管道运输与订购优化模型（CAI）

钢管订购和运输优化模型 图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位：km). 为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管. 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位.钢厂 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为 万元，如下表： 1 2 3 4 5 6 7 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 160 155 155 160 155 150 160 1单位钢管的铁路运价如下表： 里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 运价(万元) 20 23 26 29 32 里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000 运价(万元) 37 44 50 55 60 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元. 公路运输费用为1单位钢管每千米0.1万元（不足整千米部分按整千米计算）. 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点 ，而是管道全线）. 问题： （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用). 思考题： （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果. （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图2按（1）的要求给出模型和结果. 一、 基本假设 1． 沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路. 2． 在主管道上，每千米卸1单位的钢管. 3． 公路运输费用为1单位钢管每千米0.1万元（不足整千米部分按整千米计算） 4． 在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，而不考虑其他费用. 5． 在计算钢厂的产量对购运计划影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况，即钢厂的产量不受限制. 6． 假设钢管在铁路运输路程超过1000km时，铁路每增加1至100km，1单位钢管的运价增加5万元. 二、符号说明： ：第 个钢厂； ：第 个钢厂的最大产量； ：输送管道（主管道）上的第 个点； ：第 个钢厂1单位钢管的销价； ：钢厂 向点 运输的钢管量； ：在点 与点 之间的公路上，运输点 向点 方向铺设的钢管量； ( ) ：1单位钢管从钢厂 运到结点 的最少总费用，即公路运费﹑铁路运费和 钢管销价之和； ：与点 相连的公路和铁路的相交点； ：相邻点 与 之间的距离； 三、模型的建立与求解 问题一：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输使总费用最小 由题意可知，钢管从钢厂 到运输结点 的费用 包括钢管的销价﹑钢管的铁路运输费用和钢管的公路运输费用.在费用 最小时，对钢管的订购和运输进行分配，可得出本问题的最佳方案. 1. 求钢管从钢厂 运到运输点 的最小费用 1）将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图. 由于钢管从钢厂 运到运输点 要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运输总距离有关.又由于钢厂 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂 到铁路与公路相交点 的最短路径.如图3 图3 铁路网络图 依据钢管的铁路运价表，算出钢厂 到铁路与公路相交点 的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂 到 的边.再将与 相连的公路、运输点 及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边.以 为例得图4. 图4 钢管从钢厂 运到各运输点 的铁路运输与公路运输费用权值图 2）计算单位钢管从 到 的最少运输费用 根据图4，借助图论软件包中求最短路的方法求出单位钢管从 到 的最少运输费用依次为：170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（单位：万元）.加上单位钢管的销售价 ，得出从钢厂 购买单位钢管运输到点 的最小费用 依次为：330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（单位：万元）. 同理，可用同样的方法求出钢厂 ﹑ ﹑ ﹑ ﹑ ﹑ 到点 的最小费用，从而得出钢厂到点的最小总费用（单位：万元）为： 表1 到点 最小费用 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 186 162 2. 建立模型 运输总费用可分为两部分： 运输总费用=钢厂到各点的运输费用+铺设费用. 运输费用：若运输点 向钢厂 订购 单位钢管，则钢管从钢厂 运到运输点 所需的费用为 .由于钢管运到 必须经过 ，所以可不考虑 ，那么所有钢管从各钢厂运到各运输点上的总费用为： . 铺设费用：当钢管从钢厂 运到点 后，钢管就要向运输点 的两边 段和 段运输（铺设）管道.设 向 段铺设的管道长度为 ，则 向 段的运输费用为 （万元）；由于相邻运输点 与 之间的距离为 ，那么 向 段铺设的管道长为 ，所对应的铺设费用为 （万元）.所以，主管道上的铺设费用为： 总费用为： 又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产500个单位，钢厂 在指定期限内最大生产量为 个单位，故 或 因此本问题可建立如下的非线性规划模型： 3. 模型求解： 由于MATLAB不能直接处理约束条件： 或 ，我们可先将此条件改为 ，得到如下模型： 用MATLAB求解，分析结果后发现购运方案中钢厂 的生产量不足500单位，下面我们采用不让钢厂 生产和要求钢厂 的产量不小于500个单位两种方法计算： 1）不让钢厂 生产 计算结果： 1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件）. 2）要求钢厂 的产量不小于500个单位 计算结果： 1279664 （万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）. 比较这两种情况，得最优解为， =1278632（万元） 具体的购运计划如表2： 表2 问题一的订购和调运方案 订购量 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 800 0 201 133 200 266 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S2 800 179 11 14 295 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 S3 1000 139 11 186 0 0 0 664 0 0 0 0 0 0 0 S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S5 1015 0 358 242 0 0 0 0 0 0 415 0 0 0 0 S6 1556 0 0 0 0 0 0 0 0 0 351 86 333 621 165 S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 图2 (A21) A20 A18 A17 A16 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 A15 A14 A13 A12 A11 A10 A9 A8A11 A7 A6 A5 A4 A3 A2 100 260 190 130 A19 1200 1100 1150 290 110 160 320 160 462 690 170 520 690 720 202 195 3060 600 500 420 210 220 300 480 680 201 205 194 606 750 301 104 450 30 20 20 30 70 62 70 10 88 10 70 42 12 20 31 10 10 80 5 2 3 A1 图1 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 A15 A14 A13 A12 A11 A10 A911A11 A8A11 A7A11 A6 A5 A4 A3 A2 1200 1100 1150 290 110 160 320 160 462 690 170 520 690 720 202 195 3060 600 500 420 210 220 300 480 680 201 205 194 606 750 301 104 450 30 20 20 30 70 62 70 10 88 10 70 42 12 20 31 10 10 80 5 2 � EMBED Equation.3 ��� 3 A1 � EMBED Equation.3 ��� 1 1 _1030374777.unknown _1031672740.unknown _1031690895.unknown _1037089838.unknown _1037113679.unknown _1037114265.unknown _1037114389.unknown _1258711690.unknown _1258808628.unknown _1037515996.unknown _1037114277.unknown _1037114218.unknown _1037089897.unknown _1037090017.unknown _1037099520.unknown _1037089932.unknown _1037089851.unknown _1037089869.unknown _1031730075.unknown _1037089619.unknown _1037089629.unknown _1031730130.unknown _1031732716.unknown _1031691148.unknown _1031726724.unknown _1031726780.unknown _1031697878.unknown _1031726276.unknown _1031698879.unknown _1031696282.unknown _1031697759.unknown _1031697861.unknown _1031695154.unknown _1031693997.unknown _1031694013.unknown _1031693981.unknown _1031691022.unknown _1031690771.unknown _1031690860.unknown _1031672772.unknown _1031676414.unknown _1031672749.unknown _1031672301.unknown _1031672705.unknown _1031672713.unknown _1031672693.unknown _1031650627.unknown _1031664103.unknown _1031671143.unknown _1031672070.unknown _1031664107.unknown _1031651241.unknown _1031654591.unknown _1031654778.unknown _1031654860.unknown _1031654624.unknown _1031652831.unknown _1031651144.unknown _1031651169.unknown _1031650755.unknown _1030374779.unknown _1030374780.unknown _1031650410.unknown _1030374778.unknown _1029030288.unknown _1029042879.unknown _1030374775.unknown _1030374776.unknown _1030374774.unknown _1029042921.unknown _1029042527.unknown _1029042833.unknown _1029034308.unknown _1029042470.unknown _1029035754.unknown _1029031466.unknown _1029027494.unknown _1029029813.unknown _1029029843.unknown _1029027822.unknown _1029026907.unknown _1029027373.unknown _1029025973.unknown