游戏网站奖项设置

游戏网站奖项 【摘要】：本文结合概率分布变换、模糊分析与高精度离散求解等方法，从理 论角度研究大型游戏网站的积分规则管理与奖金分配。 各项奖金额的确定，主要从奖额对用户吸引程度，通过模糊分析建立二 元对比隶属度函数确定各奖项的最终奖额，分别为 10万、1万、5千、500、 200元。 各奖项获奖最低分值与各奖项的获奖概率段有关，本文用叠加离散二项 分布表示答 m 道对 n 道题的概率（详见 4.2.0），通过对数变换与样本缩小表 示出高精度概率离散值，以各获奖离散概率段范围为决策变量，以总用户满 意度最大为目标建立 0-1整数线性规划模型求解各概率段取值，通过概率段取 值对应得到各奖项最低分值，分别为 19600、18600、17800、12400、9200。 当答错题扣分为 30、50时，获奖最低分值严重偏大、偏小。偏大时对参加游 戏的用户无形中制造了恐惧感，偏小时分值明显不可行（见 4.2.3）。由此说 明每道题答错扣 40分更为合理。 考虑用户用 2元清零（买分）时，实意为增加了总期望收益（会员费 100 元+每用户期望清零(买分)次数×2元，详见 5.1.1与 5.2.1）和获奖概率（通 过概率分布局部放大的方法，详见 5.1.1-2与 5.2.1-2）；在用户续分的规则下， 对可兑奖用户的兑奖概率运用模糊隶属函数分析，通过各项奖兑奖概率结合 分值概率分布可计算次年期望用户积分，从而确定新兑奖最低分值（见 5.4）； 三种特殊规则下叠加概率分布图见 5.4节图 2.1。 采用手机短信参与游戏，大致处理方式与会员方式相同，但各种规则下 期望收益各不相同（详见 6.2.1），获奖分值也相差较小（扣除会员赠送 5000 分），具体方案见 6.3。 关键字：叠加二项分布 模糊分析 二元对比隶属度 1 问题重述 某游戏网站主要提供网络竞猜服务，具体竞猜方法如下： 网络用户花 100 元钱注册一年会员资格，并同时一次性获得网站赠送的初始分数 5000分。只有获得会员资格的用户可以参与游戏，每个会员的游戏成绩以累积总分的形 式记载。 每道竞猜题目都是关于未来几天将要发生的公共事件的结果预测，在竞猜时还没有 确定的答案（如某场将要举行的足球赛的比分）。网站每天公布大约 10道竞猜题，每题 有 4个候选答案，其中有且只有一个会是正确的。 每个会员每天参与竞猜的题目数量没有限制，但每道题目只能竞猜一次。会原煤猜 对一道题获得 100分，猜错一题扣 40分。 网站决定拿出全部收入的 50%设置 5种奖项，最低奖项价值为 200元，最高奖项价 值 10 万元。获得每种奖项都有相应的最低分数的要求，即只有总分不低于相应分数的 用户可以兑换奖品，并且兑换奖品时用户的总分中自然的减去相应的分数。 会员资格到期后，所有分数自动清零。 请你分析和解决以下问题： [1] 请你为该网站设计每种奖项的价值及对应得最低分数要求，并讨论如果答错 一题不是扣 40分而是扣 30或 50分，结果如何变化？ [2] 如果网站允许分数为负数的用户花钱（如 2 元）将自己的分数清零，这种清零 功能对第 1 问有什么影响？如果网站还允许分数低于 5000 分的用户花钱购买分数，如 每花 2元就可以将自己的分数增加 100分（但增加后的总分不能超过 5000分），这种功 能对第 1问的结果有什么影响？有些会员对“会员资格到期后，所有分数自动清零”的 规则不满意，建议网站允许他们将现有分数带入下一个会员期（新的一年），如果网站 采纳这一建议，对第 1问的结果有什么影响？ [3] 网站打算进一步提供通过手机短信参与竞猜游戏的服务，手机短信参与游戏没 有年费（也不会赠送任何初始分数），但网站对每条短信息收费 0.1元（每条短信只能参 与一道题）。请对这种手机游戏讨论上面的两个问题。 [4] 请你对上述问题的分析结果，给网站管理层写一篇短文，对该游戏奖项的设计 和相关功能的提出意见和建议。同时，请你给准备参与该游戏的用户写一篇短文，对参 与者提出你的忠告和建议。 2 模型假设 [1] 一次只能对一个奖； [2] 假设一年按 365天计算； [3] 竞猜时所有题目结果皆未知； [4] 每个会员都是在年初同时入会； [5] 网站每天准时公布 10道竞猜题； [6] 4个候选答案，其中有且只有一个会是正确的； [7] 不允许续分时，假设最后一天所有获奖会员全部顺利兑奖； 3 符号说明 jP —— 表示得第 j种得分的概率 ip —— 表示获第 i个奖项的概率 iX —— 表示得第 i个奖项的奖金额 N —— 表示参加游戏的总人数 4 奖金额及对应最低分数设计模型（问题一） 本问要求为该网站设计每种奖项的价值及对应的最低分数要求，并讨论如果答错 一题不是扣 40分而是扣 30或 50分，结果如何变化？ 本节共通过下面三小节解决了以上问题： 4.1：通过二元对比法建立模糊隶属函数模型Ⅰ(ⅰ)求解出各项奖奖金额； 4.2：建立最优化模型Ⅰ(ⅱ)求解各种奖的获奖概率，并通过各种奖项获奖概率与 其对应最低分的关系推出各种奖项最低分。 4.1 确定各项奖奖金额模型 4.1.1 模型Ⅰ(ⅰ)分析 奖项设计的根本目的是增加奖项对网民的吸引力，使更多的网民参与游戏，增加游 戏网站的收入，那么各项奖奖金额的设置应从网民感觉角度考虑使其吸引力最大，以奖 金额对网民的吸引力最大确定奖金额设置的三原则： ● 高一级的奖金额远大于低一级的奖金额 ● 奖项由低到高，奖金额的差值梯度依次增加 ● 奖项由低到高，吸引力依次增加 奖金额设置原则分析： 原则一：从现实角度考虑，高一级奖金额要大于第一级的奖金额才合理，以 ix 表示 第 i等奖的奖金额，则原则一可表示为： 1i ix x +> 41 51 10 , 200 ,x x= × = 1,2,3,4i = 原则二：奖金额的梯度设计应依次增加，这样潜在提升了高项奖的吸引力，特别在 一等奖奖金额一定的情况下，当加大一等奖与二等奖的差距时，无形中提升了一等奖固 定奖金额的吸引力。原则二可表示为： 1 1 2i i i ix x x x− − −− > − 1,2,3i = 原则三：为了提升高一级奖项的吸引力，让用户一直玩下去，积极的争取得到更高 将项的奖金，而不是得到一个较低奖项就停止游戏，应在制定奖金额时应以增加高项奖 的吸引力为主要目的。 4.1.2 模型Ⅰ(ⅰ)的建立与求解 基于以上原则，结合题中给出了最低最高奖金额的信息，选择二元对比法确定奖金 额隶属函数，进而求得对网民吸引力最大的奖金额设置。 设论域 1 2 3 4 5{ , , , , }U x x x x x= ，其 ix 表示第 i等奖的奖金额，则在满足原则一、二的 前提下，以原则三为目标得到 ix 的二元相对比较级矩阵： { } 1 2 3 4 5 1 2 5 5 3 4 5 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.1 1 0.7 0.6 0.5 0.3 0.2 1 0.5 0.4 0.4 0.3 0.1 1 0.3 0.5 0.4 0.3 0.2 1 ij x x x x x x x A a x x x ×         = =            按照“奖项由低到高，吸引力依次增加”这一原则，以 ( / )f x y 表示 ija= ，令： ( ) ( / ) max( ( ), ( )) y x y f x f x y f y f x = 显然有： ( ) / ( ) ...... ( ) ( ) ( / ) 1 ...... ( ) ( ) y x y x y x f x f y f x f y f x y f x f y ≤=  > 当 当 此处 ,x y U∈ ，以 ( / )f x y 为元素构成矩阵，并 ( / )f x x 取 1，即可得“相及矩阵”： { } 1 2 3 4 5 1 2 5 5 3 4 5 1 1 1 1 1 1/1 0 1 4 / 7 5 / 6 1 1 1/ 2 1 1 7 / 8 1/ 5 1 1 1 1/10 1 9 /1 6 4 / 5 2 / 5 1 ij x x x x x x x B b x x x ×         = =            就相及矩阵中每一行取最小值，可得相机决策向量： ( ) (1 ,1/1 0,1/ 2 ,1/1 0, 2 / 5 )iC c= =  由二元对比法定义可知： 1 1i i ix c x+ += ⋅ 1,2,3,4i = 将已知最低最高奖金额带入得： 2 3 4 10000 5000 500 x x x =  =  = 结果整理： 基于以上模型建立与求解可将结果整理如下： 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 奖金额（元） 100,000 10,000 5,000 500 200 4.2 求解各种奖项最低分模型 4.2.0 模型准备 (1) 选做 n道题且做对 m道题概率的计算 根据题目信息及模型假设，网络用户在年初注册一年（365天）会员资格，网站每 天公布 10道竞猜题，那么一年中网站共公布 3650道题，对于每位会员而言总是答自认 为感觉好的题，由于每道题在竞猜时还没有确定的答案，会员在不知道答案的情况下对 每道题的感觉是随机的，即每道题答与不答的概率都为 1/2，且每次答题是相互独立的， 以 ( )q n 表示答 n道题的概率，答题数目服从二项分布: ( 3650 , 1/ 2 )n Bin ，即： 3650 3650 3650 3650 ( ) (1/ 2) (1 1/ 2) (1/ 2) n n n n q n C C −= ⋅ ⋅ − = ⋅ ① 由于竞猜题为未来几天将要发生的公共事件的结果预测，而未来发生事件结果具有 不可预测性及随机性，所以对于候选的 4答案每种结果出现概率皆相同。根据题目信息， 每道题有且仅有一个答案是正确的，所以答任意一道题答对的概率相同，都为 1/4 ，且 每次答题是否答对是相互独立的，则对于选择答的 n道题，以 ( )q m 表示 n道题中答对m 道题的概率，答对题数目服从二项分布: ( , 1/ 4 )m Bin n ，即： ( ) (1/ 4) (3 / 4)m m n mnq m C −= ⋅ ⋅ ② 则选择答 n道题且答对 m道题概率为： ( ) ( )nmq q n q m= × ③ 联立表达式①②③，运用Matlab软件中的二项分布函数（binopdf 函数）求解出竞 猜者答题所有情况下的概率分布，具体求解结果见附录。 (2) 得分及得分概率的计算 根据题目信息，会员每猜对一道题获得 100分，猜错一题扣 40分，不猜得 0分， 则对于 3650 道题得分最高为 365000，最低为−146000，答 n道题且答对m道题的得分 为： 100 40 ( ) 0 (3650 )nmS m n m n= × − × − + × − 140 40m n= − ( 146000,365000)nmS ∈ − 在此区间内具体得多少分取决于选做多少题及做对多少题，即得分概率分布与答 n 道题且答对 m道题概率分布相对应，则在最高最低分数区间内，得 nmS 分的概率为： nmq 。 为便于确定竞猜者的得分范围对应的概率大小，需要对竞猜者的所有得分情况从小 到大进行排序处理，同时对每种情况对应得概率大小进行相应的排序。将排序后个的得 分数放在数组P中，同时将排序后对应的概率值放在数组 y中。根据得分由小到大的顺 序绘出如下叠加离散二项分布图： 图 1.1 叠加离散二项分布图 4.2.1 模型Ⅰ(ⅱ)分析 本模型建立目的为确定各种奖项对应的最低分数，由模型准备及数据处理知各种奖 项最低分数与获各种奖项的概率有一一对应的关系，由此可通过建立模型先求解获各种 奖项的概率，再推出其对应的最低分数。 各奖项最低分设计目标应使设计后各分数线对彩民的吸引力最大，事实上由于用于 奖励的金额一定（网站总收入的 50%），那么对最低分数线设计的原则是使这些奖金能最 大限度分配出去。若分数设低了，则分配出去的多了，网站折钱；若分数设高了，分配 出去的钱少了，网民不满意，由此，本模型应为在满足奖金额为网站总收入的 50%内的 约束下，使分配出去的金额尽量多。 一、目标分析 由上面分析知，本模型目标为使分配出去的金额尽量多。根据题目信息，会员每猜 对一道题获得 100 分，猜错一题扣 40 分，不猜得 0 分，则对于 3650 道题得分最低为 −146000，最高为 365000，在这之间的得分呈不均匀离散状态分布，将所有可能得分按 从小到大进行排序并从 1开始编号，设共有K种得分。 引入 0-1变量 ijf 表示第 j种得分是否可获第 i个奖项，则： 1 ...... 0 ......ij j i f j i  =   第种得分可获第个奖项 第种得分不可获第个奖项 (1.1) 由于获高项奖的理论上是一定可以获低项奖的，所以： ( , 1)ij i jf f +≤ (1.2) 1,2,...,5 ; 1, 2,..., ( 1)i j K= = − 以 jP表示得第 j种得分的概率，则可获第 i个奖项的概率为： 1 K i ij j j p f P = = ∑ (1.3) 以N表示参加游戏的总人数，则获第 i个奖项的人数为： iN p⋅ 。由模型Ⅰ(ⅰ)可 得第 i个奖项的奖金额，设为 iX ，则第 i个奖项的奖金总额为： i iN p X⋅ ⋅ 则所有奖项的奖金额为： 5 1 i i i N p X = ⋅ ⋅∑ 为增大游戏吸引力，应使所有奖项奖金额最大，由于 N为常数，则在仅考虑分配问 题时可将其并入到变量中去，即目标为： 5 1 i i i Max p X = = ⋅∑ 二、约束分析 (1) 奖金总额不高于网站总收入的 50% 网站决定拿出全部收入的 50%作为奖金，事实上是不可能恰好得奖的情况满足等式 关系，由于奖励政策是由网站方制定的，那么应从网站角度考虑，应让奖金额在 50%以 内小范围波动，以保证网站盈利。 奖金额有一重要分配原则，即各种奖的总奖金额应相等，这样通过控制获奖人数来 使不同奖项的奖金额不同，那么 5种奖的总奖金额应分别小于等于全部收入的 10%。 以 iX 表示得第 i个奖项的奖金额，以 ip 表示获第 i个奖项的概率， N 表示参加游戏 的总人数，则本约束为： 100 10%i iN p X N⋅ ⋅ ≤ × × (1.4) 即： 10i ip X⋅ ≤ 1, 2,...,5i = (2) 高项奖获奖概率低于低项奖获奖概率 高项奖需要更高的分数来达到，而分数越高想达到高分的概率应越低，以 ip 表示获 第 i个奖项的概率，则： 1i ip p +< (1.5) 1,2,3,4i = 4.2.2 模型Ⅰ(ⅱ)建立 基于模型分析，以对网民的吸引力最大（分配出去的金额）为目标，以(1.1) (1.5) 为约束，建立求解各奖项获奖概率的最优化模型如下： 5 1 i i i Max p X = = ⋅∑ ( , 1) 1 1 {0,1} ......(1.1) 1,2,...,5 ...... ......(1.2) 1,2,..., ( 1) . . ...... 1, 2,...,5 ......(1.3) 10 ...... 1, 2,...,5 ......(1.4) ...... 1, 2,3, 4 ......(1.5) ij ij i j K i ij j j i i i f i f f j K S T p f P i p X i p p i + = + ∈  = ≤  = −  = =  ⋅ ≤ = < = ∑   说明： (1.1) ijf 为 0-1变量，表示第 j种得分是否可获第 i个奖项，可获时为 1； (1.2) 保证获高项奖的理论上是一定可以获低项奖的； (1.3) 可获第 i个奖项的概率为其得分区间内各种得分概率的累加； (1.4) 奖金总额不高于网站总收入的 50%； (1.5) 高项奖获奖概率低于低项奖获奖概率； jP —— 表示得第 j种得分的概率 ip —— 表示获第 i个奖项的概率 iX —— 表示得第 i个奖项的奖金额 N —— 表示参加游戏的总人数 4.2.3 模型Ⅰ(ⅱ)求解 通过 Matlab数据处理计算出 ijP ，运用 LINGO软件对上述整数线性规划模型采用全 局寻优，求得全局最优解（程序见附录 1.1），对规划模型求解到的 ijf 与 ip 导入 MATLAB 确定对应的得奖最低分，得到方案及相关数据如下表： 表 1.1 答错一题扣 30、40、50分时各奖项最低分、获奖概率及奖金额 答错扣 40分 获奖最低分值 答错扣 30分 获奖最低分值 答错扣 50分 获奖最低分值 获奖概率 奖金额 (￥) 一等奖 19600 32300 7500 0.010% 100000 二等奖 18600 31400 6500 0.100% 10000 三等奖 17800 30600 5500 0.200% 5000 四等奖 12400 25400 -500 2.000% 500 五等奖 9200 22300 -4000 4.990% 200 结果分析： [1] 由上表可见，当答错一题扣 40 分时，获奖最低分 9200，最高分 19600，总体 比较合理，对网民具有很强的吸引力； [2] 当答错一题扣 30 分时，获奖最低分值严重偏大，对参加游戏的用户无形中制 造了恐惧感，使得游戏对网民的吸引力降低； [3] 而当答错一题扣 50 分时分值严重偏低，得四、五等奖的分数出现负分，而会 员初始分已达 5000分，这样设计显然不合理； 综上所述，答对一题加 100 分的前提下答错一题扣分分值控制在 40 分左右是比较 合理的且对网民吸引力最大。 5 特殊游戏规则下对问模一结果影响（问题二） 本问要求讨论在三种特殊游戏规则下，对第一问求解结果有何影响？本节共分以下 四小节： 5.1：在特殊规则一允许分数为负数的用户花钱将自己的分数清零下，讨论这种清 零规则对第 1问的影响； 5.2：在特殊规则二允许分数低于 5000分的用户花钱购买分数下，讨论这种规则对 第 1问的影响； 5.3：在特殊规则三允许会员将现有分数带入下一个会员期下，讨论这种规则对第 1 问的影响； 5.4：模型Ⅱ（ⅰ）、Ⅱ（ⅱ）、Ⅱ（ⅲ）的模型求解及结果对比分析。 5.1 允许清零下对第一问结果影响模型 5.1.1 模型Ⅱ（ⅰ）分析 本模型主要讨论如果网站允许分数为负数的用户花钱（如 2元）将自己的分数清零， 这种清零功能对第 1问有何影响。 那么首先应考虑当分数为多少时清零最合理，由于初始时会员花 100 元买了 5000 分，相当于每 100分要 2元钱，那么只有当分数低于−100时清零才合算，为了提高获 奖可能性，假设当分数低于−100 时会员会立即清零，这种游戏规则会对第一问结果产 生如下两方面影响：  由于会员的清零费使网站收入增加，同时奖项奖金额增加；  由于可清零使分数为负的概率为零，同时提高了获 0以上分的概率。 由此分析需先计算会员清零的次数，进一步计算由会员清零增加的收入，并结合清 零对得分概率分布的影响，由此推出各奖项奖金额。 (1) 期望清零次数的计算 根据题目信息，会员每猜对一道题获得 100 分，猜错一题扣 40 分，不猜得 0 分。 由前面分析知：每道题答与不答的概率都为 1/2，且答对的概率为 1/4，答错的概率为 3/4，则可得会员答任意一题的得分概率分布如下： iξ −40 0 100 ( )ip ξ 3/8 1/2 1/8 则会员每做一题的得分期望为： 3 1 ( ) ( )i i i E pξ ξ ξ = = ⋅∑ = 40 3/ 8 0 1/ 2 100 1/ 8− × + × + × 2.5= − 即会员每做一道题的期望得分为 2.5− 分。 由于在计算每做一道题的得分期望时已考虑对一个题答与不答的情况，所以在计算 一年期望得分时可直接用全年总题数乘以每一道题的期望得分，这样不做的题系数为 0， 即会员一年的答题期望得分为：3650 ( 2.5) 9125× − = − 分。 由上面分析知，一旦出现分数低于−100 的情况，则会员立即清零，所以对于一年 而言，会员期望清零次数为： 9125 5000 41 100 − +  = −  《注》：“   ”为向下取整。 (2) 清零对得分概率分布的影响 由于低于 100− 的分的都清零，则得分低于 100− 的分的概率为 0，那这部分概率加 到 0分以上，使 0分以上的得分概率之和为 1。 设 1n 为最低分−146000 到清零分 100− 的分界序号，以 jP′表示清零后第 j种得分的 得分概率，则： 1 1 j n j K j j n P P P + = ′ = ∑ 11, 2,...,j K n= − 则应将第一问模型Ⅰ(ⅱ)中(1.3)进行修改如下： 允许清零时可获第 i个奖项的概率为： 1 1 K n i ij j j p f P − = ′ ′= ∑ (2.1) 1,2,...,5i = (3) 清零对奖金额设置约束的影响 由于清零增加了网站收入，则可用来做奖金的金额增加了，对所有会员而言，期望 清零次数为 41次，每次清零费用为 2元，则每人一年内多交了 82元，对于网站而言， 相当于一人一年多交了 82 元，这样相当于每年每人交 182 元会费，对奖项设置的初始 值有影响，所以应将模型Ⅰ(ⅱ)中(1.4)进行修改如下： 允许清零时奖金总额不高于网站总收入的 50%： 182 10%i iN p X N′⋅ ⋅ ≤ × × (2.2) 即： 18.2i ip X′ ⋅ ≤ 1,2,...,5i = 5.1.2 模型Ⅱ（ⅰ）建立 基于模型分析，仍以对网民的吸引力最大（分配出去的金额）为目标，以(1.1)、 (1.2)、(1.5)、(2.1)、(2.2)为约束，建立允许清零时求解各奖项获奖概率的最优化模 型如下： 5 1 i i i Max p X = ′= ⋅∑ ( , 1) 1 1 1 1 {0,1} ......(1.1) 1,2,...,5 ...... ......(1.2) 1,2,..., ( ) . . ...... 1, 2,...,5 ......(2.1) 18.2 ...... 1, 2,...,5 ......(2.2) ...... 1, 2,3, 4 ......(1 ij ij i j K n i ij j j i i i i f i f f j K n S T p f P i p X i p p i + − = + ∈ = ≤  = − ′ ′= = ′ ⋅ ≤ = ′ ′< = ∑ .5)            说明： jP′ —— 表示允许清零时得第 j种得分的概率； ip′ —— 表示允许清零时获第 i个奖项的概率； 1n —— 为最低分−146000到清零分 100− 的分界序号。 5.2 允许买分下对第一问结果影响模型 5.2.1 模型Ⅱ（ⅱ）分析 本模型主要讨论如果网站允许低于 5000 分的用户花钱购买分数，如每花 2 元就可 以将自己的分数增加 100分（但增加后的总分不能超过 5000分），这种买分功能对第 1 问有何影响。 由于可以买分，事实上当分数低于 5000后想通过答题达到 5000分是比较困难的， 因此会员为了能尽快得奖会选择花钱买分，由于只有当低于 4900 时初次买分才合算， 假设所有低于 4900分的都会花钱买分使分数维持在 5000分，则这种游戏规则会对第一 问结果产生如下两方面影响：  由于会员的买分费使网站收入增加，同时奖项奖金额增加；  由于可买分使得分低于 5000分的概率为零，同时提高了获 5000以上分的概率。 由此分析需先计算由买分增加的收入，并结合买分对得分概率分布的影响，由此推 出各奖项奖金额。 (1) 买分对得分概率分布的影响 由于低于 5000的分的都买分，则得分低于 5000的分的概率为 0，那这部分概率加 到 5000分以上的分数中，使 5000分以上的得分概率之和为 1。 设 2n 为最低分−146000 到清零分 4900的分界序号，以 jP′′表示买分后第 j种得分的 得分概率，则： 2 2 j n j K j j n P P P + = ′′= ∑ 21, 2,...,j K n= − 则应将第一问模型Ⅰ(ⅱ)中(1.3)进行修改如下： 允许买分时获第 i个奖项的概率为： 2 1 K n i ij j j p f P − = ′′ ′′= ∑ (2.3) 1,2,...,5i = (2) 买分对奖金额设置约束的影响 由 5.1.1(1)知，会员一年的答题期望得分为：3650 ( 2.5) 9125× − = − 分，再加上初始 的 5000分，一年的期望得分为： 4125− ，得若要买到 5000分需要买9125分，每 100分 元，则每人每年期望买分金额为： 9125 2 100   ×   由于买分增加了网站收入，则可用来做奖金的金额增加了，对于网站而言，相当于 每人一年内多交了 182元，这样相当于每年每人交 282元会费，对奖项设置的初始值有 影响，所以应将模型Ⅰ(ⅱ)中(1.4)进行修改如下： 允许买分时奖金总额不高于网站总收入的 50%： 282 10%i iN p X N′′⋅ ⋅ ≤ × × (2.4) 即： 28.2i ip X′′⋅ ≤ 1,2,...,5i = 5.2.2 模型Ⅱ（ⅱ）建立 基于模型分析，仍以对网民的吸引力最大（分配出去的金额）为目标，以 (1.1)、 (1.2)、(1.5)、(2.3)、(2.4) 为约束，建立允许买分时求解各奖项获奖概率的最优化 模型如下： 5 1 i i i Max p X = ′′= ⋅∑ ( , 1) 2 2 1 1 {0,1} ......(1.1) 1,2,...,5 ...... ......(1.2) 1,2,..., ( ) . . ...... 1, 2,...,5 ......(2.3) 28.2 ...... 1, 2,...,5 ......(2.4) ...... 1, 2,3, 4 ... ij ij i j K n i ij j j i i i i f i f f j K n S T p f P i p X i p p i + − = + ∈ = ≤  = − ′′ ′′= = ′′⋅ ≤ = ′′ ′′< = ∑ ...(1.5)            说明： jP′′ —— 表示允许买分时得第 j种得分的概率； ip′′ —— 表示允许买分时获第 i个奖项的概率； 2n —— 为最低分−146000到 4900的分界序号。 5.3 允许将分数带入下一会员期下对第一问结果影响模型 5.3.1 模型Ⅱ（ⅲ）分析与建立 本模型主要讨论如果网站允许会员资格到期后可将现有分数带入下一个会员期（新 的一年），这种功能对第 1问结果有何影响。 首先明确合理的续分方案：对于分数不足 5000 分的会员在新会员期初始分皆为 5000分，对于分数高于 5000分的，在新会员期保持原有分数。 (1) 老会员兑奖概率分析 在一个会员期结束时，由于可以将分数带入下一个会员期，这样就要对获各种奖项 后是否兑奖进行分析。对于获一等奖的会员，显然会立即兑奖对于获其它奖项的会员， 由于存在高项奖的潜在吸引力，而将分数带入下一会员期提升了初始值，获高项奖概率 大大提高这样会有大批人获奖而不兑奖。 由此，获一等奖兑奖的概率为 1，获其它奖项时由于奖项越高则能拿到更高奖的难 度越大，而且存在答错题使得失去能拿到的奖项的风险，所以随着获奖级别的提高，兑 奖概率急剧增加，符合“降半Γ分布隶属函数”，函数图像如下： 则兑第 i等奖的概率为： ( 1)( ) k ii eµ − −= 0 , 1,2,...,5k i> = 其中，当 1i = 时， (1) 1µ = ，当 5i = 时， (5) 0.5µ = ，将此值带入函数中求解得： 11.733 10k −= × 即兑奖概率函数为： 11.733 10 ( 1)( ) ii eµ −− × −= 1,2,...,5i = 将 2,3, 4i = 带入上面函数中求得老会员在一个会员期结束时兑各种奖的概率： 获奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 兑奖概率 1.00 0.84 0.71 0.60 0.50 (2) 会员期初始期望分数的计算 基于以上分析，在新会员每年共有两大部分人，一部分人为新会员及上一会员年分 数不足 5000分的，这部分人初始值都为 5000分，对第一问结果无影响，可不考虑；另 一部分人为上一年分值超过 5000分却不兑奖的老会员，这部分人初始分高于 5000分。 其中，高于 5000 分的会员包括达到获奖分数的会员和未达到获奖分数的会员。其中， 达到获奖分数线的会员分为兑奖和不兑奖两种情况。 情况一 年终分值未达 5000分的会员对应的初始期望分数 由于该种情况下会员得分低于 5000，会员会选择将往年分数清零，重新注册并接受 网站赠送的 5000分，令 0 5000y = 。根据会员得分概率分布，令会员分数低于 5000的情 况数为 1F，则此种情况对应的初始期望分数为： 1 1 0 1 F j j y Pξ = =∑ ① 情况二 年终分值达 5000分以上且未达获奖分数的会员的初始期望分数 该种情况下，由于会员年终分值在 5000 分以上，为在新的一年更有利于获奖，会 员不会将该分清零。令会员分数低于最低获奖分数的情况数为 2F ，此种情况对应的初始 期望分数为： 2 1 2 1 F j j j F y Pξ = + = ∑ ② 情况三 年终分值达到获奖分数的会员对应的初始期望分数 有些会员在年终时已经达到可以获奖的分数后，可能会考虑为获得更高的奖项而不 去兑奖。令处在第 i等获奖级别的会员兑换奖金的概率为 iµ ， ijf 表示第 j种情况是否处 在第 i个获奖等级的 0-1 变量。根据前面确定的兑奖概率函数，处在不同获奖级别的会 员年终初始期望分数为： 0( (1 ))j i j i ijY y y fµ µ= + − ③ 2 3 1 K j j j F y Pξ = + ′= ∑ ④ 根据以上分析，一个会员在竞猜完一年的游戏后，新的一年初始期望分数为： 1 2 3ξ ξ ξ ξ= + + ⑤ 令各奖项对应的原始分数为 iz ，各奖项对应的最低分为 iZ ，则： i iZ z ξ= + ⑥ 联立以上表达式①②③④⑤⑥建立确定各奖项对应最低分的求解模型如下： 1 2 1 2 0 0 1 1 1 ( (1 )) F F K i i j j j i j i ij j j j F j F Z z y P y P y y f Pµ µ = = + = + = + + + + −∑ ∑ ∑ 5.4 模型Ⅱ（ⅰ）、Ⅱ（ⅱ）、Ⅱ（ⅲ）求解 通过 Matlab数据处理计算出 jP′及 jP′′，绘出各种特殊规则下获奖概率分布图如下： 图 2.1 各种特殊规则下对应的获奖概率分布图 运用 LINGO软件对上述整数线性规划模型采用全局寻优，求得全局最优解，对规划 模型求解到的 ijf 与 ip ′及 ip ′′导入 MATLAB 确定各种特殊规则下对应的各奖项最低分，得 到方案及相关数据如下表： 表 2.1 各种特殊规则下对应的各奖项最低分及获奖概率表 会员 方式 参与 第一问情况 允许清零 允许买分 允许保留分值 获奖最 低分值 获奖 概率 获奖最 低分值 获奖 概率 获奖最 低分值 获奖 概率 获奖最 低分值 获奖 概率 一等奖 19600 0.010% 22800 0.010% 24400 0.020% 19909 同 第 一 问 情 况 二等奖 18600 0.100% 21200 0.180% 22600 0.280% 18909 三等奖 17800 0.200% 20200 0.360% 21400 0.560% 18109 四等奖 12400 2.000% 14800 3.560% 15400 5.540% 12709 五等奖 9200 4.990% 11600 8.980% 12400 13.890% 9509 特殊规则下对第一问结果影响分析： [1] 允许清零：由上表可见，允许清零时由于不存在得分为负的情况，这部分概率 加到得正分的会员中去，使得获高分概率增加，这样为了控制获奖人数，获奖最低分皆 有所提高，获低项奖的概率大幅增加，但这种功能下对获高项奖的概率无影响； [2] 允许买分：在允许买分时，由于低于 5000的用户都会花钱将分数维持在 5000 分以上，这样低于 5000分的概率为 0，这部分概率加到获高分的人数中去，使得获各种 奖的概率皆大幅提高，特别是获一等奖的概率是原来的两倍，这对网民而言极具吸引力， 但同时为了满足一定奖金额约束，获奖最得分也随之提高； [3] 允许保留分值：由于允许将分数带到下一会员年，对于部分会员而言可能在年 终不兑奖，则这对总体获奖概率无影响，但由于初始分高了，使得获奖最低分提高了， 这使得游戏对网民的吸引力降低了。 6 提供短信竞猜服务模型（问题三） 6.1提供手机短信竞猜服务下讨论问题一模型 6.1.1 模型Ⅲ(ⅰ)分析 本模型建立主要目的为讨论网站提供手机短信参与竞猜游戏的服务时，讨论第一问 中各奖项对应最低分要求。 由第一问分析知，最低分的确定主要由两方面决定，一是得各种分的概率分布函数； 一是网站的收入。由于无论通过何种方式竞猜其对一个题选择答与不答，答之后答对答 错的情况是一样的，都是随机的，所以通过短信竞猜与网上答题得分概率分布函数不变。 另一方面，由于付费方式不同，所以网站的收入有所变化。 短信竞猜服务对奖金额设置约束的影响 基于问题一的分析，会员对任意一题选择答与不答是随机的，概率皆为 1/2，会员 答题数量服从二项分布。那么对于网站一年公布的 3650 道题，手机用户的期望答题数 目为3650 1/ 2 1825× = 道，由于手机短信参与游戏没有年费，网站收入为会员每答一题 网站收取的信息费 0.1元。那么相当于会员一年交的会费的期望为1825 0.1× = 182.5元。 这对奖项设置的初始值有影响，所以应将模型Ⅰ(ⅱ)中(1.4)进行修改如下： 提供短信竞猜服务时，奖金总额不高于网站总收入的 50%约束，且各个级别的奖金 总额尽量相同： 182.5 10%i iN p X N⋅ ⋅ ≤ × × (3.1) 即： 18.25i ip X⋅ ≤ 1,2,...,5i = 6.1.2 模型Ⅲ(ⅰ)建立 基于模型Ⅰ(ⅱ)的建立，同样以对网民的吸引力最大（分配出去的金额）为目标， 以(1.1) (1.3)、(3.1)、(1.5)为约束，建立求解各奖项获奖概率的最优化模型如下： 5 1 i i i Max p X = = ⋅∑ ( , 1) 1 1 {0,1} ......(1.1) 1,2,...,5 ...... ......(1.2) 1,2,..., ( 1) . . ...... 1, 2,...,5 ......(1.3) 18.25 ...... 1, 2,...,5 ......(3.1) ...... 1, 2,3, 4 ......(1.5) ij ij i j K i ij j j i i i f i f f j K S T p f P i p X i p p i + = + ∈  = ≤  = −  = = ⋅ ≤ = < = ∑     说明： jP —— 表示得第 j种得分的概率 ip —— 表示获第 i个奖项的概率 iX —— 表示得第 i个奖项的奖金额 N —— 表示参加游戏的总人数 6.2 提供手机短信竞猜服务下讨论问题二模型 6.2.1 模型 Ⅲ(ⅱ)分析 基于以上分析，提供短信竞猜时仅对网站总收入有影响，间接影响到奖金总额约束， 由此在提供短信竞猜服务时仅需要对第二问中涉及网站总收入的约束进行修改即可。 (1) 提供短信竞猜时对“允许清零”模型的影响 在允许清零时，会员一年清零费用的期望为 82 元，加上会员一年交的短信费的期 望 182.5元，则： 提供短信竞猜且允许清零时网站收入为：82 182.5 264.5+ = 元 。 此时，奖金总额不高于网站总收入的 50%约束修改为： 264.5 10%i iN p X N⋅ ⋅ ≤ × × 即： 26.45i ip X⋅ ≤ 1,2,...,5i = (2) 提供短信竞猜时对“允许买分”模型的影响 在允许买分时，会员每人每年期望买分金额为 182元，加上会员一年交的短信费的 期望 182.5元，则： 提供短信竞猜且允许买分时网站收入为：182 182.5 364.5+ = 元 。 此时，奖金总额不高于网站总收入的 50%约束修改为： 364.5 10%i iN p X N⋅ ⋅ ≤ × × 即： 36.45i ip X⋅ ≤ 1,2,...,5i = (3) 提供短信竞猜时对“允许将分数带入下一年”模型的影响 允许会员将分数带入下一年时，在新一年的得分主要包括两部分分数，即初始分数 和答题得分。其中，答题得分的概率分布无变化，因此主要考虑会员的初始分值对总体 得分的影响。允许会员将分数带入下一年时，会员初始分值主要由上一年最终得分概率 分布有关。对于每一个会员来说，会员在新一年的初始分数可通过求期望值的方法确定。 由于会员在新的一年答题得分的概率分布无变化，且网站收入未变。所以，每一等 级奖的获奖概率无变化。根据每个会员的初始期望分值，可以确定平均每个会员最终得 分增加的分数。为保证获各个等级奖的概率不变，网站需要根据会员期望初始分数的增 加值对各等级奖对应的最低得分进行上调。 根据以上分析，最终只需要求解出会员在新的一年期望初始分数的增加值，然后对 各奖项对应的原始分值进行上调，最终确定各等级奖的最低分。 期望初始分数的确定 确定会员的初始期望分数可根据问题二中的建模方法，确定以下求解模型： 情况一 年终分值为负分的会员对应的初始期望分数 由于该种情况下会员得分低于 0分，会员会选择将往年分数清零，重新注册后吃时 分值为 0 0y ′ = 。根据会员得分概率分布，令会员分数低于 0分的情况数为 1F ′，则此种情 况对应的初始期望分数为： 1 1 0 1 F j j y Pξ ′ = ′ ′= ∑ ① 情况二 年终分值为正且未达获奖分数的会员的初始期望分数 该种情况下，由于会员年终分值在 0分以上，为在新的一年更有利于获奖，会员不 会将该分清零。令会员分数低于最低获奖分数的情况数为 2F ′，此种情况对应的初始期 望分数为： 2 1 2 1 F j j j F y Pξ ′ ′= + ′ ′= ∑ ② 情况三 年终分值达到获奖分数的会员对应的初始期望分数 有些会员在年终时已经达到可以获奖的分数后，可能会考虑为获得更高的奖项而不 去兑奖。令处在第 i等获奖级别的会员兑换奖金的概率为 iµ ， ijf 表示第 j种情况是否处 在第 i个获奖等级的 0-1 变量。根据前面确定的兑奖概率函数，处在不同获奖级别的会 员年终初始期望分数为： 0( (1 ))j i j i ijY y y fµ µ′ ′ ′= + − ③ 2 3 1 K j j j F Y Pξ ′= + ′ ′= ∑ ④ 根据以上分析，一个会员在竞猜完一年的游戏后，新的一年初始期望分数为： 1 2 3ξ ξ ξ ξ′ ′ ′′ = + + ⑤ 令各奖项对应的原始分数为 iz′，各奖项对应的最低分为 iZ ′，则： i iZ Z ξ′ ′= + ⑥ 联立以上表达式①②③④⑤⑥建立确定各奖项对应最低分的求解模型如下： 1 2 1 2 0 0 1 1 1 ( (1 )) F F K i i j j j i j i ij j j j F j F Z z y P y P y y f Pµ µ ′ ′ = ′ ′= + = + ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + + −∑ ∑ ∑ 6.3 模型 Ⅲ(ⅰ)、Ⅲ(ⅱ)的求解 通过 Matlab 数据处理计算出 jP，运用 LINGO 软件对上述整数线性规划模型采用全 局寻优，求得全局最优解，对规划模型求解到的 ijf 与 ip 导入 MATLAB确定各种特殊规则 下对应的各奖项最低分，得到方案及相关数据如下表： 表 3.1 短信参与游戏时各种规则下各奖项最低分及获奖概率 手机 短信 参与 第一问情况 允许清零 允许买分 允许保留分值 获奖最 低分值 获奖 概率 获奖最 低分值 获奖 概率 获奖最 低分值 获奖 概率 获奖最 低分值 获奖 概率 一等奖 14600 0.010% 17600 0.020% 19400 0.030% 14836 同 第 一 问 情 况 二等奖 13000 0.180% 15800 0.260% 17200 0.360% 13236 三等奖 12000 0.360% 14400 0.520% 15800 0.720% 12236 四等奖 5400 3.650% 8600 5.290% 9600 7.210% 5636 五等奖 1600 9.090% 5200 13.100% 6400 18.160% 1836 短信参与对结果影响分析 短信竞猜时由于无初始分值，则与网络用户按同一个最低分标准显然是不合适的， 那么对于这两部分用户应该分设不同的最低分标准。 由上表可知，短信参与时由于网站收入增多，所以总体获奖概率高于网络参与，且 不同特殊规则下对于总体获奖概率的影响显著性不及网络参与。 在短信参与且允许清零时，获一等奖的概率也大大增加，且获奖最低分相应提高不 大，则允许清零功能对于手机用户的吸引力远大于网络用户。 7 游戏奖项的设计和相关功能的意见和建议 随着信息时代的到来，网络已成为主要的信息交流平台，网络竞猜游戏随之产生。 竞猜活动奖项设计问题是在开展活动时主要考虑的问题，其设计的基本原则应是对网民 的吸引力最大，以使更多的人加入到游戏中，以此达到网站收益最大的最终目的。 通过对不同竞猜方式、不同游戏规则的研究，我们得到了对网民吸引力最大的各奖 项设置，下面根据我们的研究成果对网络管理者提出关于游戏奖项的设计和相关功能的 意见和建议。 [1] 对不同参与方式的会员分设不同的最低分标准 对于网络答题与短信答题两种答题方式都有一定的可行性、普及性及推广潜力，但 由于初始分数不同，若按照相同的奖项最低分标准，则对于手机用户而言将很不公平， 所以对于选择这两种答题方式的用户应采取分开积分及分设不同的奖项最低分； [2] 在设置答错一题扣的分数时要适度 在答对一题得 100 分的前提下，若答错一题扣 30 分时，获奖最低分值严重偏大， 对参加游戏的用户无形中制造了恐惧感，使得游戏对网民的吸引力降低；当答错一题扣 50分时分值严重偏低，得四、五等奖的分数出现负分，而会员初始分已达 5000分，这 样设计显然不合理；当答错一题扣 40 分时，获奖最低分与最高分设置都比较合理，对 网民具有很强的吸引力。 [3] 应适当增加特殊游戏规则来提高游戏对网民的吸引力 如当当允许买分时，可使得获各种奖的概率皆大幅提高，特别是获一等奖的概率是 原来的两倍，这对网民而言极具吸引力，但同时