带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数 第二课堂 带根号的数未必是无理数 带根号的数未必是无理数 鹿泉市获鹿镇第三中学 崔怀平 在新教材七数学第十章第三节讲到:“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义:“无限不循环小数又叫无理数。”例如:2 ， ，是无理数， =3.14159265......,也是无理数。时间一长，,3 有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。 无理数的定义是:“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。 我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率 =3.14159265((((((，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数;它是通过求极限的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如:0.101001000…..，(构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个)，显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。 342另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如:、、等，53 332，52,5但不是带根号的数就一定是无理数。例如:+，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。现在证明一下: 332，52,5设 x= + 3333,,两边3次方得:= 2，5，2,5x,,,, 32233333,,,,,,,2，5,2,5=+3+3+2，5,2，5,2,5,,,,,,,,,,,, 1 第二课堂 33,, 2,5,,,, 333,(2，5)(2,5),(2，5=2++3++2 2,5)5,5 3=4 ，3,4,5,x =4 ,3x 3即 x,4,3x 3 x，3x,4,0 3分解因式: x,x，4x,4,0 2 ，，，，xx,1，4x,1,0 ，，，，，，xx,1x，1，4x,1,0 ，，，，，，x,1xx，1，4,0 2 ，，，，x,1x，x，4,0 2在实数内无解 x，x，4,0 所以，x=1 332，52,5也就是说 +=1 ，它是一个有理数。 当然，让我们去判断一个较复杂的数是不是无理数是困难的，就是圆周率 也是经过很多数学家的努力，才用微分学证明了它是一个无理数。现在新课标，新教材对根式运算降低了要求，不必去运算和判断，但是我们要知道 :一是无理数不是开方才能得到～其他方式也可能产生无理数,二是很多带根号的数或式子是无理数～但是有些带根号的数却是有理数。 2