微分中值定理及多介值问题_滕兴虎

微分中值定理及多介值问题_滕兴虎 第１９卷第５期２０１６年９月高　等　数　学　研　究 ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　　Ｖｏｌ．１９，Ｎｏ．５ ，Ｓｅ．２０１６ｐ ：／．ｉｓｓｎ．１００８ｄｏｉ１０．３９６９１３９９．２０１６．０５．００５－ｊ 微分中值定理及多介值问题 滕兴虎，李静，寇冰煜，徐为 （）解放军理工大学理学院，江苏南京２１１１０１ 摘　要　含有不同介值点的中值问题在中值定理的应用中是一类较为复杂的问题．根据介值表达式的结构特点，这一类问题得到了合理的分类，证明的思路与得到了一般性的，并以实例对此进行了说明．关键词　微分中值定理；零点定理；介值点 （）中图分类号　Ｏ１７２．１　　　文献标识码　Ａ　　　文章编号　１００８１３９９２０１６０５００１２０３－－－ ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＭｕｌｔｉＩｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅＶａｌｕｅｓ　　　　　－　 ，ＴＥＮＧＸｉｎｈｕ，ＬＩＪｉｎＫＯＵＢｉｎｕ，ＸＵ　Ｗｅｉ　　　ｇｇｇｙ （，，ＮＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅＰＬＡ　ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏａｎＪｉｎ２１１１０１，ＰＲＣ）　　　　　　ｙｇｙｇ　　 Ａｂｓｔｒａｃｔｈｅｏｆｍｕｌｔｉ－ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｓａｒｅｃｏｍｌｅｘｉｎｔｈｅａｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｆｒｏｂｌｅｍｓｒｏｂｌｅｍｓ　Ｔ　　　　　　　　　　　　　－ｐｐｐｐｐ，ａｅｒｒｏｂｌｅｍｓｆｅｒｅｎｔｉａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｅａｒｅｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｉｎｔｏｓｅｖｅｒａｌｃｌａｓｓｅｓｂａｓｅｏｎｔｈｅｉｒ　　　　　　　　　　　　　　ｐｐｐｉｖｅｎｒｏｂｌｅｍｓ．Ｏｕｒｅｘａｍｌｅｓａｒｅｔｏｓｈｏｗｈｏｗｔｏａｎａｌｓｉｓａｎｄｓｏｌｖｅｔｈｅｓｅｋｉｎｄｓｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｓｏｍｅ　　　　　　　　　　　　　　ｇｐｐｙｉｄｅａｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｌｓｏｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ．　　　　　 Ｋｅｗｏｒｄｓｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ；ｚｅｒｏｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍ；ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｓｏｉｎｔ　ｄ　　　－ｐ　　　ｐｙ微分中值问题、极值问题、积分中　　介值问题、 值问题等内容均涉及到中值点的存在性问题，在高等数学的各个中具有非常重要的地 １］ 位［．中值类问题具有严密的逻辑性，体现出数 １　基于不同介值项的运算关系，对不同中值公式进行四则运算 若所需证明的结论为含不同介值点的中值项的和、差、积、商，则其一般为一定条件下不同中值公式四则运算后的结果． 例１　设函数ｆ（在［可导且ｆ（ｘ）ａ，ｂ］ａ）＝０，，使得ｂ）＝１，证明：存在ξａ，ｂ）ｆ（１，２∈（ξ （＋＝２ｂ－ａ）．）（）′（′ｆｆ１２ξξ 分析　等式的左端为包含不同介值点处同阶导数项的和，不可能用一个中值定理就能达到目的，两个介值点需要分开考虑．猜测 学思维的严谨．特别是所要证明的微分中值表达式中含有多个介值点时，证明往往不是一蹴而就 ２３］－ ，在中值定理的应用中，这类问题一般是难的［ ４７］－ ，度更大，综合性更强［往往无从入手证明．本文 从所需证明的介值表达式入手，将这一类问题进行了恰当的分类与总结，并以具体的实例阐明其分析与证明思路，使得这一类问题的证明思路有一个清晰的总体认识． 收稿日期：２０１５１２１５２０１６０８１５－－　　　修改日期：－－）基金项目：解放军理工大学校级课题（ＧＪ１５０７０３８ ，作者简介：腺兴虎（男，江苏邳州人．硕士，讲师，主要从事１９７５－） ：数学教育与非线性动力学方面的研究，Ｅｍａｉｌｔｅｎｘｈ３１２１ｇ６３．ｃｏｍ＠１ ＝ｈ＝ｈ１２ ′（′（ｆｆ１）２）ξξ 形式，即 ，（ｈｋ（ｂ－ａ）ｈ２－ｋ）ｂ－ａ）．１＝２＝（ （）１ 满足ｈｈ２（ｂ－ａ）．如果ｈｈ－ａ１＋２＝１，２中均含有ｂ 第１９卷第５期微分中值定理及多介值问题　滕兴虎，李静，寇冰煜，徐为：１３ ）再由（式与已知，无法实现．因此可猜测存在一１，使得点ｃ∈（ａ，ｂ） （），（，（ｈ２ｂ－ｃｈ２ｃ－ａ）ｈｈ２ｂ－ａ）．１＝２＝１＋２＝即 （）＝（，＝ｈ２ｂ－ｃｈ２ｃ－ａ）１＝２＝′′ｆｆ１２ξξ （）＝ｆ（）＝ｆ′（′（ｂ－ｃｃ－ａ）．（２１）２）ξξ２２）由（等号右端，可以联想到ｆ（在［与［２ｘ）ｃ，ｂ］ａ，ｃ］上分别应用拉格朗日中值定理，其中需要满足 （）（））ｂ）－ｆ（ｃ＝，ｆ（ｆｃ－ｆａ＝． ２２］，证明　因为ｆ（在［上连续以及ｆ（ｘ）ａ，ｂａ）＝０，使得ｂ）＝１，由介值定理，存在一点ｃ∈（ａ，ｂ）ｆ（）ｃ＝ｆ（ 余下证明由分析可得 ．．２ 分析　所证表达式可以变形为 （（１）２）ａｎ＝，ｓｉｎ２ｃｏｓ２１ξξ 可以想到对ｆ（与ｇ与ｇｘ）ｘ）＝ｃｏｓｘ和ｆ（ｘ）ｘ）１（２（＝ｓｉｎｘ分别用柯西中值定理尝试． 证明　对ｆ（与ｇ与ｇｘ）ｘ）＝ｃｏｓｘ和ｆ（ｘ）ｘ）１（２（上分别应用柯西中值定理，可得在＝ｓｉｎｘ在［ａ，ｂ］内存在两点ξ满足区间（ａ，ｂ）１，２，ξ ′（１）（′（２））（））（）（ ＝＝ｓｉｎｂ－ｓｉｎａｃｏｓｃｏｓｂ－ｃｏｓａ－ｓｉｎ１２ξξ两式相除并整理，即可得 ｓｉｎ２）（′（＝′ｔａｎ．ｆｆ２１ξξ２ｃｏｓ１ξ 对同一表达２　基于不同介值项的等量关系，式应用不同中值定理 如果所需证明的结论是包含一个中值点的介值项与包含另外一个中值点的介值项相等，则其一般为同一表达式在一定条件下对不同函数运用中值定理的结果． 例４　设函数ｆ（在［可导且ｆ（ｘ）ａ，ｂ］ａ）＝ｆ（ｂ），证明：存在ξ使得＝１，ａ，ｂ）１，２∈（ξ ξξ１－２（（））′（ｅ＝１．ｆξｆ１＋１）ξ ］）例２　设函数ｆ（在［上连续，在（内ｘ）０，１０，１）可导，且ｆ（０＝０，１）＝１，试证存在不同的两个ｆ（），使得ｆ点ξ′（′（０，１＝１．ｆ１，２∈（１）２）ξξξ 分析　等式的左端为包含不同介值点处同阶导数项之积，不可能用一个中值定理就能达到目的，两个介值点需要分开考虑．猜测 ′（＝ｈ′（＝ｈｆｆ１）１，２）２，ξξ 满足ｈｈ１，ｈｈ１·２＝１与ｈ２为互为倒数关系，１的分子与分母分别为ｈ２的分母与分子． ］，）而区间为［０，１０＝０，１）＝１，因此由拉ｆ（ｆ（），使得格朗日中值公式可推测存在ｃ∈（０，１ ））（）（（，＝ｈ１＝ ｃ－０ｃ））（）（（，ｈ＝２＝ １－ｃ１－ｃ ）其中ｃ需满足ｆ（ｃ＝１－ｃ． 证明　令Ｆ（则Ｆ（在区间ｘ）＝ｆ（ｘ）－１＋ｘ，ｘ）［］））连续，且Ｆ（对Ｆ（在区间０，１０＝－１，Ｆ（１＝１．ｘ）［，］，，上应用零点定理很容易得到存在ｃ∈（０１０１）））使得Ｆ（即ｆ（ｃ＝０，ｃ＝１－ｃ． 余下证明由分析可得． 例３　设函数ｆ（在［上连续，在（内ｘ）ａ，ｂ］ａ，ｂ） 分析　将表达式变形为 ξξ１（（）２）ｅ′（＝ｅｆξｆ１＋１）ξ ｘ ，由左端表达式的特点，可想到构造函数Ｆ（ｘ）＝ｅｘ）ｆ（ａｂ ，，结合ｆ（因此若ａ）＝ｆ（ｂ）＝１，Ｆ（ａ）＝ｅＦ（ｂ）＝ｅｘｂａ ，）），则Ｆ（令Ｇ（ｘ）＝ｅｂ－Ｆ（ａ）＝ｅ－ｅ＝Ｇ（ｂ－Ｇ（ａ） ，分别对Ｆ（在［应用拉格朗日中值定理ｘ）Ｇ（ｘ）ａ，ｂ］即可得到结论． ｘｘ ，，证明　令Ｆ（则存在ｘ）＝ｅｘ）Ｇ（ｘ）＝ｅｆ（ ，满足ａ，ｂ）１，２∈（ξξ ｂａ （）（） ＝＝Ｆ′（＝　　　１）ξｂ－ａｂ－ａ ξ１（（）），′（ｅ　ｆξｆ１＋１）ξ ｂａ （）（）ξ２，＝＝Ｇ′（＝ｅ２）ξｂ－ａｂ－ａ 证明在区间（，）可导，０≤ａ，ｂ≤，ａｂ内内至少存在 ２两点ξ使１，２，ξ ｓｉｎ２′（ｔａｎ＝ｆ′（．ｆ２）１ξξ２ｃｏｓ１ξ 因此由上两式即可得所需证明的结论． （例５　设函数ｆ（在［上连续，ｘ）ａ，ｂ］ｂ＞ａ＞０），在（内可导，证明存在ξ使ｆａ，ｂ）ａ，ｂ）′（１，２∈（１）ξξ ２ ′（２２）＝．ａｂ １４ 分析　将表达式变形为 高等数学研究２０１６年９月 ）由ｆ（在［上连续０＝０，′（ｘ）ｘ）０，１］＞０以及ｆ（ｆ可知 １－＞０，＞０．ｆ（ｆ（１）１）ξξ 令ξ整理即可得所需证的中值表达式．１－２＝１，ξ ′（２）′（＝．ｆ１）ξａｂ２ ２ξ 对（）由等式右端可以想到构造函数Ｆ（ｘ）＝，ｆｘ ｘ和Ｆ（ｘ）＝用柯西中值定理．ｘ 则存在，，证明　令Ｆ（ｘ）＝，ａ，ｂ）１ξ２∈（ξｘ满足 先后应用中值定理４　基于介值点的层次关系， 如果所需证明结论中的，有某一常数与一个介值点相减的项与高阶导数项，一般可考虑先用一次中值定理得到一个介值点的存在，然后在新的区间上再应用一次中值定理．如果所需证明结论中含有两个介值点相减的项与高阶导数项，可类似考虑． 例７　设函数ｆ（在［上二阶可导，且ｘ）０，１］）））试证存在不同的两个点′（０＝１，１＝ｆ１＝２，ｆ（ｆ（），（使得ｆ″（０，１１－＝１．１，２∈（２）１）ξξξξ 分析　由于１－的区间长度，１］１为区间［１，ξξ为ｆ在ξ可以推测″（′（ｘ）ｆ２）２点处的导数值，ξ（为ｆ在［上应用拉格朗日中″（′（１－ｘ）１］ｆ２）１）１，ξξξ其中ξ因为值定理所得的中值表达式，１）．２∈（１，ξ），故只需能够找到ξ满足ｆ′（′（１＝２，０，１）ｆ１∈（１）ξ＝１即可． 证明　由条件，对ｆ（在［上用拉格朗日ｘ）０，１］），中值定理可得存在ξ满足０，１１∈（ ））（）′（１－ｆ（０＝ｆ１－０．ｆ（１）ξ ）又ｆ（因此ｆ余下证明由′（０＝１，１）＝２，＝１．ｆ（１）ξ分析可知． 参考文献 ［］［上册）１Ｍ］．７版．北京：　同济大学数学系．高等数学（ 高等教育出版社，２０１４：１２５１３１．－ ［］］徐文雄．一类微分中值定理证明题浅析［２Ｊ．　张素霞， （）：高等数学研究，２００７，１０５９１１．－ ［］陈少元，涂琼霞．也谈一类微分中值定理证明３　宋振云， ］（）：问题［Ｊ．高等数学研究，２００９，１２５５８６０．－ ［］崇文书局，４Ｍ］．武汉：　钱吉林．数学分析题解精粹［ ２００３：１８７２４８．－ ［］５　西北工业大学高等数学教研室．高等数学专题分类指 导［同济大学出版社，Ｍ］．上海：１９９９：５８７８．－［］郑连存，王辉，等．大学生数学竞赛习题精讲６　陈兆斗， ［清华大学出版社，Ｍ］．北京：２０１０：３６４７．－ ［］东南出版７Ｍ］．南京：　陈仲．高等数学竞赛题解析教程［ 社，２０１０：４３５４．－ ）（）（，＝ｆ′（１）ξｂ－ａ）（）（）（）（ ＝＝ ｂ－ａ－ａｂ－） ｂａ （）（）２）（，＝）－ａｂ（Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ａｂ２ ２ξ 由上两式整理即可得所需证明的结论． ［］实际上，中的五个问题以及［中的三个问２３］题，均是基于以上两个思路进行证明的． 构造辅助函数３　基于不同介值点的数量关系， 如果不同的介值点满足一定的数量关系，则可通过约束条件，将不同介值点的中值问题转化为同一介值点的中值问题． 例６　设函数ｆ（在［上连续，在（ｘ）０，１］０，１），试证内可导，且ｆ（′（０）＝０，ｘ）０＜ｘ＜１）＞０（ｆ，存在不同的两个点ξ使得ξ０，１）１，１，２∈（１＋２＝ξξ ′（′（１）２）＝．ｆｆ１２ξξ 分析　由于ξ可将所需证明的中值表１－２＝１，ξ达式变形为 ′（′（１－－ｆ（１－＝０，ｆｆ（ｆ１）１）１）１）ξξξξ结合已知条件，可构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｘ）１－ｘ）ｆ（ｆ（考虑． ，证明　令Ｆ（则Ｆ（在ｘ）＝ｆ（ｘ）１－ｘ）ｘ）ｆ（［］））上连续，在（内可导．注意到ｆ（则０，１０，１０＝０， ））Ｆ（０＝Ｆ（１＝０． ］对Ｆ（在［上应用罗尔中值定理，则存在ξｘ）０，１１∈（），使得Ｆ（即０，１＝０，１）ξ ′（′（１－－ｆ（１－＝０．ｆｆ（ｆ１）１）１）１）ξξξξ