新建文件夹关于函数的对称性和周期性的论文

关于函数的对称性和周期性 邮编：224400 江苏省阜宁中学 张敬祝 函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。 一、函数的对称性 1、函数 满足 时，函数 的图象关于直线 对称。 证明：在函数 上任取一点（x1，y1），则 ，点（x1，y1）关于直线 的对称点（ ，y1），当 时， ，故点（ ，y1）也在函数 图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线 对称。 （注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。） 2、函数 满足 时，函数 的图象关于点（ ， ）对称。 证明：在函数 上任取一点（x1，y1），则 ，点（x1，y1）关于点 （ ， ）的对称点（ ，c－y1），当 时， ，即点（ ，c－y1）在函数 的图象上。由于点（x1，y1）为函数 图象上的任意一点可知，函数 的图象关于点（ ， ）对称。 （注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。） 3、函数 的图象与 的图象关于直线 对称。 证明：在函数 上任取一点（x1，y1），则 ，点（x1，y1）关于直线 对称点（ ，y1）。由于 ，故点（ ，y1）在函数 上。由点（x1，y1）是函数 图象上任一点，因此 与 关于直线 对称。 二、周期性 1、一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 2、对于非零常数A，若函数 满足 ，则函数 必有一个周期为2A。 证明： ∴函数 的一个周期为2A。 3、对于非零常数A，函数 满足 ，则函数 的一个周期为2A。 证明：略。 4、对于非零常数A，函数 满足 ，则函数 的一个周期为2A。 证明：略。 三、对称性和周期性之间的联系 1、函数 有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。 已知：函数 满足 ， （a≠b），求证：函数 是周期函数。 证明：∵ 得 得 ∴ ∴ ∴函数 是周期函数，且 是一个周期。 2、函数 满足 和 （a≠b）时，函数 是周期函数。 （函数 图象有两个对称中心（a， ）、（b， ）时，函数 是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。） 证明：由 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 得 得 ∴函数 是以2b－2a为周期的函数。 3、函数 有一个对称中心（a，c）和一个对称轴 ）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是 。 证明：略。 四、知识运用 2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。 1、（2005·福建理） 是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解： 是R上的奇函数，则 ，由 得 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ ∴x=1，2，3，4，5时， 这是答案中的五个解。 但是 又 知 而 知 也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。 2、（2005·广东 19）设函数 在（ ， ）上满足 ， ，且在闭区间[0，7]上，只有 。 ⑴试判断函数 的奇偶性； ⑵试求方程 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。 解：⑴由 ， 得函数 的对称轴为 ， 。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。 因为函数 在[0，7]上只有 可知 ， 又 ∴ 而 且 ，则 ， 因此，函数 既不是奇函数，也不是偶函数。 ⑵由 ，可得 故函数 在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足 ；从而可知函数 在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数 在[－2005，2005]上共有802个解。 通联：江苏省阜宁中学数学组 张敬祝 邮编：224400 电活：0515—7988769 PAGE 1 _1197788516.unknown _1197789029.unknown _1197789590.unknown _1197810731.unknown _1197810797.unknown _1197810912.unknown _1197810965.unknown _1197811038.unknown _1197811108.unknown _1197811179.unknown _1197810992.unknown _1197810927.unknown _1197810889.unknown _1197810902.unknown _1197810804.unknown _1197810783.unknown _1197810790.unknown _1197810746.unknown _1197789614.unknown _1197789815.unknown _1197789905.unknown _1197789988.unknown _1197789989.unknown _1197789958.unknown _1197789985.unknown _1197789922.unknown _1197789875.unknown _1197789685.unknown _1197789814.unknown _1197789679.unknown _1197789598.unknown _1197789315.unknown _1197789482.unknown _1197789529.unknown _1197789539.unknown _1197789560.unknown _1197789489.unknown _1197789391.unknown _1197789456.unknown _1197789350.unknown _1197789182.unknown _1197789219.unknown _1197789281.unknown _1197789200.unknown _1197789146.unknown _1197789171.unknown _1197789145.unknown _1197788696.unknown _1197788889.unknown _1197789002.unknown _1197789020.unknown _1197788909.unknown _1197788776.unknown _1197788872.unknown _1197788759.unknown _1197788630.unknown _1197788665.unknown _1197788675.unknown _1197788652.unknown _1197788586.unknown _1197788618.unknown _1197788571.unknown _1197787217.unknown _1197787615.unknown _1197787749.unknown _1197788356.unknown _1197788392.unknown _1197788337.unknown _1197787668.unknown _1197787703.unknown _1197787660.unknown _1197787364.unknown _1197787518.unknown _1197787604.unknown _1197787513.unknown _1197787270.unknown _1197787321.unknown _1197787250.unknown _1197786896.unknown _1197787155.unknown _1197787183.unknown _1197787194.unknown _1197787174.unknown _1197787114.unknown _1197787132.unknown _1197786950.unknown _1197786243.unknown _1197786508.unknown _1197786611.unknown _1197786506.unknown _1197786507.unknown _1197786254.unknown _1197786129.unknown _1197786201.unknown _1197786226.unknown _1197785415.unknown