中国利率动态模型研究

1 中国利率动态模型研究 林海 郑振龙 （厦门大学金融系，361005） 作者简介： 郑振龙，1966年出生，男，汉族，经济学博士, 美国加州大学洛杉矶分校富布莱特研究 学者,现任厦门大学金融系副主任（主持工作）、教授、博士生导师、厦门大学证券研究中心 常务副主任。在国内外公开发行的学术刊物上发了近百篇学术论文，出版了 22部（含合 作）著、编、译著作。电话：0592-5920923，13328311066。Email: zlzheng@jingxian.xmu.edu.cn。 通讯地址：厦门大学金融系。邮编：361005。 林海，１９７７年月出生，男，汉族，厦门大学金融系２００１级博士研究生。在国内 公开刊物发表近２０篇学术论文。电话：0592-2194794，13616036900。Email:xmulh2@163.com, 通讯地址：厦门大学 2073信箱。邮编：361005。 2 中国利率动态模型研究1 Dynamic Behavior of Interest Rates in China 内容提要：本文对中国两种高度相关的利率的动态行为进行了直观的考察和。第一 种利率是政府利率，由中央银行决定和颁布，可以用一个单纯的跳跃过程进行描述。我们给 出了跳跃强度的估计，并且通过不同的检验证明它是稳定可靠的。跳跃幅度能够满足确保利 率有合理范围的条件，并且体现出一定的经济周期内涵。第二种利率是根据政府债券的交易 价格利用样条估计法计算的市场利率。本文从实证角度比较了市场利率的几个模型，包括 Vasicek模型、Vasicek-GARCH(1,1)模型、CIR模型、CIR-GARCH(1,1)模型等。检验结果表 明 Vasicek模型表现最好。接着，本文对由于单位根问题引起的估计偏误问题进行了分析， 一般方法和 GPH 方法都无法拒绝单位根假设。最后，本文还对政府利率变动对市场利率的 影响进行了简单的分析和评价。 关键词：利率 动态行为 跳跃过程 均值回归 单位根 Abstract: This paper examines intuitively the dynamic behavior of two highly relevant kinds of interest rate in China. The first one is the government rate, which is decided and published by the central bank and can be simulated by pure jump process. Estimation of the jump intension is given out, and by different robustness test, it keeps stable. The jump size has met the condition to make interest rate within reasonable bounds and shows some meaning of economic cycle behavior. The second one is the market rate, which is estimated by spline approximation based on the transaction data of government bonds. Several models, including Vasicek model, Vasicek-GARCH (1,1) model, CIR model, and CIR-GARCH(1,1), are empirically tested and the best performance is done by the simple Vasicek model. Furthermore, the estimate bias problem due to the near unit root process is tested and evidenced by both traditional methods and GPH test. Impact of government rate on market rate is finally checked and analyzed. Key Words: Interest Rate, Dynamic Behavior, Jump Process, Mean Reversion, Unit Root Process JEL Classification：G120 G140 前言 利率问题一直是金融研究的一个焦点问题。学者提出了一些基本的假设和动态模型，并 对这些假设和模型进行了大量的实证检验，一些模型甚至还被运用与利率衍生产品的定价。 从 Vasicek(1977)和 Cox, Ingersoll and Ross (CIR (1985a,b))起，大量更为复杂的模型不断被提 出和分析。在纯漂移的模型中，不仅考虑了利率的水平，一些其他的因素也被考虑并加入到 模型中（Longstaff and Schwartz (1992), Brenner, Harjes and Kroner (1996)）。Constantinides (1992)提出了 CIR模型的非线性一般化。Bansal and Zhou (2001)，以及 Sanders and Unal (1988) 提出了利率的机制转换模型。更为重要的是，跳跃过程已经成为利率分析中一个必不可少的 1本文是教育部优秀青年教师资助“中国信用风险度量和控制模型”项目的中期研究成果之一。 3 组成部分，可以提高模型的解释能力 (Lin and Yeh (2001), Das(2002))2。 对动态模型的实证检验也随着理论分析逐步发展。 Durham (2002), Bali (1999), Chan el.(1992), Brown and Dybvig (1986)对不同的模型进行了实证分析和比较。Ball and Torous (1996)提出如果利率时间序列近似于单位根，则均值回归系数将会上偏。一些研究表明利率 无法拒绝单位根过程(Mankiw and Miron (1986), Rose (1988)), 但是同时也有一些研究拒绝了 单位根假设 (Lai (1997), Wang and Zhang (1997), Pesando (1979))。 在中国，也有人对利率进行了一些基本的研究。谢赤和吴雄伟(2002)利用一月期的银行 间利率实证分析了 Vasicek模型 和 CIR模型，发现 Vasicek模型优于 CIR模型。范兴亭和 方兆本(2001) 分析了中国可转换债券的定价问题。郑振龙和林海(2002a,b,c) 估计了中国债 券市场的利率期限结构，流动性溢酬以及信用风险溢酬。 中国有两种高度相关的利率：政府利率和市场利率。政府利率由中央银行决定和颁布， 并且会突然发生变动。它可以用一个单纯的跳跃过程进行描述。市场利率每天都在发生变化， 可以通过政府债券的价格进行估计。它的变化体现出一定程度上的均值回归现象，但是由于 单位根问题的存在，这个估计是有偏的。 本文主要是对中国利率，包括政府利率和市场利率，的动态行为做一个的估计和考察。 因为对单纯跳跃过程而言，似然函数不存在，我们只能通过矩估计来进行分析。我们可以发 现一些周期性的证据，但是必须经过可靠性检验。对市场利率而言，我们在郑振龙和林海 (2002a)静态估计的基础上，检验了一些模型，包括 Vasicek 模型，Vasicek-GARCH 模型， CIR模型，以及 CIR-GARCH模型，结果表明 Vasicek模型表现最好。但是由于存在由单位 根问题所带来的估计偏误（Ball and Torous (1996)）, 必须对市场利率进行平稳性检验以保证 模型的稳定性。为了避免传统单位根检验拒绝不足的问题，本文使用了谱分析的 GPH方法。 这个检验同样无法拒绝单位根的假设，因此模型的参数估计是有偏的。为了避免政府利率对 市场利率的影响，我们重新调整了市场利率，得出的结论仍然保持不变。 本文的结构为：第一部分提出政府利率的单纯跳跃模型。第二部分估计跳跃的强度并进 行可靠性检验。第三部分对政府利率跳跃的幅度进行分析。第四部分，利用郑振龙和林海 (2002a)静态估计的市场利率，对一些模型进行了实证分析，分析表明 Vasicek模型效果最好 成绩。第五部分对单位根引起的估计偏误问题进行了分析。第六部分分析了政府利率变动对 市场利率的影响。第七部分则是一个简单的结论。 1．政府利率的单纯跳跃过程 单因子利率均值回归漂移模型可以表示为： ( ) ( ( ) ) ( )t tdr t k u t r dt t dWs= - + 其中k表示向均值调整的速度， ( )u t 表示时刻 t的利率均值， ( )ts 则表示波动率， ( )W t 代表布朗运动。如果考虑漂移—跳跃过程， ( ) ( ( ) ) ( )t tdr t k u t r dt t dW JdPs= - + + , J 代表服从某些分布的随机变量，一般是正态分布 2( , )N a q , dP代表强度为l 的泊松分 布。 该漂移—跳跃过程的似然函数可以表示为： 2 对利率期限结构研究的一个综述可以参考 Dai and Singleton (2002). 4 2 2 22 2 0 1 ( ( ) ) ( ( ), , ( ), , , ) exp( ) exp( ) ! 2( ( ) )2 ( ( ) ) n t t n r ku t kr n f u t k t n t nt n l a s a q l l s qp s q ¥ = D - + - = - - ++ å 因此，参数可以通过最大似然法进行估计3。 但是在中国，政府利率由央行决定并保持一段时间不变。它完全不同于漂移过程或者 漂移—跳跃过程。它类似于一个单纯跳跃过程： tdr JdP= 其中， J 服从正态分布 2( , )N a q , dP是参数为l的泊松分布。 推论 1. 单纯跳跃过程的似然函数不存在，因此不能用最大似然法进行参数的估计。, 证明：如果 0dP n= ¹ ，对离散时间序列而言， 2( , )tr N n na qD ® ，概率为exp( ) ! n n l l- , 在似然函数中就可以表示为： 2 22 ( )1 exp( ) exp( ) ! 22 n tr n n nn al l qp q D - - - . 但是如果 0dP = , ( 0) 1, ( 0) 0t tp r p rD = = D ¹ = , 不是一个连续函数，因此连续的概率密 度函数就不存在。 推论 2. 对具有相对较短时间的离散数据的单纯跳跃过程，矩方法可以用于对参数进行 直观的估计。 证明: 因为跳跃过程是二项式过程在一断长时间内的极限。在一个较短的时间内，我们 可以用二项式过程对跳跃过程 tdr JdP= 进行近似地描述： 0,tdr = 概率为 1 l- ; 2( , )tdr N a q® 概率为l。 则， 2 2( ) , ( )t tE dr drla s lq= = 。对离散时间序列而言， 3 因为 2 2 22 2 0 0 1 ( ( ) ) ( ( ), , ( ), , , ) exp( ) exp( ) ! 2( ( ) )2 ( ( ) ) exp( ) 1 ! n t t t t n n n r ku t kr n f u t k t d r d r n t nt n n l a s a q l l s qp s q l l ¥ = ¥ = D - + - D = - - D ++ = - = åò ò å 5 11ˆ ˆ( ) nN ji ji t rr n n E dr N n N N a== DD = = ´ = ´ åå , 其中 ,N n分别代表数据的数量以及跳跃的次数。 因此，对l的直观估计为 is ˆ n N l = 。 2. l的估计和可靠性检验 在中国，利率受到央行的监管，没有每天发生变动。因为 1980年之前和 1980年之后中 国的政策发生了极大的变化，我们将 1980年以前的数据剔除掉，估计 1980年以后的跳跃参 数。我们使用从 1980年 4月到 2002年 12月一年期存款利率的月数据，总共 271个数据。 差分序列有 270个数据。 在 270 个数据中，15 个数据显著异于 0，可以代表跳跃的次数。因此 l的大约估计为 15 0.056 270 » 。 但是这个估计是一个粗略的估计，需要通过可靠性检验。因为l参数和正态分布之间是 一个独立的关系，我们可以单独地对l进行估计。 推论 3. 如果过程 N(t)服从泊松分布，则跳跃时间的序列 , 1,2,3,4...nT n = 服从参数为 l和 n的G分布. 证明: 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) , ! ( ) [( ) ] ! ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ! ( 1)! i t n i n i i i t t i n i i n t t i n t P T t P N t n e i P t t e e t i i t t t e e i i n l l l l l l l l l l l l l l ¥ - = -¥ - - = - -¥ - - = £ = ³ = ¶ = - + ¶ - = - = - - å å å , 这是G分布的概率密度函数。而且 1( ) ( ) ( 1)! n t n t f T t e n l ll - -= = - , 1 1 1 2 2 1 ( ) ( , ,..., ) , ( 1)! i in t i n n i t f T t T t T t e i l ll - - = = = = = -Õ 1 1 log ( ,..., ) (log ( 1)log ( 1)log log( 1)!) ( 1) log (( 1)log log( 1)!) 2 n n i i i i i f T T t i i t i n n t n t n l l l l l = = - + - + - - - + = - + - + - å å å 6 ( 1) 0 2 ( 1)ˆ 2 i i f n n t n n t l l l ¶ + = - = ¶ + = å å 推论 4. 如果过程 N (t)服从参数为 l 的泊松分布，两个跳跃之间的时间间隔 1 2,, ..., nM M M , 1i i tM T T -= - ，服从均值为 1/ l的指数分布。 证明: ( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 1 ,t t P M t P M t P N t e P e t l ll - - £ = - > = - = = - ¶ = - ¶ 由直接的泊松分布，矩估计，G分布以及指数分布估计的l见表 1。 Table 1 l的估计 泊松分布 矩估计 G分布 指数分布 lˆ 0.056 0.056 0.048 0.057 5% 置信区间 [0.031,0.091] [0.037,0.10] 从表 1 中，我们可以看出，泊松分布，矩估计,以及指数分布的估计结果几乎相同，G分布 的估计结果也在其他分布的 5%置信区间之内。因此，不同方法估计出来的l是稳定的。 3.政府利率的跳跃幅度 估计出l后，我们可以借着估计跳跃的幅度 2( , )a q 。 推论 5: 如果政府利率在一个合理的范围内，a 等于 0。. 证明: 如果 0a ¹ , ( ) 0tE dr la= ¹ 。当a f 0, 它向上倾斜，政府利率就会上升至一 个不合理的高水平。当 0a p ,它向下倾斜，政府利率就会降至负数4。 2( , )a q 的估计结果见表 2。我们可以看出，a 没有显著异于 0，这符合合理界限条件。 而且，它还具有一定的经济周期内涵。 当经济陷入停滞，政府需要刺激经济增长时，政府 利率就会下跌，利率的变动就为负数。当经济过热，政府需要抑制经济增长时，政府利率就 会上升，利率的变动就为正数。随着经济周期的正向变动和负向变动互相抵消，使跳跃的均 值接近于 0。 表 2. 跳跃幅度 ( , )a q 的估计 4 我们也可以看出，一般的漂移模型也满足 ( ) 0tE dr = 。 7 aˆ qˆ 估计值 -0.25% 1.70% 误 0.44% --- T 检验值 0.56 --- 必须注意的是，这个估计是一个无条件估计，没有考虑到条件信息问题。因此，我们如 果使用这个模型预测和模拟政府利率的变动，在一些条件下就可能产生负利率。为了更好的 对政府利率进行预测，条件信息，包括利率的历史变动，经济状况等还必须考虑在内。 4. 中国市场利率的动态行为 从这部分开始，我们将视角转向市场利率。市场利率由市场的供求决定，能够反映市场 的状况。在中国，投资者无法根据市场利率储蓄或借贷，只能通过政府债券的买卖。购买债 券意味着他们以市场利率储蓄，出售政府债券则可以表示按照政府利率借款。因此政府债券 的价格就可以用于估计不同期限的市场利率，通常称之为“利率期限结构”。 一般而言，利率期限结构可以从贴现债券的价格中直接估计，因为在这种情况下利率等 于债券的到期利率。但是在中国，上海证券交易所和深圳证券交易所所有公开交易的债券都 是息票债券。对这些债券而言，就不能用直接的传统方法，因为此时利率不再等于到期利率。 McCulloch(1971), Lin and Yeh(2001), Carleton and Cooper(1976) 都试图解决这个问题并提出 了各种方法，其中样条估计法是最普遍的一种方法。郑振龙和林海(2002a)比较了不同的估 计方法，选择了合适的参数，利用 McCulloch (1971) 方法对中国利率期限结构进行了估计。 郑振龙和林海(2002b,c) 又进一步分析了中国市场利率的流动性溢酬和信用风险溢酬。本文 将直接利用郑振龙和林海(2002a)的估计结果，对中国市场利率的动态行为作一个实证分析。 中国债券市场的发展远远落后于股票市场。债券的数量和种类都远远少于股票。债券的 缺乏极大地限制了利率期限结构的估计。在 2001年 5月以前，交易所只有 5种政府债券， 样条估计不能给出显著的估计结果。我们只能将估计限制在 2001年 5月到 2002年 12月。 在这个时期内，回归的 R2 均超过 95%，显著性水平都超过 5%。郑振龙和临海（2002a）估 计的是周数据，但为了分析市场利率的动态行为，我们使用了从 2001 年 5 月 8 日至 2003 年 1月 3日的日数据，共 402 个数据。市场利率的变动（周利率、月利率、年利率）见图 1。 周利率几乎和月利率重合，年利率稍微大于月利率。从图中可以直观地看出一些均值回归现 象。市场利率在大约 2%左右移动。 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 周 月 年 图 1：中国市场利率的动态变化 8 为了分析中国市场利率的动态行为，我们使用了不同的模型，即 Vasicek 模型, Vasicek-GARCH (1,1) 模型, CIR模型,以及 CIR-GARCH(1,1) 模型5。分析的数据是周利率， 月利率，以及年利率的日数据。估计的结果参见表 3,4, 56。 我们可以从表中明显看出，周利率数据和月利率数据的估计结果几乎相同。 Vasicek模 型 , Vasicek-GARCH (1,1)模型 ,以及 CIR 模型在不同的显著性水平上是显著的， CIR-GARCH(1,1) 模型的估计结果不显著。但是作为一个完整的随机过程，只有 Vasicek模 型和 CIR模型在 10% 水平上显著(由每个估计的 F 检验值可知)。 Vasicek模型的对数似然 值比 CIR模型要大得多。对年数据而言，只有 Vasicek 模型和 CIR 模型是显著的，Vasicek 模型的对数似然值同样远远大于CIR 模型。这意味着Vasicek模型的拟合效果要好于CIR 模 型，这与 Xie and Wu (2002)的结论一致7。不同模型的长期利率均值是稳定的，周利率的长 期均值为 2.08%, 月利率为 2.14%, 年利率为 2.25%。但是，我们发现模型的 2R 太小，只能 解释一小部分的利率变动。 表 3： 中国市场利率的动态模型：周利率 模型 1. Vasicek 模型: 2( ) , (0, )t t t tr k u r Ne e sD = - + ® 估计结果: * * 2 * ˆ ˆ0.019 (1,94), 2.08% (1.90), 0.09% 0.9%, 3.78 ,log 2262.91 k u R F s= = = = = = 模型 ２. Vasicek-GARCH(1,1)模型: 2 1 1 1 1 ( ) , , . . .(0,1), t t t t t t t t t t r k u r h v v i i d h a h b e e k e- - D = - + = ® = + + 估计结果: * * *** *** *** 1 1 2 ˆ ˆ0.019 (1.88), 2.02% (1.80), ˆˆ ˆ2.08 07 (2.75), 0.60 (5.20), 0.15 (3.51) 0.9%, 0.92,log 2268.8 k u E a b R F k = = = - = = = = = 模型 3. CIR 模型: 2( ) , (0, )t t t t tr k u r r Ne e sD = - + ® 估计结果： * * 2 ** ˆ ˆ0.018 (1.94), 2.06% (1.99), 0.6%; 1%, 3.90 ,log 1473.95 k u R F s= = = = = = 5 由于历史太短,跳跃问题和机制转换问题在分析中不作考虑。 6 Vasicek 模型和 CIR模型的估计通过最小二乘法和普通广义矩方法同时进行，得出的结论相似。 Vasicek-GARCH 模型和 CIR-ARCH模型通过最大似然值法进行估计。 7 他们使用的数据是银行间一月利率，估计的长期均值为９％，这是一个不合理的估计。而且他们也没有 考虑到估计的偏差问题。 9 模型 4. CIR-GARCH(1,1) 模型: 2 1 1 1 1 ( ) , , . . .(0,1), t t t t t t t t t t t r k u r r h v v i i d h a h b e e k e- - D = - + = ® = + + 估计结果: *** *** 1 1 2 ˆ ˆ0.009(1.14), 1.78%(1.04), ˆˆ ˆ2.81 05 (2.75), 0.06(1.15), 0.35 (4.81) 0.5%, 0.58,log 1495.46 k u E a b R F k = = = - = - = = = = 注:*,**,***分别表示显著性水平为 1%,5%,10% 。 括号中的数值表示 t检验值。 表 4. 中国市场利率的动态模型：月利率 模型 1. Vasicek 模型: 2( ) , (0, )t t t tr k u r Ne e sD = - + ® 估计结果: * * 2 * ˆ ˆ0.018 (1,92), 2.14% (1.98), 0.08% 0.9%, 3.68 , log 2271.06 k u R F s= = = = = = 模型 2. Vasicek-GARCH(1,1)模型: 2 1 1 1 1 ( ) , , . . .(0,1), t t t t t t t t t t r k u r h v v i i d h a h b e e k e- - D = - + = ® = + + 估计结果: ** ** *** *** *** 1 1 2 ˆ ˆ0.018 (2.21), 2.12% (2.15), ˆˆ ˆ1.64 07 (3.05), 0.60 (7.14), 0.15 (4.33) 0.9%, 0.91,log 2280.32 k u E a b R F k = = = - = = = = = 模型 3. CIR model: 2( ) , (0, )t t t t tr k u r r Ne e sD = - + ® 估计结果: * * 2 ** ˆ ˆ0.017 (1.92), 2.14% (1.97), 0.6%; 1%, 3.84 ,log 1481.20 k u R F s= = = = = = 模型 4. CIR-GARCH(1,1) model: 2 1 1 1 1 ( ) , , . . .(0,1), t t t t t t t t t t t r k u r r h v v i i d h a h b e e k e- - D = - + = ® = + + 估计结果: 10 *** ** *** 1 1 2 ˆ ˆ0.008(1.02), 1.55%(0.83), ˆˆ ˆ2.47 05 (12.35), 0.06 (2.40), 0.43 (4.92) 0.4%, 0.36,log 1507.08 k u E a b R F k = = = - = - = = = = 注:*,**,***分别表示显著性水平为 1%,5%,10%。 括号中的数值表示 t检验值。 表 ５. 中国市场利率的动态模型：年利率 模型 1. Vasicek 模型: 2( ) , (0, )t t t tr k u r Ne e sD = - + ® 估计结果: * * 2 * ˆ ˆ0.014 (1,70), 2.25% (1.98), 0.07% 0.7%, 2.90 ,log 2343.85 k u R F s= = = = = = 模型 2. Vasicek-GARCH(1,1)模型: 2 1 1 1 1 ( ) , , . . .(0,1), t t t t t t t t t t r k u r h v v i i d h a h b e e k e- - D = - + = ® = + + 估计结果: ** 1 1 2 ˆ ˆ0.014(0.85), 2.26%(0.85), ˆˆ ˆ6.83 08(0.26), 0.60 (1.97), 0.15(1.44) 0.7%, 0.72,log 2337.12 k u E a b R F k = = = - = = = = = 模型 3. CIR 模型: 2( ) , (0, )t t t t tr k u r r Ne e sD = - + ® 估计结果: * * 2 * ˆ ˆ0.014 (1.70), 2.13% (1.72), 0.48%; 0.7%, 2.97 , log 1568.69 k u R F s= = = = = = 模型 4. CIR-GARCH(1,1) 模型: 2 1 1 1 1 ( ) , , . . .(0,1), t t t t t t t t t t t r k u r r h v v i i d h a h b e e k e- - D = - + = ® = + + 估计结果: ** 1 1 2 ˆ ˆ0.014(0.83), 2.23%(0.91), ˆ 6.54 06(0.51), 0.60 (2.00), 0.15(1.48) 0.7%, 0.69,log 1586.62 k u E a b R F k = = = - = = = = = 注:*,**,***分别表示显著性水平为 1%,5%,10%。 括号中的数值表示 t检验值。 11 5. 动态模型的估计偏误 Ball and Torous (1996)通过模拟得出结论认为如果利率时间序列近似于单位根过程，那 么所有的估计方法，包括最小方差法，广义矩方法，以及最大似然值法等，都会导致模型中 均值回归调整系数的高估。为了保证模型在定价中的有效适用性，我们还必须检验利率时间 序列是否是一个单位根过程。 传统的单位根检验， ADF检验和 PP 检验参见表６。两个检验值都不是显著的，因此 无法拒绝单位根的原假设。 表 6: 中国市场利率的单位根检验：传统方法 ADF 检验值 周利率:-1.54 1% 临界值* -3.4489 月利率:-1.53 5% 临界值 -2.869 年利率:-1.41 10% 临界值 -2.5708 PP 检验值 周利率：-1.72 1% 临界值* -3.4487 月利率:-1.70 5% 临界值 -2.869 年利率:-1.51 10% 临界值 -2.5707 注：*表示拒绝单位根原假设的MacKinnon 临界值。 但是，Lai(1997)指出传统的单位根检验容易导致拒绝不足，因为它只考虑整数阶，即 I(1) 或者 I(0), 但是没有考虑到分数阶，即 I(d), 0公式

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