2009年数学

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com 2009年普通高等学校招生全国统一题学科网 文科数学学科网 第Ⅰ卷（选择题）学科网 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。学科网 参考公式： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m学科网 如果事件互斥，那么 球的面积公式学科网 学科网 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径学科网 球的体积公式学科网 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 学科网 次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径学科网 学科网 学科网 1． 选择题学科网 （1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则Cu( MN)=学科网 (A) {5，7} （B） {2，4} （C）{2，4，8} （D）{1，3，5，6，7}学科网 （2）函数y=(x0)的反函数是学科网 （A）（x0） （B）（x0）学科网 （B）（x0） （D）（x0） 学科网 （3） 函数的图像学科网 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称学科网 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称学科网 （4）已知△ABC中，，则学科网 (A) (B) (C) (D) 学科网 （5）已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线学科网 与所形成角的余弦值为学科网 （A） (B) (C) (D) 学科网 （6） 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=学科网 （A） （B） （C）5 （D）25学科网 （7）设则学科网 （A） （B） （C） （D）学科网 （8）双曲线的渐近线与圆相切，则r=学科网 （A） （B）2 （C）3 （D）6学科网 （9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为学科网 (A) (B) (C) (D) 学科网 （10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有学科网 （A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种学科网 （11）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=学科网 (A) (B) (C) (D)学科网 （12）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是学科网 （A）南 （B）北 （C）西 （D）下学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 第Ⅱ卷（非选择题）学科网 本卷共10小题，共90分。学科网 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把填写在答题卡上相应位置的横线上.学科网 （13）设等比数列{}的前n项和为。若，则= × 学科网 （14）的展开式中的系数为 × 学科网 （15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 × 学科网 （16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × 学科网 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。学科网 （17）（本小题满分10分）学科网 已知等差数列{}中，求{}前n项和学科网 （18）（本小题满分12分）学科网 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 （19）（本小题满分12分）学科网 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1学科网 （Ⅰ）证明：AB=AC学科网 （Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 （20）（本小题满分12分）学科网 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。学科网 （Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；学科网 （Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；学科网 （Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 （21）（本小题满分12分）学科网 学科网 (Ⅰ)讨论 的单调性;学科网 (Ⅱ)若当x≥0时， >0恒成立，求a的取值范围。学科网 学科网 学科网 学科网 （22）（本小题满分12分） （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）C上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。 2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案和评分参考 1． 选择题 （1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二．填空题 （13）3 （14）6 （15）（16）8π 三．解答题 17． 解： 设的公差为，则 即 解得 因此 （18）解： 由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=. 又由=ac及正弦定理得 故 ， 或 （舍去）， 于是 B= 或 B=. 又由 知或 所以 B=。 （19）解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF ，从而EF DA。 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。 （Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC= .. 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。 由得2AD=，解得AD=。 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2， 所以∠ECH= ，即与平面BCD所成的角为 . 解法二： （Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）. 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。 （Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ). 又平面的法向量=（0，1，0） 由二面角为60°知，=60°， 故 °，求得 于是 ， ， ° 所以与平面所成的角为30° （20）解： （I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。 （II）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则 （III）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人， 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人， 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。 与独立， ，且 故 （21）解： （I） 由知，当时，，故在区间是增函数； 当时，，故在区间是减函数； 当时，，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。 由假设知 即 解得 11 E D C1 B1 A1 B C A 东 上 △ 11 _1306149075.unknown _1306149436.unknown _1306149663.unknown _1306156121.unknown _1306156145.unknown _1306149540.unknown _1306149220.unknown _1306149212.unknown _1306148258.unknown _1306149064.unknown _1306148044.unknown