5.4解斜三角形

世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 第五章 平面向量 四 解斜三角形 【考点阐述】 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】 （一）选择题（共4题） 1.（福建卷文7）已知锐角的面积为，，则角的大小为 A. 75° B. 60° B. 45° D.30° 解析解析 由正弦定理得，注意到其是锐角三角形，故C=°，选B 2.（广东卷理6）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 A. 6 B. 2 C. D. 【解析】，所以，选D. 3.（广东卷文7）已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b= A.2 B．4＋ C．4— D． 【答案】A 【解析】 由a=c=可知,,所以, 由正弦定理得,故选A 4.（重庆卷理7）设的三个内角，向量，，若，则=（ ） A． B． C． D． [答案]C 【解析】 （二）填空题（共3题） 1.（湖南卷文14）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 解: 设由正弦定理得 由锐角得， 又，故， 2. （天津卷文11）如图，相交与点O, 且，若得外接圆直径为1，则的外接圆直径为_________. 【答案】2【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圆半径是外接圆半径的二倍。 【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。 3.（上海春卷8）在△中，若，则等于 . [答案]: [解析]:易知∠BAC=45°，由正弦定理得 （三）解答题（共19题） 1.（安徽卷理16）在ABC中，, sinB=. （I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积. 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分 解：（Ⅰ）由，且，∴， ∴， ∴，又，∴ （Ⅱ）如图，由正弦定理得 ∴，又 ∴ 2.（安徽卷文16）在ABC中，C-A=， sinB=. （I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。 【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出. 【解析】（1）∵∴ ∴ ∴ 又 ∴ （2）如图，由正弦定理得∴ ∴ 3.（北京卷理15）在中，角的对边分别为，. (Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． （Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且， ∴， ∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴. ∴△ABC的面积. 4.（福建卷理18）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120 （I）求A , 的值和M，P两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一（Ⅰ）依题意，有，，又，。 当 是， 又 （Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN=，则0°<<60° 由正弦定理得 , 故 0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5， 由余弦定理得∠MNP= 即 故 从而，即 当且仅当时，折线段道MNP最长 注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；② 5.（海南宁夏卷理17）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。 解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M， N的俯角；A，B的距离 d （如图） 所示） . ……….3分 ②第一步：计算AM . 由正弦定理　； 第二步：计算AN . 由正弦定理　； 第三步：计算MN. 由余弦定理 . 方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. ②第一步：计算BM . 由正弦定理　； 　　　 第二步：计算BN . 由正弦定理　; 第三步：计算MN . 由余弦定理 6. （湖北卷文16）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 (Ⅰ)确定角C的大小: （Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。 解（1）由及正弦定理得， 是锐角三角形， （2）解法1：由面积公式得 由余弦定理得 由②变形得 解法2：前同解法1，联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 7. （湖南卷理16）在，已知，求角A，B，C的大小。 解：设 由得，所以 又因此 由得，于是 所以，，因此 ，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或。 8. （江西卷理19）△中，所对的边分别为，,. （1）求； （2）若,求. 解：(1) 因为，即， 所以， 即 ， 得 . 所以,或(不成立). 即 , 得，所以. 又因为，则，或（舍去） 得 (2)， 又, 即 , 得 9. （江西卷文19）在△中，所对的边分别为，，． （1）求； （2）若，求,，． 解：（1）由 得 则有 = 得 即. （2） 由 推出 ；而, 即得, 则有 解得 10. （辽宁卷理17文18）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        ……5分 在△ABC中， 即AB= 因此，BD= 故B，D的距离约为0.33km。  ……12分 11. （全国Ⅰ卷理17）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。 所以…………………………………① 又， ，即 由正弦定理得，故………………………② 由①，②解得。 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练. 12. （全国Ⅰ卷文18）在中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知，且，求b. 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得， ∵，∴，即。 由正弦定理及得 ，∴，即。 13. （全国Ⅱ卷理17文18）设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。 解法一：由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=. 又由=ac及正弦定理得 故 ， 或 （舍去）， 于是 B= 或 B=.又由 知或,所以 B=. 解法三：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。 14. （上海卷文20）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， 　　， . （1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形; （2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 . 证明：（1） 即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形 解（2）由题意可知 由余弦定理可知， 15. （四川卷理17）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 （I）求的值; （II）若，求的值。 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。 解：（Ⅰ）、为锐角，， 又， ，， …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,. 由正弦定理得 ，即， ， ， ……………………………………12分 16. （四川卷文17）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值。 【解析】（I）∵为锐角， ∴ ∵ ∴ …………………………………………6分 （II）由（I）知，∴ 由得，即 又∵ ∴ ∴ ∴ ………………………12分 17. （天津卷理17文17）在中， （Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求的值。 【解析】（1）在 中，根据正弦定理，， 于是 （2）解：在 中，根据余弦定理，得 于是=， 从而 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。 18. （浙江卷理18）在中，角所对的边分别为，且满足， ． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解析：（I）因为，， 又由，得， （II）对于，又，或， 由余弦定理得， 19. （浙江卷文18）在中，角所对的边分别为，且满足， ． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解析：（Ⅰ） 又，， 而，所以， 所以的面积为： （Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 C B A 第1页（共14页）__________________________ _______________________________ __山东世纪金榜书业有限公司