列S,，,22n的前项和． an,,2n(1),, nn(1),nn(1),n，1当n时，．这时数列的前项和． T,S,，,22a,,1,,nnn22 1*4已知各项全不为零的数列{a}的前k项和为S，且S＝N），其中a=1． (aak,kkk1kk，12（?）求数列{a}的通项公式； k bkn,k，1（?）对任意给定的正整数n（n?2），数列{b,}满足（k=1，2，…，n-1），b=1． 求k1bakk，1b+b+…+b.． 12n 1（?）当a,1a,2，由及，得． aSaa,,k,11211122 11当aaaa()2,,时，由，得． aSSaaaa,,,,k?2kkkk，,11kkkkkkk,，,11122 因为a,0aa,,2amm,，,,,1(1)221，所以．从而． 21m,kkk，,11 **akk,,()Namm,，,,2(1)22，m,N．故． k2m bnknk,,k，1（?）因为ak,,,,,，所以． k1bak，kk，1 bbb(1)(2)(1)nknkn,，,，,k,1kk,12bb,,,(1)1 k1bbbkk(1)21,kk,,121 所以 1kk,1． (1)(12),,,Ckn，，，nn 11231nn,故，，bbbb，，，， (1),,，,，,CCCCnnnn123n，，n 11012nn，， 1(1),,,，,，,,CCCC,,nnnn，，nn x4已知Aab()，ye,aa,S{}an（）是曲线上的点，，是数列的前n,N*nnn1nn 222SnaS,，3a,0项和，且满足，，…． n,234，，，1nnn,n ,,bn，2（I）证明：数列（）是常数数列； n?2,,bn,, （II）确定{}aa的取值集合，使时，数列是单调递增数列. MaM,n 222解：（I）当SSna,,3时，由已知得． n?21nnn, 2因为SSn，,3aSS,,,0，所以． …… ? 1nn,nnn,1 2于是SSn，,，3(1)． ……? 1nn， 由?－?得aan，,，63． …… ? nn，1 于是aan，,，69． …… ? nn，，21 由?－?得aa,,6， …… ? nn，2 an，2,,bbeaa,6n，2n，2nn，2所以，即数列是常数数列． (2)n?ee,,,,,anbbe,,nn （II）由?有SS，,12aa，,15aa，,21aa,,122，所以．由?有，，所以2132432 aa,，32aa,,182，． 34 而 ?明：数列{}a{}aaa和分别是以，为首项，6为公差的等差数列， 2k21k，23所以aak,，,6(1)aak,，,6(1)aakk,，,,6(1)()N*，，， 22k213k，224k，数列{}a,,aaaaa,,是单调递增数列且对任意的成立． k,N*n1222122kkk，， akakak，,,，,,，,6(1)6(1)6(1),,aa且 23412 915,,,,aaaa． ,,,,，,,,,,aaaaa12232182123444 ,,915即所求a的取值集合是． Maa,,,,,44,, Sn(1),,11.利用S与a的关系解题要注意分类讨论。 a,nn,nSSn,(2)?,,nn1 2.求递推数列的通项的分析方法有：（1）构造新数列（等差或等比）；（2）累加法、累乘法、迭代法等；（3）归纳－猜想－数学归纳法证明。 3.数列求和常见的四种方法：倒序相加、裂项相消、错位相减、分解求和。 1. 若数列1a,,,a满足：且，则 （ D ） ,,a1a,2n，1n12009an 1（A）－1 （B）1 （C）2 （D） 22.已知数列{}a{}a满足，，则时，数列的通a,a，2a，3a，？，(n,1)aa,1n,2nn1n123n,1项（ ） a,n (1)!n，n!（A） （B） （C） （D）(1)!n，n! 22 解析：在na两边都加上，则有：na，a,a，即a,a，2a，3a，？，(n,1)annnn，1n123n,1 a，1n,n，1n,2a,a,1（*），当时，由得，由（*）取a,a，2a，3a，？，(n,1)a21n123n,1an an!n2，3，…，n累乘可得：,3，4，5，？，n,，即。 an22a Aa745n，nn3. 已知两个等差数列,{}bB{}an和的前项和分别为A和，且，则使得nnnnBn，3bnn n为整数的正整数的个数是（ D ） A．2 B．3 C．4 D．5 nn，(1)223212n,n,14.1234(1),，,，，,n的值为． ,,(1)2 a1n5. 由给出数列的第34项是． {}a,,1,aan11，n31a，100n 4S44SSn12S{}aa,的前n项和为，且，，，,S，则 2n ． nnnnaaa，，，22212n 6.已知正项数列 7. 数列c{a}a,2aacn,，aaa，，n,123，，，中，，（是常数，），且成公比不为n1nn，1123 1 的等比数列． I（）求c 的值； II（）求{a} 的通项公式．n I解：（）ac,，23a,2ac,，2 ，，，312 2因为aaa(2)2(23)，,，cc ，，成等比数列，所以，123 解得aaa,, 或．当时，，不符合题意舍去，故．c,0c,2c,0c,2123II（）当 时，由于n?2 aac,, ，21 aac,,2 ，32 …… aanc,,,(1) ，nn,1 nn(1),所以aancc,,，，，,,[12(1)] ．n12 2又a,2annnnn,，,,,，,2(1)2(23)，， ，，故．c,21n 2n=1当时，上式也成立，所以annn,,，,2(12)，， n 8. (0,0),(1,0),(0,2)P,OBC的各个顶点分别为，设为线段1 POPPOC的中点，为线段的中点，为线段的中BC132 点．对每一个正整数PnP,PP为线段的中点．令的n，3nnn，1 1坐标为(,)xyayyy,，， ，．nnnnnn，，122 ,1 （）求a,a,aan,(),N 及；123n y,n 2（）证明：yn,,,1,()N ，n44 ,{b}byyn,,,,()N ，证明：是等比数列．，nnnn444 13:(1) y解因为=y=y=1, y=,y=, a=a=a=2 所以得．12435123 3（）记24 yy，nn，1又由y,, n 对任意的正整数有n，32 yy，111nn，1ayy，，yyy，，yyy，，====a n+1n nn，，12nnn，，，123nnn，，122222 a恒成立，且=2, {a} a=2,(n) 所以为常数数列，为正整数1nn yy，y1nn，，12n?根据y,, =a=2, y=1- yyy，，及易证得nn+4n，4nnn，，12224 yy144n，4n?b因为=y-y=(1-)-(1-)=, ,bn+14n+84n+4n444 1y4b又由,=y-y=1-y=, ,184444 11{b所以,,} 是首项为，公比为的等比数列．n44 1.数列{}b{}aaSn为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且nnnn {}bab,,3,1bS,64，数列是公比为64的等比数列，. a1122n （1）求ab,； nn 1113（2）求证，，，,. SSS412n 解：（1）设{}b{}add的公差为，的公比为，则为正整数， qnn n,1bq,and,，,3(1)， nn 3，ndb,qad6n，1q,,,,6423(1)，,nd,依题意有bqa? ,n,Sbdq,，,22(6)64, 由(6)64，,dq1,2,3,6知为正有理数，故为的因子之一， qd6解?得dq,,2,8 n,1故annb,，,,，,32(1)21,8 nn Snnn,，，，，,，35(21)(2) n 1111111（2）?，，，,，，，， SSSnn，，，，132435(2)12n 11111111 ,,，,，,，，,(1)2324352nn， 11113 ,，,,,(1)22124nn，， 3,an,12.设数列{}a的首项． aan,,,(01)234，，，，，，…n1n2 （1）求{}a的通项公式； n （2）设bb,n，证明，其中为正整数． baa,,32nn，1nnn 3,an,1解：（1）由 an,,，，，，234…，n2 1 整理得 ． 1(1),,,,aann,12 1 又,1,a10,,a{1},a，所以是首项为，公比为的等比数列，得 11n2 n,11,, ,,,,1(1) aan1,,2,, （2）方法一： 3 由（1）可知b,00,,a，故． nn2 22 那么，bb, nn1， 22,,,,aaaa(32)(32)nnnn，，11 233,,aa,,,,2nn ,,，,,32(32)aa,,,,nn22,,,, 9a2n,,(1).an4 22 又由（1）知bb,,0a,0a,1且，故， 1nn，nn 因此 bbn,，为正整数． nn，1 方法二： 3由（1）可知01,,,aa，， nn2 3,an， a,，1n2 (3),aa因为nn所以 baa,,,32． nnn，，，1112 33,a,,n由a,1可得， aa(32),,nnn,,2,, 23,a,,2n即 aaa(32),,nnn,,2,, 3,an两边开平方得 ． aaa32,,nnn2 即 bbn,，为正整数． nn，1