2022年1月广东高中学业水平合格考试数学试卷真题(答案详解)

2022年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷共4页，22小，满分150分．考试用时90分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，满分90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M0,2,3，N1,3，则MN（）A．3B．0,1,2C．0,1,2,3D．0,2,3,1,32．等比数列a中,a1,a8,则公比qn25A．1B．2C．3D．43．已知点A1,2，B4,5，则AB（）A．(5,7)B．5,7C．3,3D．3,34．已知直线经过点A3,1，斜率为1，则直线方程是（）A．yx4B．yx2C．yx4D．y=x+25．不等式x12x10的解集是（）A．x|1x2B．x|x<1或x>211C．x|x1D．x|x<或x>1226．下列函数中，在区间0,上是减函数的是（）试卷第1页，共4页1A．y2xB．ylnxC．yx3D．yx7．某小组六名学生上周的体育运动时间为7、8、9、10、10、10，则该小组体育运动时间的平均数和方差是（）34A．10、B．9、C．9、8D．9、0438．若某圆的标准方程为(x1)2(y5)22，则此圆的圆心和半径长分别为（）．A．(1，5)，2B．(1，5)，2C．(1，5)，2D．(1，5)，249．已知是第一象限角，且sin，则cos（）53344A．-B．C．D．553311310．已知alog，1cabcb32，，则、、的大小关系是（）322A．acbB．bacC．cabD．abc11．已知m0，n0，mn81，则m+n的最小值是（）A．9B．18C．93D．2712．为了得到函数y=cos(x+)的图象，只需把余弦曲线y=cosx的所有的点3A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度11C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3313．某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（）A．24B．22C．20D．1814．已知直线m与平面，则下列结论成立的是（）A．若直线m垂直于平面内的一条直线，则mB．若直线m垂直于平面内的两条直线，则m试卷第2页，共4页C．若直线m平行于平面内的一条直线，则m//D．若直线m与平面没有公共点，则m//15．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）421A．B．1C．D．333二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．16．设向量a1,2，b2,t，若ab，则t=________．17．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________．18．函数fx是R上的偶函数，当x0时，fx2x1，则f3________．19．裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为________．三．解答题：本大题共3小题，第20小题8分，第21、22小题各14分，满分36分，解答题须写出文字．证明过程和演算步聚20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3的部分但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3(1)甲用户某月的用水量为10m3，求甲用户该月需要缴纳的水费；(2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a23，c=2，B30(1)求b(2)求sinA的值试卷第3页，共4页22．如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且PAACBC2．(1)求证：BC平面PAC(2)若M是PC的中点，求三棱锥BACM的体积．试卷第4页，共4页1．C【】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意MN0,1,2,3.故选：C2．B【解析】将a与a用首项和公比表示出来，解方程组即可.25【详解】因为a1，且a8，故：25aq1，且aq48，解得：11q38，即q2，故选：B.【点睛】本题考查求解等比数列的基本量，属基础题.3．D【分析】利用向量的坐标运算即可.【详解】AB(41,52)(3,3),故选:D.4．A【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知，所求直线的方程为y1x3，即yx4.答案第1页，共7页故选：A.5．D【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】依题意x12x10，1x或x1，解得21所以不等式x12x10的解集是x|x<或x>12故选：D6．D【分析】根据函数的单调性求得正确答案.【详解】y2x、ylnx、yx3在0,上递增，ABC选项错误，1y在0,上递减，符合题意，D选项正确.x故选：D7．B【分析】利用平均数和方差公式计算可得结果.【详解】789101010x9由题意可知，该小组体育运动时间的平均数为6，14s279289299231092.方差为63故选：B.8．C【分析】根据圆的标准方程可得选项.【详解】答案第2页，共7页解：因为圆的标准方程为：(xa)2(yb)2r2，圆心为C(a，b)，半径长为r，又因为某圆的标准方程为(x1)2(y5)22，所以a1、b=5、r2，故选：C．9．B【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得cos的值.【详解】3cos1sin2因为是第一象限角，则5.故选：B.10．A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】11310aloglog10，10c1因为b32301，，32322因此，acb.故选：A.11．B【分析】利用基本不等式m+n2mn即可求解.【详解】因为m0，n0，由基本不等式m+n2mn得，m+n18,当且仅当mn=9时等号成立，所以m+n的最小值是18，故选:B.12．A【详解】ycosx把余弦曲线上的所有的点向左平移个单位长度，可得函数ycosx的图象，33答案第3页，共7页故选：A.13．C【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】18450设高二应抽取的人数为x人，则，解得x=20人.x500故选：C14．D【分析】利用空间线面位置关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若直线m垂直于平面内的一条直线，则m//或m与相交（不一定垂直）或m，A错；对于B选项，若直线m垂直于平面内的两条直线，则m与的位置关系不确定，B错；对于C选项，若直线m平行于平面内的一条直线，则m//或m，C错；对于D选项，若直线m与平面没有公共点，则m//，D对.故选：D.15．A【分析】设第n1n5,nN分到a钱，由题意可得出关于a、d的方程组，解出a的值即可.n11【详解】设第n1n5,nN分到a钱，设数列a1n5,nN的公差为d，nn5a+a+a+a+a=5a+a=2a+d=4由题意可得12345，所以，1212，解得a.a+a=a+a+a1312345a=a+2d=131故选：A.16．1【分析】根据向量垂直列方程，化简求得t的值.【详解】答案第4页，共7页由于ab，所以ab22t0,t1.故答案为：1217．3【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加活动，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种情况，其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为：甲丙、乙丙，共2种情况，2故所求事件的概率为P=.32故答案为：.318．9【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】fx是偶函数，所以f3f32319.故答案为：919．21【分析】观察裴波那契数列的前面的项,出规律,求得正确答案.【详解】观察裴波那契数列的前7项可以发现：前两项都是1，从第三项起，每一项都是前两项的和，故第8项为81321.故答案为：21答案第5页，共7页20．(1)30元(2)15/m3.【分析】(1)直接根据图表数据求解;(2)建立分段函数模型可求解.【详解】（1）甲用户该月需要缴纳的水费：10330元.（2）设用水量为x，需要缴纳的水费为f(x)，3x,x12由题可知f(x)=3×12+6(x12),12183x,x12整理得f(x)=6x36,1218当x12时，f(x)36，当12x18时，36f(x)72，当x18时，f(x)72，所以令6x3654，解得x15，因此乙用户该月的用水量为15/m3.21．(1)b=23(2)2【分析】（1）利用余弦定理求得b.（2）利用正弦定理求得sinA.（1）23由余弦定理b2a2c22accosB23222232124124，2所以b=2.（2）答案第6页，共7页123abasinB23.由正弦定理sinAsinAsinBb2222．(1)证明见解析2(2)3【分析】（1）通过证明PABC,BCAC来证得BC平面PAC.（2）先求得三棱锥BACM的高，进而求得三棱锥BACM的体积.（1）∵PA为圆柱母线，∴PA平面ACB，∵BC平面ACB，∴PABC，∵AB为底面圆直径，∴BCAC，∵AC平面APC，PA平面APC，ACPAA，∴BC平面PAC.（2）∵BC平面APC，平面AMC平面APC，∴BC平面ACM，BC为三棱锥BACM的高，BC=2，∵ACPA2，M为PC中点，1∴AMPC，AM=MC=2，S=22=1，ACM212∴V=12=.BACM33答案第7页，共7页