菲尔兹奖与数学—广州大学 袁文俊

null菲尔兹奖和沃尔夫奖 --数学中的诺贝尔奖菲尔兹奖和沃尔夫奖 --数学中的诺贝尔奖 人：袁文俊 教授 广州大学数学与信息科学学院 gzywj@tom.com 13342885808null 目录 一、菲尔兹奖与沃尔夫奖概况 二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献 三、从菲尔兹奖看当代数学的特点 四、菲尔兹奖得主的风彩及其对数学教育的一些见解 一、菲尔兹奖与沃尔夫奖概况 一、菲尔兹奖与沃尔夫奖概况 null “如果我们想要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史和现代。” 庞加莱指出：nullM•克莱因的《古今数学思想》； J•斯科特的《数学史》； H•伊夫斯的《数学史概论》； B•鲍尔加尔斯基的《数学简史》； D•斯特洛伊克的《数学简史》； E•贝尔的《数学精英》； 卡尔波耶的《微积分概念史》； 梁宗巨的《世界数学史简编》； 钱宝琮的《中国数学史》等等。 历史null 怎样了解？ 现在世界上每年大约要发二、三十万条新定理，数学文献、专著，浩如烟海。 希尔伯特1900年在第二届国际数学家大会上，以《未来的数学问题》为题，发表的23个问题，是了解当代数学的一个重要侧面。 1950年以后，在国际数学家大会上作报告的数学家，很多都是沃尔夫（R.Wolf）奖和菲尔兹（J.C.Fields）奖得主。《当代数学大师》、《当代数学精英》。现代 菲尔兹奖是以J.C.菲尔兹（Fields）的姓氏命名的。 菲尔兹奖是以J.C.菲尔兹（Fields）的姓氏命名的。 J.C.菲尔兹强烈主张数学发展应是国际性的，他对于数学的国际交流的重要性，对于促进北美洲数学的发展都抱有独特的见解，并作出了很大的 贡献。null 为了使北美洲数学迅速发展并赶上欧洲，是他第一个在加拿大推进研究生教育，也是他全力筹备并主持了1924年在多伦多召开的 第七次国际数学家大会（这是在欧洲以外召开的第一次国际数学家大会）。正是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再也没有好转，但这次大会对于促进北美的数学教育发展和数学家之间的国际交流，确实产生了深远的影响。null 当他得知这次会议的经费有结余时，他就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头。为此他积极奔走与欧美各国谋求广泛支持，并打算于1932年在苏黎世召开的第九次国际数学家大会上亲自提出建议。但不幸的是未等到大会开幕，他就去世了。 J.C.菲尔兹在去世前立下遗嘱，把他自己留下的遗产加上上述剩余经费，由多伦多大学数学系转交第九次国际数学家大会，大会立即接受了这一建议。null菲尔兹奖的一个最大特点是奖励年轻人，只授予40岁以下的数学家，即授予那些能对未来数学发展起重大作用的人。 菲尔兹奖是一枚金质奖章。奖章的正面是阿基米德的浮雕头像 ； 并刻着“超越人类极限，做宇宙的主人”。反面刻着“全世界的数学家们，为知识作出新的贡献而自豪”。 菲尔兹奖是一枚金质奖章。奖章的正面是阿基米德的浮雕头像 ； 并刻着“超越人类极限，做宇宙的主人”。反面刻着“全世界的数学家们，为知识作出新的贡献而自豪”。正 面反 面 （加）麦肯齐；30余幅。 球内接于圆柱的几何图形 为什么在人们的心目中，它的地位竟如此崇高呢？主要原因有三： 为什么在人们的心目中，它的地位竟如此崇高呢？主要原因有三：第一. 它是由数学界的国际权威学术团体―国际数学联合会主持，从全世界的第一流青年数学家中评定、遴选出来的； 第二. 它是在每隔四年才召开一次的国际数学家大会上隆重颁发的，且每次获奖者仅2~4名，因此获奖的机会比诺贝尔奖还要少；null第三. 也是最根本的一条是由于得奖人的出色才干和成就，赢得了国际社会的声誉。 正如本世纪著名数学家C.H.H.外尔，对1954年两位获奖者的评介：他们 “所达到的高度是自己未曾想到的”， “自己从未见过这样的明星在数学天空中灿烂升起”， “数学界为你们二位所做的工作感到骄傲”。 从而证明了菲尔兹奖对青年数学家来说，是世界上最高的国际数学奖。null 从1936年开始到2002年，获菲尔兹奖的已有45人，他们都是数学天空中升起的灿烂明星，是数学界的精英。 二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献 从一个窗口展示出当代数学发展的轮廓和主流。菲尔兹奖得主在下述几个领域或分支，作出了重大贡献：拓扑学，代数几何，分析学（实、复、泛函），代数，数论，微分方程，微分几何，动力系统，数理逻辑。 国际数学联合会前主席帕利斯（Palis）说：“菲尔兹奖得主们的成就显示出高度的创造性和深刻性，……全世界数学工作者都为他们的卓越贡献鼓掌喝彩。”（一）拓扑学（共11位）（一）拓扑学（共11位）塞尔（Serre） 托姆（Thom） 米尔诺（Milnor） 阿蒂亚（Atiyah） 斯梅尔（Smale） 诺维科夫（Novikov） 瑟斯顿（Thurston） 弗里德曼（Freedman） 唐纳森（Donaldson） 琼斯（Jones） 威腾(Witten)塞尔(Serre)塞尔(Serre) 法国数学家，1954年获奖。他发展了纤维丛的概念，他对于拓扑学的经典问题：球面同伦群的计算，做出了根本意义上的推进工作。 托姆（Thom） 托姆（Thom） 法国数学家，1958年获奖。他构造了配边理论。他最有影响的工作是奇点理论方面的文章。它已演化成为一门独立学科――突变理论。米尔诺（Milnor） 米尔诺（Milnor） 美国数学家。1962年获奖。他最突出的成就，1956年证明了七维流形上存在着不同的微分结构，从而导致了一个全新的拓扑学领域的诞生,即微分拓扑。 阿蒂亚（Atiyah） 阿蒂亚（Atiyah） 英国数学家，1966年获奖。他1963年（与美国数学家Singer合作）证明了指标定理，这个定理揭示了分析学, 代数学和拓扑学之间的联系, 并有力地推动了K理论的迅速发展。 斯梅尔（Smale） 斯梅尔（Smale） 美国数学家，1966年获奖。他对微分拓扑中广义庞加莱猜想有重要建树，证明了四维以上的庞加莱猜想。创立了现代抽象微分动力系统理论。 诺维科夫（Novikov） 诺维科夫（Novikov） 前苏联数学家，1970年获奖。他对拓扑学（特别是微分拓扑）作出了重要贡献，特别是对叶状结构理论，他证明了微分流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性。瑟斯顿（Thurston） 瑟斯顿（Thurston） 美国数学家，1983年获奖。他对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍结果(特别是对三维闭流形的拓扑分类作出了贡献)。他对叶状结构理论及证明史密斯(Smith)猜想作出了贡献。弗里德曼（Freedman） 弗里德曼（Freedman） 美国数学家，1986年获奖。他1982年证明了四维流形拓扑的庞加莱猜想，他的结果――四维紧致单连通拓扑流形的分类――要比猜想本身更为一般。 唐纳森（Donaldson） 唐纳森（Donaldson） 英国数学家，1986年获奖。他对四维流形拓扑的研究，发现了四维几何学中难以预料与神秘的现象――“怪异”的R4空间的出现(四维流形上可以存在不同的微分结构, 尤其是四维欧氏空间上存在着不可数无穷多种微分结构)。他的结果产生了一项新的研究，它揭示了流形的一些出人意料的性质（其中与代数簇的微分结构有关内容得到的广泛的关注）。琼斯（Jones） 琼斯（Jones） 新西兰数学家，1990年获奖。他在纽结理论中引入了他在算子代数工作中产生的多项式不变量, 得到了一个全新的纽结不变量多项式, 从而揭示了拓扑学与算子代数理论的深刻联系。 威腾（Witten）威腾（Witten） 美国数学家，1990年获奖。他对莫尔斯理论，德。拉姆和霍奇理论，指标定理给出了新的表达和证明；他对“超弦理论”作出了重要贡献，这一理论完全可能在相对性理论、量子力学和粒子相互作用之间作出统一的数学处理（这是爱因斯坦大半生的追求）。 null 除了上述11位外, 对拓扑学作出贡献的还有: 小平邦彦、奎伦、孔采维奇等人。 （二）代数几何（共9位） （二）代数几何（共9位） 代数几何是当代数学的一个重要分支，它主要研究高维空间中由若干代数方程公共零点所确定的点集，及这些点集通过一定的构造方式导出的对象，即代数簇。格罗腾迪克（Grothendieck） 广中平佑 曼福德（Mumford） 德利涅（Deligne） 福尔廷斯（Falting） 森重文 德里费尔德（Drinfl’d） 孔采维奇（Kontsevich） 沃伊沃德斯基(Voevodsky） 格罗腾迪克（Grothendieck格罗腾迪克（Grothendieck 法国数学家，1966年获奖。他创立了一整套现代代数几何抽象理论体系，他引进的概型这个概念把代数几何抽象程度提高到了新水平，被誉为是代数几何的一次革命。广中平佑 广中平佑 日本数学家，1970年获奖。他解决了在特征零的域上的代数簇奇点的消解，而奇点的消解被看作是代数几何的一个中心问题。曼福德（Mumford） 曼福德（Mumford） 美国数学家，1974年获奖。他大大推进了代数几何的一个经典问题的解决，即描述了阿贝尔簇的模簇。他以现代几何的观点完全改造了不变式论。特别，他引进了向量丛的稳定性的概念。德利涅（Deligne） 德利涅（Deligne） 法国数学家（比利时裔），1978年获奖。他运用代数几何多年积累的技术财富，证明了韦伊（Weil）关于有限域上Zeta函数的一个猜想(联系素数与有理域中代数方程根的个数)，得到了韦伊――德利涅定理，他的“混合霍奇（Hodge）结构”的理论，它对带奇点的复代数簇建立了上同调理论。福尔廷斯（Falting） 福尔廷斯（Falting） 德国数学家，1986年获 奖。他证明了半个多世纪没有得到解决的莫德尔（Mordell）猜想，从而为证明费马大定理的道路上迈出了基本的一步。他还描绘出了一个完整的研究纲领来研究数域上的代数簇。 森重文 森重文 日本数学家，1990年获奖。他对三维代数簇的分类作出了重要贡献，从而更新了广中平佑对奇点的研究。 德里费尔德（Drinfl’d） 德里费尔德（Drinfl’d） 前苏联数学家，1990年获奖。他在“朗兰兹纲领”和量子群两个方面取得了突破(即对于函数域GL2上证明了朗兰兹纲领，建立了量子群理论体系) ，并促进了一大批研究结果。 孔采维奇（Kontsevich） 孔采维奇（Kontsevich） 俄罗斯数学家，1998年获奖。他定出了各种代数簇上各阶有理曲线的数目. 他对“线理论”和理论物理学，与拓扑学都作出重要贡献，他还对纽结分类猜想作出了证明。 沃伊沃德斯基（Voevodsky）沃伊沃德斯基（Voevodsky） 俄罗斯数学家，2002年获奖。他发展了新的代数簇上同调理论，从而为深刻理解数论与代数几何提供了新的观点。 null 除了上述9位外, 对代数几何作出贡献的还有: 塞尔、阿蒂亚、托姆、小平邦彦、米尔诺、邦别里、诺维科夫、威腾、外尔斯等人。 （三）分析学（共6位）（三）分析学（共6位）包括： 实分析 复分析 泛函分析 阿尔福斯（Ahlfors） 施瓦尔茨（Schwartz） 小平邦彦 费弗曼（Fefferman） 孔涅 （Connes） 高尔斯（Gowers） 阿尔福斯（Ahlfors） 阿尔福斯（Ahlfors） 美国数学家（芬兰裔），1936年获奖。他证明了当儒瓦（Denjoy）猜想，发展了覆盖面理论，对黎曼面作了深入研究。在长达半个多世纪中他被公认为是复分析的领袖人物，曾三次（1936,1962,1978）被邀请在国际数学家大会上作大会报告。 施瓦尔茨（Schwartz） 施瓦尔茨（Schwartz） 法国数学家，1950年获奖。他创立了广义函数论，他将广义函数看作是检验函数空间的泛函。他的两卷本《广义函数论》（1950年）以及由盖尔范德等人写的六卷本《广义函数》，成为函数分析专家的“圣经”。小平邦彦 小平邦彦 日本数学家，1954年获奖。他证明了狭义卡勒（Kahler）流形是代数流形，得到了小平消灭定理，他还给出了第一个黎曼――罗赫定理的多维推广和第一个紧复曲面的分类。他的论文涵盖了三个分支：复分析、拓扑、代数几何。 费弗曼（Fefferman） 费弗曼（Fefferman） 美国数学家，1978年获奖。他以重振古典分析研究而闻名。他给出了实分析与复分析方法的和谐的融合，他解决了哈代（Hardy）空间的对偶问题，他还研究了多变元函数的付里叶级数的收敛性，其中他解决了球的乘子问题。孔涅 （Connes） 孔涅 （Connes） 法国数学家，1983年获奖。他的工作是泛函分析领域的，但范围有点延伸。他的主要成果是在算子理论中创立了因子理论，他从根本上解决了冯·诺伊曼留下的代数分类问题。 高尔斯（Gowers） 高尔斯（Gowers） 英国数学家，1998年获奖。他推翻了波兰数学家巴拿赫（Banach）在20世纪20年代提出的“超平面猜想”----无穷维空间一定同它的超平面同构。高尔斯举出反例，否定地解决了这一问题。他广泛地用了来自于组合理论的方法，在无穷维空间中构作具有意想不到特征的造型。 null 除了上述6位外，对分析学作出贡献的还有: 塞尔、赛尔伯格、赫尔曼德尔、斯梅尔、邦别里、米尔诺、瑟斯顿、丘成桐、布尔盖恩、约克斯、麦克马兰等人.（四）代数（共5位） （四）代数（共5位） 汤普森（Thomposn） 马古利斯（Margulis） 奎伦（Quillen） 泽尔曼诺夫（Zelmanov） 博切尔兹（Borcherds） 汤普森（Thompson） 汤普森（Thompson） 美国数学家，1970年获奖。他（与Feit合作）证明了有限单群的伯恩赛德（Burnside）猜想，即所有的非交换单群都具有偶数阶（1963年《太平洋数学杂志》用了整整一期，共238页来刊登这一定理的证明）。他的文章覆盖了整个有限群的分支。 马古利斯（Margulis） 马古利斯（Margulis） 前苏联数学家，1978年获奖。他综合地利用代数、分析、数论的近代成果，特别是各态遍历性理论，彻底解决了关于李群的离散子群的赛尔伯格猜想(即, 除去一些例外, 格子群都是算术群), 曼德福誉之为“惊心动魄”的工作。 奎伦（Quillen）奎伦（Quillen） 美国数学家，1978年获奖。他证明了关于在代数函数环上投影模的结构的塞尔猜想（多项式环上每一个射影模必是自由模），他还证明了代数K理论中的亚当斯（Adams）猜想，他在同伦理论，形式群理论，同调代数――有限群的上同调论等方面，取得重要成果, 他被誉为当代代数与代数拓扑中的首席专家.泽尔曼诺夫（Zelmanov） 泽尔曼诺夫（Zelmanov） 俄罗斯数学家，1994年获奖。他证明了群论的弱伯恩赛德（Burnside）猜想: 群（B(r,e)）一定有最大有限商群 。   博切尔兹（Borcherds）  博切尔兹（Borcherds） 英国数学家，1998年获奖。他对卡茨――莫迪（Kac-Moody）代数、自守形式作出了贡献，特别是1989年他用卡茨――莫迪代数工具证明了“魔群月光猜想”, 揭示了大魔群(其阶数有55位数大)与模函数之间的关系，并发现它与李代数到量子场论一系列主流问题密切相关，而闻名于世。 null 除了上述5位外，对代数学作出贡献的还有: 塞尔、孔涅、德里菲尔德、邦别里等人.（五）数论（共6位） （五）数论（共6位） 赛尔伯格（Selberg） 罗斯（Roth） 贝克（Baker） 邦别里（Bombieri） 外尔斯（Wiles） 拉福格（Lafforgue）赛尔伯格（Selberg） 赛尔伯格（Selberg） 美国数学家（挪威裔），1950年获奖。他对黎曼Zeta函数零点分布问题取得了出色成果, 他1949年用初等方法证明了素数定理，他对弱对称黎曼空间的调和分析和不连续群及其对于狄里克雷级数的应用，连续群的离子群研究都有重要贡献，他在解析数论方面的研究成果，已成为很多有价值的新论文的源泉，并揭示了数论与其它分支的联系。罗斯（Roth） 罗斯（Roth） 英国数学家（德裔），1958年获奖。他建立了用有理数逼近代数数的 瑟厄 —西格尔—罗斯（Thue―Siegel―Roth）定理。贝克（Baker） 贝克（Baker） 英国数学家，1970年获奖，他发展了一个强有力的方法, 去估计代数数的对数组成的线性型, 解决了数论中十几个历史悠久的问题，涉及超越数论、不定方程和代数数论等方面，还解决了高斯时代留下来的一个问题，肯定了类数为1的虚二次数域只有9个。 邦别里（Bombieri）邦别里（Bombieri） 意大利数学家，1974年获奖，改进了数论中的大筛法，得出了邦别里中值公式，证明了哥德巴赫猜想中的（1＋3）。外尔斯（Wiles） 外尔斯（Wiles） 英国数学家，1998年获菲尔兹特别贡献奖（他当时已45岁）。他1994年证明了费马猜想。拉福格（Lafforgue）拉福格（Lafforgue） 法国数学家，2002年获奖, 由于他证明了与函数域相应的整体“朗兰兹纲领 （Langlands Program）”, 从而在在数论和分析两大领域之间建立了新的联系。null 除了上述6位外，对数论作出贡献的还有: 塞尔、德利涅、福尔廷斯等人.（六）微分方程（共3位） （六）微分方程（共3位） 赫尔曼德尔（Hormander） 布尔盖恩（Bourgain） 利翁（Lions） 赫尔曼德尔（Hormander）赫尔曼德尔（Hormander） 瑞典数学家，1962年获奖，对线性偏微分算子理论，变系数线性偏微分方程解的存在性，伪微分算子理论都作出了重要贡献，关于微分算子方面的四卷本论文集是该分支的百科全书式的论著。 布尔盖恩（Bourgain） 布尔盖恩（Bourgain） 比利时数学家，1994年获奖。他把偏微分方程理论的许多方法和结果，从有限维系统地发展到无限维。利翁（Lions） 利翁（Lions） 法国数学家，1994年获奖。他发展了非线性偏微分方程理论中的粘滞性方法和变分法，系统地解决了一批有很大使用价值的非线性偏微分方程,例如: 他在解纳维- 斯托克斯方程, 等离子运动方程, 玻尔兹曼（Boltzmann）方程方面均有特殊贡献，并将其应用于物理和化学等许多领域。null 除了上述3位外，对微分方程作出贡献的还有: 道格拉斯、丘成桐等人.（七）微分几何（共2位） （七）微分几何（共2位） 道格拉斯（Douglas） 丘成桐 道格拉斯（Douglas） 道格拉斯（Douglas） 美国数学家，1936年获奖。他对普拉托极小曲面问题，作出了开创性的成果。 丘 成 桐丘 成 桐 美国数学家（华裔、中国科学院外籍院士），1983年获奖。他证明了微分几何中的卡拉比猜想，证明了广义相对论中的正质量猜想，对三维流形的拓扑学与极小曲面等方面都有贡献。null 除了上述两位外，对微分几何作出贡献的还有: 孔涅、邦别里等人.（八）动力系统（共2位） （八）动力系统（共2位） 动力系统理论是经典常微分方程式论的一种发展。它着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究办法是整体性的。这整体性有些是拓扑式的，也有是统计式的。约克斯（Yoccoz） 麦克马兰（Mcmullen） 约克斯（Yoccoz） 约克斯（Yoccoz） 法国数学家，1998年获奖。他将复动力系统的拟周期和双曲情形加以复合，从而对更一般的复动力系统的性状和分类作出了深刻的结果，对动力系统的发展以极大推动。麦克马兰（Mcmullen） 麦克马兰（Mcmullen） 美国数学家，1998年获奖。他对“复动力系统”（更著名的叫法是混沌理论）作出了重要贡献，特别是对“复动力学的主猜想”取得了突破，他证明了贝尔斯(Bers)猜想, 还解决了克拉(Kra)猜想。并提出了许多方法，从而建立了与当代主流数学的诸多联系。 null 除了上述两位外，斯梅尔、米尔诺、瑟斯顿等人对动力系统作出了重要贡献。（九）数理逻辑（1位） （九）数理逻辑（1位） 美国数学家，1966年获奖，运用自己创造的“力迫法”证明了连续统假设与ZF公理系统是相互独立的, 即他建立起连续统假设相对于通常的集合论公理系统的不可证明性。这一基础性结果具有广泛的科学与哲学意义。 科恩（Cohen） null 关于菲尔兹奖得主对数学的主要贡献, 有两点必须强调: 第一, 这45位菲尔兹奖得主，不仅分别在上述数学分支中作出了卓越的贡献，而且他们中的绝大多数都是博学多能，涉足多个分支，在多个分支上都有重要建树。 塞 尔 塞 尔 他不只对拓扑学作出了卓越贡献，他还涉足：多复变函数论、代数几何、数论、群论、交换代数、模形式等，并得到了许多深刻结果。世界著名的斯普林格（Springer）于1986年出版了他的一部三卷本论文集共有2064页。2000年又出版了他的第四卷。 小平邦彦 小平邦彦 他不仅对复分析作出了卓越贡献，他还对拓扑学，代数几何等作了许多贡献。1975年出版了他的一部三卷本论文集，共有1600多页，其内容博大精深。 邦别里 邦别里 他不仅对数论作出了卓越贡献，他对经典分析、代数几何、微分几何、拟结晶学都作出了一流的贡献。null 第二, 他们的获奖成果, 不仅与一个数学分支有关, 往往与多个数学分支都有深刻的关联。例如, 阿蒂亚对指标定理的证明, 不仅与拓扑学有关, 而且其证明还涉及数学中诸多领域, 特别是微分算子和K理论; 又如, 奎伦建立的代数K理论就运用了拓扑思想; 再如, 马古利斯对李群的离散子群的塞尔伯格猜想的证明,就综合运用了代数、分析、数论的近代成果, 特别是各态遍历性理论; 尤其是: 德利涅对韦伊猜想的证明;福尔廷斯对莫德尔猜想的证明;外尔斯对费马猜想的证明。它们不仅与传统的数学领域-----数论、代数、几何、分析有着血缘关系，而且与代数几何、拓扑学、组合数学、数理逻辑等都有密切关联。三、从菲尔兹奖看当代数学的特点三、从菲尔兹奖看当代数学的特点 1、当代数学在许多领域都取得了重大突破，新思想，新概念，新理论，新方法层出不穷，令人眼花缭乱，目不暇接。其中拓扑学、代数几何、分析学、代数、数论、偏微分方程等，成果最为丰硕。特别是代数学和拓扑学大大的推动和影响了其它分支的发展。 null因此著名数学家外尔指出：“今天，拓扑的天使抽象代数的精灵为每一个数学领域的灵魂而斗争”。 法国著名数学家迪厄多内称：“代数拓扑学和微分拓扑学通过它们对于所有其它数学分支的影响,才真正应该成为名副其实地称为20世纪数学的女王”。 null 数学已经朝着各个方向以非常惊人的速度扩展，新的领域出现了，向其它领域的扩散加速了，从而使我们关于经典领域的知识变得更加深厚了。而且可以看出，当代数学的发展，并不仅仅是一些新概念、新理论、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变革，可以说是质的飞跃。 null 但是质的变化不是通过破坏和推翻原有成果来实现，而是通过深化和推广原有成果而形成，进而达到新的境界，新的高度，从而使数学这门最古老的科学充满了勃勃生机。正如著名数学家外尔对菲尔兹奖得主小平邦彦和塞尔的评价所说： “数学界为你们所做的工作感到骄傲，它表明数学这棵长满节瘤的老树仍然充满着勃勃生机。” 阿尔福斯说：阿尔福斯说： “我们生活在激动人心的时代，各个学科领域取得了巨大的进展。 ……与数学相关的计算机已使世界面貌为之一新。……数学领域内激动人心的事情更是层出不穷。近年来，悬而未决的一些猜想出乎意料地得到解决……重大的数学问题的突破甚为频繁。…古典分析日益靠拢邻近的数学分支，…我自信，这个健康的势头将继续下去。” 有的数学家认为： 有的数学家认为： “20世纪数学的成就，比古希腊到19世纪末的总和还要多。” null 2、当代数学的发生、发展，一方面是不断地分化出新的分支，每个分支又分化出若干主题。以20世纪90年代初美国《数学评论》和德国的《数学文摘》编辑部联合制订的数学主题就是有约100大类，每一大类之下，又分20-50个不等的子类，全部子类的总数约5100个；另一方面是各分支间的综合性、渗透性、统一性也在增强和发展。一个分支所取得的成果，往往可以直接或间接地用到其它好多分支上去，并取得突破性的进展。 null 例如，拓扑学的成果广泛地和分析、代数等其它分支相结合，形成了当今数学最为活跃的领域之一。 当代数学所表现出的这种高度分化又高度综合的趋势与当代数学各分支的相互渗透、相互促进的机能是导致当代数学整体向前发展的强大动力，也是当代数学的特色之一。我们可以发现：我们可以发现： 当代数学世界中很大部分内容以一种完全意想不到的方式联系在一起。 例如，代数在数学中名副其实的到处渗透。 我们从“朗兰兹纲领”中，可以发现：代数中的基本对象跟分析中同样基本对象牢牢地拴在一起。又如，阿蒂亚的指标定理，就是代数学、拓扑学、分析学等多个数学分支相互结合的典型实例。null 又例如，赛尔伯格在解析数论方面的研究成果，就揭示了数论与其它分支的深刻联系，使人们能看到相距甚远的数学分支是如何交织在一起的，象离散群理论与自守形，半单李群的表示论，zeta函数理论与散射理论等等就是如此。 又如，马尔古利斯对“赛尔伯格猜想”的证明，正是巧妙而综合地运用了微分几何、代数学、动力系统及遍历理论等多种看起来似乎毫无关系的理论，才最终把问题解决了。 null 又如托姆的突变理论。它建筑于莫尔斯理论，惠特尼的奇点理论，以及其它诸多数学分支之上。在一个统一构思的框架中，它溶合了不同数学领域的众多优美的结果。因此，菲尔兹奖得主阿蒂亚深有感触地说：因此，菲尔兹奖得主阿蒂亚深有感触地说： “数学最使我着迷之处，是不同分支之间有许许多多的相互影响，预想不到的联系和惊人的奇迹。” null “一些看来相距较远又没有任何联系的不同数学领域之间，通过架桥铺路，最终使它们变得密切相关。”赛尔伯格说：日本著名数学家、沃尔夫奖得主伊藤清也指出： “数学各分支之间的相互联系越来越密切，作为有机整体的数学正在形成。” 菲尔兹奖得主费里德曼说：“今天我认为我们都能够感受到来自不同分支的思想汇聚在一起所产生的数学的强大动力”。 所以，法国著名数学家、布尔巴基学派的重要成员、沃尔夫奖得主H.嘉当指出： 所以，法国著名数学家、布尔巴基学派的重要成员、沃尔夫奖得主H.嘉当指出： “对数学的所有重要分支进行综合研究，看来时机已经成熟，这种研究应该…使各科目之间的基本联系得以理解。” 的确，当代数学家们面临的挑战，是如何去建立一座桥梁，把更多的分支都联系起来。菲尔兹奖得主格罗腾迪克的“纲领概要”实质上是一个探寻在几何，组合拓扑及代数几何之间联系的问题。法国数学家拉福格，正是由于证明了与函数相应的整体“朗兰兹纲领”，从而在数论与分析两大领域之间建立了新的联系，因而荣获了2002年度的菲尔兹奖。 null 3、数学研究的对象，并不局限于一般的“数”和“形”，当代数学中的“数”、“形”的概念已发展到很高的境地，比如，非数之“数”的众多代数结构，像群、环、域等;无形之“形”的各种抽象空间,像线性空间、拓扑空间、流形等。数学还研究现实世界的任何形式与关系，研究各种抽象的“数”和“形”的模式结构。 正如菲尔兹奖得主赛尔伯格所说：“今天，我们的数学主要关心的是结构及结构间的关系”。从而使数学的抽象程度越来越高。抽象性可以克服形象直观中的“局部性”和“局限性”，使其揭示的问题更广泛、深刻。例如，菲尔兹奖得主格罗腾迪克引进的“概型”这个概念，就把代数几何抽像程度提高到了新的水平，几何形象的痕迹完全消失，它超过了不少受传统教育的数学家们的理解，从而被誉为代数几何的一次革命。null 4、数学的应用越来越广，它不声不响地向其它学科纵深渗透。例如：托姆的突变理论，这个理论的发展已经远远超出了纯数学，甚至物理学的范畴。这一理论已经成为最受公众关注的数学现象，它已经或正在应用于诸如生物学、动物行为学、胚胎学、形态发生学、经济学、社会学、语言学等众多领域。 小平邦彦说： 小平邦彦说： “数学被广泛应用于物理学，天文学等自然科学，简直起了难以想象的作用，而且有许多情况说明，自然科学理论中需要的数学在发现该理论以前，就由数学家预先准备好了，这是难以想象的现象。” 从而进一步证实了爱因斯坦的名言: “理论物理学家越来越不得不服从于纯 数学形式的支配”和伽利略的名言：“自然界的伟大的书是用数学语言写成的。”null 我们可以看出，数学对于现实生活的影响正在与日俱增，例如：电视广播、多路通迅、气象预报、金融保险、CT扫描、药物检验、智能电器、航天科技、飞机制造、成衣制造、石油勘探…..，无一不用数学。许多学科都在或先或后地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学的渗透。例如，从1969年-2001年的49位诺贝尔经济学奖得主中，有27位的获奖工作都有相当数学化的。其中纳什和康托诺维奇原本就是数学家。 从而进一步证实了培根的名言： “数学是打开科学大门的钥匙。”null “数学是科学的皇后，…它常常屈尊去为天文学和其它科学效劳，但在所有关系中，它都堪称第一。”从而也进一步证实了高斯的名言：null菲尔兹奖得主弗里德曼高兴地说： “我要对数学家们的努力击掌欢呼，他们正在教育、能源、经济、国防以及世界和平等问题阐明自己的观点。” 5、这45位菲尔兹奖得主中，美国15人： 5、这45位菲尔兹奖得主中，美国15人： 阿尔福斯（芬兰裔）、 道格拉斯 赛尔伯格（挪威裔）、 米尔诺、 斯梅尔、 汤普森、 费弗曼、 瑟斯顿、 科恩、 奎伦、 弗里德曼、 曼福德（英裔）、 丘成桐（华裔）、 威滕、 麦克马兰null 罗斯（德裔）、阿蒂亚、贝克、唐纳森、高尔斯、外尔斯、博切尔兹。法国9人： 施瓦尔茨、托姆、塞尔、格罗腾迪克、德利涅（比利时裔）、孔涅、利翁、约克兹、拉福格。英国7人：null前苏联及俄罗斯有6人： 诺维科夫、马古利斯、德里费尔德，泽尔曼诺夫、孔采维奇、沃伊沃德斯基。 日本有3人： 小平邦彦、广中平佑、森重文。 null比利时1人：布尔盖恩。 德国1人：福尔廷斯。 意大利1人：邦别里。 瑞典1人：赫尔曼德尔。 新西兰1人：琼斯。 从这个分布可以看出：从这个分布可以看出： 当今美国的数学水平居于世界前列，20世纪30年代初，希特勒上台，使欧洲遭到空间浩劫，大批数学家先后移居美国，如外尔，冯·诺伊曼，诺特，阿廷，哥德尔，西格尔，柯朗等；null美国重视科学人和才，吸引了世界许多有才华的数学家到那里参加研究工作或任教； 法国、英国的数学教育和数学研究，有很好的基础和优良的传统，仍保持着很高的水平； 前苏联的数学水平也是很高的，它重视基础理论教育和研究、有许多著名数学家关心并参与数学教育，培养，造就了不少杰出数学家； 日本的数学近半个世纪以来取得了长足的进展，令人瞩目。 从这个分布可以看出，一个国家的数学水平和它的科学技术水平，教育和经济发展，有着极为密切的关系。 从这个分布可以看出，一个国家的数学水平和它的科学技术水平，教育和经济发展，有着极为密切的关系。 “一个国家的科学水平，可以用它消耗的数学来度量。” 数学家拉奥说：null 普林斯顿高等研究所：赛尔伯格、小平邦彦、丘成桐、威滕、布尔盖恩、道格拉斯、赫尔曼德尔、米尔诺、阿蒂亚、科恩、斯梅尔、贝克、邦别里、德利涅、奎伦、孔涅、瑟斯顿、唐纳森、弗里德曼、森重文、怀尔斯、沃伊沃德斯基等20多人。 null 法国的布尔巴基学派：1935年由一批年轻数学家：韦伊、迪厄多内、嘉当、薛华荔、埃瑞斯曼等人为振兴法国的数学而组成的，他们以结构的观点来统一数学，其代表作是《数学原理》（已出版近40分册）（施瓦尔茨，塞尔，格罗腾迪克都是这个学派的正式成员，而托姆，德利涅，孔涅则深受其影响）。韦伊、嘉当则是终身成就获——沃尔夫奖得主。为此著名数学家博莱尔评赞道：“布尔巴基学派……在培养数学的整体观念、数学基础的统一性，叙述风格、符号选择等方面，对数学发展产生了持久的影响。……他们多年来的无私合作，各不相同的个性，能向共同的目标，奋斗在数学历史上也许是绝无仅有的。” 四、菲尔兹奖得主的风彩及其对数学教育的一些见解四、菲尔兹奖得主的风彩及其对数学教育的一些见解 “一个人如果要在数学上有所进步，就必须向大师学习。” 阿贝尔曾说： 菲尔兹奖得主之所以能在数学上取得杰出的成就，其主要原因是： 菲尔兹奖得主之所以能在数学上取得杰出的成就，其主要原因是： 他们都非勤奋好学，对数学有执著的追求；他们为探索数学世界的奥秘锲而不舍，坚忍不拔； 他们全身心地去求解悬而未决的数学难题，去开创数学的新局面； 他们善于从面临的诸多数学问题中选择出值得探索的问题，从而为数学增添了光辉篇章； 他们治学严谨，是我们数学界的精英，有的堪称数学大师，有许多值得我们学习的优秀品格和治学方法。 他们还站在历史和时代的高度，对数学和数学教育发表了不少深刻、精辟的见解，值得我们去思考，去联想，去研究，去实践。下面举几个例子：下面举几个例子： 他是45位得主中，获奖时年龄最小的一位（1954年，他才28岁），他也是终身成就奖――沃尔夫奖得主（2000年度）。 他还是阿贝尔奖第一位得主（2002年） 塞 尔1.null 他自幼勤奋、好学（7、8岁起就喜欢数学），初中时，就做一些高中题目（用帮助欺侮他的大同学做数学作业来感化他们），14、15岁就开始学微积分，在高等师范学习时，就参加了H.嘉当的代数拓扑讨论班，不久成为布尔巴基学派的成员。 塞 尔null 他25岁获博士学位，其博士论文是关于同伦群的，极出色，不久就发表在《数学年刊》上，从而崭露头角。他才华横溢, 对拓扑学、多复变函数、代数几何、数论、群论、交换代数、模形式等分支都作出了重大贡献。塞 尔null 1986年斯普林格（Springer）出版了一部他的三卷论文集共有2064页，2000年又出版了第四卷. 他的这部论著不但展示出他取得的成果，而且包含了许多由他提炼的尚未解决的问题。塞 尔null “论文应含有更多注记、未解决的问题，这常常比精确证明了的定理更使人感兴趣。哎，但大多数人害怕承认自己不知道某些问题的解答，结果克制自己不提这些问题，…这太遗憾了！至于我自己，我很乐意说我不知道。” 塞 尔特别是他强调：null 他不但是一位博学多才的数学家，而且为人谦和，极受同行的拥戴。他50岁生日时，世界上许多著名数学家都写文章祝贺，《数学发明》杂志还专门用了35、36两卷的整个篇幅来发表了其中30篇祝贺他的文章,数学家拉乌尔（Raoul）说： “塞尔是聪明数学家的典范，凡他所理解的东西在他头脑中有如水晶般地明晰。” 英国著名数学家亚当斯说：“塞尔的每一篇文章都值得一读。”塞 尔null 他对数学教育发表了不少精辟的见解。他指出： “关于学生，关键是要让他们明白数学是活生生的，而不是僵死的，讲数学的传统方法有个缺陷，即教师从不提及这类问题，这很可惜。在数论中有许多这类问题，十几岁的孩子就能很好地理解它们：当然包括费马大定理，还有哥德巴赫猜想，以及无限个形如n2+1的素数的存在性。你可以随意讲一些定理而不加证明（例如，关于算术级数中素数的利克雷定理）。”塞 尔null他还说：“数学史是非常有趣的，它把诸事恰如其分地展现出来。” 他还认为：讲课，最理想的，是要把精确性和非形式化有机地结合起来。塞 尔赛尔伯格 赛尔伯格 陈省身教授在一篇文章说：“当代有名的数论大家赛尔伯格曾说，他喜欢数学的一个动因，是以下公式： 这个公式实在美极了：单数1,3,5,7……这样组合可以给出π，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。”2.赛尔伯格 赛尔伯格 赛尔伯格的父亲和两个哥哥都是数学教授，由于家庭的熏陶，自幼爱上了数学，13岁时，当他看到时，使他感到惊奇，并心驰神往，决心想知道它是怎样来的。当他阅读了哥哥借回的印度数学家拉马努金全集后，简直像发新大陆，极大地唤起了想象力。他未上大学之前，就写了一篇论文，题目是《关于某些数论的等式》。赛尔伯格 赛尔伯格 赛尔伯格不但是数论大家，他还对群论，代数几何，调和分析，多复变函数…等数学分支都作出了重要贡献。 这里我们介绍他的一项杰出成就，即用初等方法证明了素数定理。 素数定理 19世纪初，高斯和勒让德根据大量的具体数猜想： 对于相当大的整数N，小于N的素数的个数素数定理大约是即:但他们没有能给出证明。素数定理 而且在50年间毫无进展。到1850年俄国数学家切比雪夫首开，证明了素数定理其中a=0.92129, b=1.10555素数定理 1896年法国的阿达玛和比利时数学家瓦莱•普桑分别用高深的复变量的整函数理论和黎曼的zeta函数证明了这个定理，但他们的证明都非常复杂。 后来维纳又给出了一个复杂的新证明。 将近一个世纪的努力，使许多数学家都认为这个定理不可能用初等方法证明了。 素数定理素数定理 例如，英国解析数论大师哈代1920年在哥本哈根数学会发表演讲时就说：素数定理 “如果谁能给出素数定理的初等证明，那他就证明了我们现在关于数论，解析函数论中何谓深刻、何谓肤浅的见解是错误的，…从而到了该丢掉一些著作来重写理论的时候了。” 素数定理 就在哈代说这番话的28年以后，即1949年，年仅31岁的赛尔伯格就用初等方法证明了素数定理。他的证明轰动了世界数坛，并使他1950年荣获了菲尔兹奖。赛尔伯格1986年还荣获了终身成就奖――沃尔夫奖。素数定理赛尔伯格 赛尔伯格 在当代的数学论著中有不少以他的姓氏命名的数学术语，例如：赛尔伯格不等式，赛尔伯格等式，赛尔伯格公式，赛尔伯格筛法，赛尔伯格zeta函数，赛尔伯格猜想…等。赛尔伯格 赛尔伯格 赛尔伯格对数学和数学教育发表了不少精辟的见解，例如，他认为数学是一种最激动人心的智力活动，他说：“我很同情非数学家，我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报。”赛尔伯格 赛尔伯格 谈到数学发展的特点，他说：“在其它自然科学中，当新东西出来时就把老东西抛弃了，在数学中则不然，古希腊的数学家，如欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯，他们的东西今天仍然是正确的，当然在内容和实质保持不变时，表达他们的形式却一直在变化着。从一代人到另一代人，表现数学面貌的东西发生着深刻的变化。” 赛尔伯格 赛尔伯格 谈到数学教育，他说： “由于死板的体制，由于老师对那些少见的不平常的学生缺乏理解，而没有对他们实行特殊对待，最终使天才无从发挥自己的能力…要在各级教育系统中体谅那些不寻常的，可能在某个方面有特别天赋的学生。…对数学的教学内容一定要重新斟酌，应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。…图书馆应藏有相当数量的数学书籍，以便鼓励那些希望在学校课程之外找到什么新东西的人，使他们智力得到发展。”null 3．阿蒂亚 他是代数拓扑学和复分析学的若干重要成果的创始人，是一位博学多才的杰出数学家。他早期有关代数曲面的论文已使他跻身于第一流数学家的行列，他最杰出的成果，是他1963年与美国数学家辛格关于指标定理的证明。指标定理有很长的根系，其证明涉及数学上诸多领域，从拓扑理论方法到配边理论、伪微分算子、Soblev空间以及泛函分析，这个定理揭示了分析学、拓扑学、代数学之间的深刻联系，它可以说是代数学、拓扑学、分析学等多个数学分支相互结合的一个典型实例。 null 由这个定理可以推出许多重要定理（例如，黎曼一罗赫一希策布鲁赫定理，是它的一个特殊情形），它对于复代数簇理论、微分几何、数学物理上都发挥了重要作用，这个定理被誉为20世纪的重大成果之一。阿蒂亚的另一个重大成就是对K理论的建立。 null 阿蒂亚也是位优秀的演讲和教师，他对数学、数学研究、数学教育发表了许多精辟的见解。例如： 他说：“数学的统一性与简单性都是极为重要的。因为数学的目的就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界。”“数学最使我着迷之处是不同的分支之间有着许许多多的相互影响， 有着预想不到的联系和惊人的奇迹。” 他把数学看成一个整体。他说：“我强烈的反对把数学简单地看作一些相互割裂的课题的汇集，以为可以借写下的公理1，2，3，来发明一些新的数学分支，而且自己一直做下去……” null 他说：“应该有更多的数学家参与进来，并设法学一些物理学，他们应该把新的数学方法引进到物理中去。”阿蒂亚把物理学中的“瞬子”问题与代数几何挂钩，所得到的关于场理论的重要工作，不但充分体现了他的这一思想，也看出了他在身体力行。同时他也十分重视计算机科学的发展给人类社会、人类智慧、教育学、经济学乃至数学带来的影响与挑战。 阿蒂亚十分重视数学的应用。他认为“在某种意义上，是物理学为数学供了最深刻的应用，物理学中产生的数学问题的解答方法，过去一直是数学活力的来源，现在仍然如此。”null 关于大学教育，阿蒂亚指出：“大学教师必须保持两种活动的平衡，他们应该知道学生学些什么是有用的，要记住学生将来作些什么。” 他认为学习数学不是靠记忆而是靠理解，他说：“当你传授知识时，你应该设法传授理解。”阿蒂亚培养出了不少杰出人才。例如，1986年度的菲尔兹尔奖得主唐纳森就是他的学生。null 阿蒂亚善于与别人合作，像辛格、希策布鲁赫，塞尔、博特等人都与他合作过。他说：“我发现与别人交流思想是非常激励人的，……我与别人交谈时，把各种思想搅拌在一起，新的东西一出现就紧追不舍。” null 阿蒂亚思如泉涌, 有哲人的宏识, 发表了许多有影响的论文，1985年牛津大学出版社出版了他的五大卷全集，但还未能反映出他的工作的全貌，因为他每年都有新的论文发表。1990年，阿蒂亚被选为剑桥大学三一学院院长兼任牛顿研究所所长，这是继牛顿之后首次由一位数学家出任三一学院院长职务；1990-1995年他任英国皇家学会会长，这也是牛顿担任过的职务。 2004年他荣获了阿贝尔奖。 null 4．格罗腾迪克 他是一位传奇式的杰出数学家，1928年生于柏林的一个犹太人家庭，其父是俄国人在二战中被纳粹杀害，其母是德国人，格罗腾迪克13岁作为难民到了法国，在难民营中长大，受到一些初等教育，后来进入蒙泰佩利耶大学学习，毕业后到巴黎高等师范学校希望进一步深造。一次，他登门拜访H·嘉当，说他希望学习分析学，嘉当告诉他，要学分析学应去南锡大学找迪厄多内和施瓦尔兹。null 随后他去南锡大学找到施瓦尔兹，施瓦尔兹把他与迪厄多内刚写的论文《（F）和（KF）空间的对偶性》让格罗腾迪克回去看，这篇论文的后面提出了14个未解决的问题，格罗腾迪克经过自己独立的钻研，两个月以后，他带了其中7个问题的答案再来见施瓦尔兹，这使施瓦尔兹大为惊喜。格罗腾迪克的那些答案不久都发表在1950年的法国科学院通报上。 null 1953年，格罗腾迪克在南锡大学获博士学位，其博士论文的题目是《核空间的拓扑张量积》，极出色，其导师便是迪厄多内。1953-1956年他先后到巴西圣保罗大学，美国哈佛大学、麻省理工学院，英国剑桥大学等进行访问研究，这期间他主要研究同调代数，1957年转向代数几何。格罗腾迪克非常勤奋，每天工作