电容、部分电容与工作电容

电容、部分电容与工作电容 电容、部分电容与工作电容 ——兼答实验1的思考2 陈德智 （1）电容 两个导体之间存在电容。电容的因果关系是这样的：如果导体带电，则在空间产生电场；电场的分布使得两导体出现一定的电位差，其值U与导体带电量q成正比。电容C即定义为导体带电量q与电压U的比值。因此，电容是对电场的一种集中参数化的描述。只要电场的分布是确定的，两导体之间的电容也是确定的。任意两个导体，无论形态差异多大，都有电容存在。 此外，需要说明一点，如果空间只有两个导体，则隐含着两导体带电量必然为 和 ，以满足电荷守恒定律。当讨论多个导体时，各导体的电荷总量也必须满足 。 当系统中出现第三个导体时，用部分电容描述导体两两之间的关联关系。为叙述方便，把原来的两个导体编号为1、2，把第三个导体编号为0。此时，导体1、2之间出现部分电容C12，对电路来说还有工作电容Cp。讨论三个电容值C、C12和Cp的数值关系是一个饶有趣味的话题。 （2）工作电容 首先考察工作电容Cp的含义。无疑，如果只有一对导体（编号1、2），将其接入电路中，那么工作电容Cp就等于电容C，即导体带电量q与电压U的比值： 。设若保持两导体的带电量q不变，而在场中另外放置一个不带电的导体（编号为0），则第三个导体0的出现必然改变空间电场的分布，从而导致电压U发生变化，设新的电压值为 。对于连结两个导体1、2的电路来说，它并不知道场中具体发生了什么变化，它只关心导体上的电荷与导体之间电压的比值，对它而言，工作电容为 。换言之，工作电容就是，在介质中可能存在其它不带电导体的情况下，两个带电导体的电荷q与电压U的比值；当不存在其它导体的时候，工作电容Cp就是普通的电容C。 如图1，工作电容 ；设0号导体不带电，则导体1、2带电量分别为 、 。根据部分电容公式，有： 又，由电容C10和C20的串联关系得： 故： 从而： 。 现在分析Cp与C的大小关系。前面说到，Cp的改变在于0号导体（电荷为0）的引入改变了空间电场的分布，从而改变了导体1、2之间的电压。当0号导体位于无限远处时，它对电场的影响忽略不计，因此也就不改变导体1、2之间的工作电容，Cp=C。当0号导体逐渐移近时，保持导体1、2带电量q不变，我们考察1、2号导体之间的电压U12的变化。 (a) 没有0号导体时 (b) 有0号导体时 图2 0号导体的引入改变了1、2之间的空间电场 为计算U12，可以取连结导体1、2表面的任意一条路径对电场E积分，如图2(a)中的l1和l2。为便于分析，设l1的端点a和b分别为导体1、2表面电场强度E最大的点，我们知道，该点的电场强度 ， ， 、 为导体表面的自由电荷面密度。显然， 、 也分别为导体1和导体2表面电荷面密度的最大值。 当0号导体逐渐移近时，如图2(b)，由于0号导体上感应电荷的影响，导体1上的电荷分布发生改变，a点的部分电荷向靠近0号导体的位置（例如图中的c点附近）转移，这样 变小；类似的， 也变小，从而沿路径l1上的电场强度E都变小，导致积分量 变小，因此，工作电容 变大。 0号导体对工作电容的影响还可以这样理解：两导体之间的电容取决于导体的表面积和它们之间的距离。当引入第三个导体时，部分介质被短路，因而缩短了导体1、2之间的“电距离”，从而使等效电容增大。从力和能量的角度看，导体系统的总能量可表示为 ；当0号导体向导体1、2组成的系统靠近时，它受到系统的吸引力，因此电场做正功，从而电场能量 减少，也得出Cp增大的结论。 综上，可以得出结论：引入其他导体时，工作电容 。使用大于等于号“ ”，是因为存在这样的情形：引入的导体表面刚好填充原来的等位面，则不改变原来的电场分布。读者可以自己寻找这样的例子。 （2）部分电容C12 根据部分电容的公式 ，如果将导体1跟导体0短接，即令 ，则 需要注意这个公式和工作电容计算公式 的区别。计算工作电容Cp时，0号导体不带电；而计算部分电容C12时，0号导体带电，它与1号导体带电总量为q。 0号导体的带电量 可以看做是与1号导体短接后分走的部分电荷。设导体2带电量仍为 ，则1号导体剩余的带电量为 。三个导体带电总量仍为0，如图3所示。可以肯定，当0号导体逐渐靠近导体1、2时，它分得的电荷 逐步增多，导体1带电量 逐步减少，电压 也随之下降。因此，要想保持 不变，唯一的办法是增大电压 ，因此0号导体的靠近使部分电容C12减小。0号导体分走的电荷量 ，在特定条件下可以是全部电荷q，从而使C12减小到0（参见下文的算例1）；但是，即使0号导体位于无限远处，仍可能有 ，即 （参见下文算例2、算例3）。 （3）算例验证（以下推导全部用Mathematica完成） 算例1：在1、2两个导体组成的平行电容器中，插入一个导体板（编号为0），分析工作电容和部分电容。参数如图4所示，设极板面积为S；忽略边缘效应。 解：没有导体0时，电容 。 插入导体0后，如果保持导体1、2带电量 不变，而导体0不带电，则极板表面的电荷面密度也不改变，从而极板间电场E保持不变，1、2之间的电压降变为 ， 因此，工作电容 可见，导体0的插入，相当于等效地减小了极板间距d。 为计算部分电容C12，我们将1号导体与0号导体短接，此时电压 ；导体1、0之间无电场，从而导体1带电量 ，这个结果不因导体2无论带电量多少、电位多少而改变，因此部分电容 。它说明，导板1、2之间的电相互作用被导体0完全隔断了！这就是静电屏蔽的效果。 当1号导体与0号导体短接时， ，导体1上的电荷q全部跑到导体0上；导体0、2之间的电压 。由部分电容公式 ，得到 。同理得到 。 从电路的角度看，图4中的工作电容可以看做是 与 的串联，计算得到 与前面结果相等。 这是一个 的例子，我们看到了 。 算例2：如图5，计算距地面高度为h的两平行长直输电线之间的部分电容与工作电容，设导线半径为a，导线间距为d， 。（128页，例3.21）。 图5 距地面高度为h的两平行长直输电线 解：不考虑地面影响时，根据例3.19的结论，单位长度输电线之间的电容为 。 考虑地面影响时，对电势系数矩阵 求逆，得到单位长度输电线之间的部分电容为 ， ， 工作电容为 。 当参数取h = 10m，d = 2m，a = 1cm时，计得 ， ， ， 。 ，与我们前面的定性分析相符（书上给出的计算结果误差稍大）。 当h变小时， 的关系会更加明显。例如，取h =0.1m，其它参数不变，得到 ， ， 。 当h非常大，例如大到10100m，其它参数不变，得到 ， （ ）。可见，地面作为一个无限大的导体平面，其影响是非常显著的。 算例3：把上例中的长直圆柱导体改为半径为a的两个导体球，其它参数不变。 解：两个导体球之间的电场分布不能用单一镜像法计算，但是，如果两球距离远大于其半径，则可将电荷近似看做是位于球心处来计算空间电场的分布。容易得到： （1）没有地面时的电容 当地面不存在时，设导体带电量为 ，则导体电位分别为 所以两球之间电压为 两球之间的电容为 工作电容 与C相同。 图6 带电导体球对地面的镜像 （2）存在地面时的电容 存在地面时，使用镜像法求解电场分布，仍然将电荷近似位于球心处。导体球电位分别为 所以两球之间电压为 故工作电容为 为计算部分电容 ，我们令两导体球带同样的电荷q，此时， 。由于对称性，有 故 ， ，根据部分电容公式，有 故 由 ，得到 图7给出了随着h增大时，工作电容Cp和部分电容C12的变化情况。 (a) Cp随h增大时的变化 (b) C12随h增大时的变化情况 图7 随h增大时，工作电容Cp和部分电容C12的变化（注意：为便于作图，纵坐标用 进行了归化） 可以看到，0号导体的引入，使得工作电容 增大。随着h的增大，0号导体逐渐远离，影响减弱， 减小。当 时， ，在意料之中。随着h的增大0号导体逐渐远离，部分电容 迅速增大，但是，当 时， 并不收敛到C，而是 。这说明，尽管0号导体远离导体1和2，如果将它与导体1相连，它还是可以分走导体1上的相当一部分电荷。 本题中当大地位于无限远时，还有一种计算 。我们应该记得点电荷 在接地导体球1上引起的感应电荷为 （镜像法的公式）；由于两球相距很远，且 ，故导体球2的表面电位 。因此，由部分电容的计算公式，有： 这个结果与上面 时， 的收敛值是一致的。 将 、 和C做一比较，依然有 。 【试图对一般情况下的 和C进行比较也许是个愚蠢的想法。从上面的计算可以看出，即使第三个导体位于无限远处，仍然可以计算出 ，但是它代表什么含义呢？】 （4）结论 （感觉已经很清楚了，结论略。）