鸡兔同笼问题分解

鸡兔同笼问题 鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？ 　　 解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. （680-8×40）÷（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有40+30=70（张）. 答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张. 　　 也可以用任意假设一个数的办法. 　　 解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是： （680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）. 因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）. 例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？ 解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的，晴天有 （150-8×3）÷（10+8）= 7（天）. 雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）. 答：这项工程17天完成. 　　 请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系. 总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 　　 例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 　　 解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍. 兔的只数是：（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）. 鸡是：100-38=62（只）. 答：鸡62只，兔38只. 当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是： 4×50-2×50=100， 比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是： （100-28）÷（4+2）=12（只）. 兔只数是： 50-12=38（只）. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”. 　　 例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首. 解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 13×5×4+20=280（字）. 每首字数相差：7×4-5×4=8（字）. 因此，七言绝句有：28÷（28-20）=35（首）. 五言绝句有：35+13=48（首）. 答：五言绝句48首，七言绝句35首. 　　 解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了：460-280=180（字）.与题目中“少20字”相差：180+20=200（字）. 说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200÷8=25（首）. 五言绝句有 23+25=48（首）. 七言绝句有 10+25=35（首）. 　　 在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事. 　　 例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8×40）÷（8+4）=30（张）. 例9，假设都是兔，鸡的只数是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）. 例10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）. 　　 首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事. 例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）. 答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶. 　　 请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？ 　　 例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：8×6-2×（15-6）=30（分）. 两次相差：120-30=90（分）. 比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（题）. 因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对：30-19=11（题）. 第一次得分：5×19-1×（24- 9）=90. 第二次得分：8×11-2×（15-11）=80. 答：第一次得90分，第二次得80分. 　　 解二：答对30题，也就是两次共答错 24+15-30=9（题）. 第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）. 如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是：（6×9+10）÷（6+10）=4（题）• 第一次答错 9-4=5（题）. 第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）. 第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.