抛头颅，洒热血。献给大家2014数学一试题答案

第一部分 考试大纲基本信息强化指导 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】关于C选项： ，又 ，所以 存在斜渐近线 . 故选(C). (2) 设 具有二阶导数， ，则在区间 上 ( ) (A) 当 时， (B) 当 时， (C) 当 时， (D) 当 时， 【答案】(D) 【解析】令 ，则 , , . 若 ，则 ， 在 上为凸的. 又 ，所以当 时， ，从而 . 故选(D). (3) 设 是连续函数，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】 . 故选(D). (4) 若 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】 当 时，积分最小. 故选(A). (5) 行列式 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】由行列式的展开定理展开第一列 . 故选(B). (6) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组 线性无关的 ( ) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】(A) 【解析】 . 记 ， ， . 若 线性无关，则 ，故 线性无关. 举反例. 令 ，则 线性无关，但此时 却线性相关. 综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关的必要非充分条件. 故选(A). (7) 设随机事件 与 相互独立，且 ， ，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】 已知 ， 与 独立， ， ， 则 ， 则 . 故选(B). (8) 设连续性随机变量 与 相互独立，且方差均存在， 与 的概率密度分别为 与 ，随机变量 的概率密度为 ，随机变量 ，则 ( ) (A) ， (B) ， (C) ， (D) ， 【答案】(D) 【解析】 用特殊值法. 不妨设 ，相互独立. ， . ， . . 故选(D). 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 曲面 在点 处的切平面方程为__________. 【答案】 【解析】由于 ，所以 ， ； ， . 所以，曲面在点 处的法向量为 . 故切平面方程为 ，即 . (10) 设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________. 【答案】 【解析】由于 ， ，所以 ， . 又 为奇函数， ，代入达式得 ，故 ， . 是以 为周期的奇函数，故 . (11) 微分方程 满足条件 的解为 __________. 【答案】 【解析】 . 令 ，则 ， ，代入原方程得 分离变量得， ，两边积分可得 ，即 . 故 . 代入初值条件 ，可得 ，即 . 由上，方程的解为 . (12) 设 是柱面 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 __________. 【答案】 【解析】由斯托克斯，得 ， 其中 . (13) 设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________. 【答案】 【解析】配： 由于二次型负惯性指数为1，所以 ，故 . (14) 设总体 的概率密度为 其中 是未知参数， 为来自总体 的简单样本，若 ，则 _________. 【答案】 【解析】 ， ， . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限 【解析】 . (16)(本题满分10分) 设函数 由方程 确定，求 的极值. 【解析】对方程两边直接求导： ① 令 为极值点，则由极值必要性知： ，代入①式得： . 即 或 . 将其代入原方程知： （舍去），即 . 代入，有 ， . 即 ， . 对①式两边再求导： . 将 ， 代入得： . 在 处取极小值， . (17)(本题满分10分) 设函数 具有二阶连续导数， 满足 若 ，求 的表达式. 【解析】由 ， 由 ，代入得， , 即 ， 令 得 特征方程 得齐次方程通解 设特解 ，代入方程得 ，特解 则原方程通解为 由 ，得 , 则 (18)(本题满分10分) 设 为曲面 的上侧，计算曲面积分 . 【解析】 非闭，补 ：平面 ，被 所截有限部分下侧，由Gauss公式，有 和 所围立体为 ， 关于 面和 面对称，则 又 (19)(本题满分10分) 设数列 满足 ， ， ，且级数 收敛. (I) 证明： . (II) 证明：级数 收敛. 【解析】(I) 收敛 又 ， 即： 又 (II)证明：由(I) 又 收敛 收敛, 收敛 (20)(本题满分11分) 设矩阵 ， 为三阶单位矩阵. (I)求方程组 的一个基础解系； (II)求满足 的所有矩阵 . 【解析】 , (I) 的基础解系为 (II) 的通解为 的通解为 的通解为 （ 为任意常数） (21)(本题满分11分) 证明 阶矩阵 与 相似. 【解析】已知 ， ， 则 的特征值为 ， ( 重). 属于 的特征向量为 ； ，故 基础解系有 个线性无关的解向量，即 属于 有 个线性无关的特征向量，故 相似于对角阵 . 的特征值为 ， ( 重)，同理 属于 有 个线性无关的特征向量，故 相似于对角阵 . 由相似关系的传递性， 相似于 . (22)(本题满分11分) 设随机变量 的概率分布为 在给定 的条件下，随机变量 服从均匀分布 . （I）求 的分布函数 ； （II）求 . 【解析】（I）设 的分布函数为 ，则 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， . 所以 的分布函数为 (II) 的概率密度为 = (23)(本题满分11 分) 设总体 的分布函数为 其中 是未知参数且大于零. 为来自总体 的简单随机样本. （I）求 ， ； （II）求 的最大似然估计量 ； （III）是否存在实数 ，使得对任何 ，都有 ？ 【解析】 的概率密度为 （I） （II）似然函数 当 时， ， 解得 所以， 的最大似然估计量为 （III）依题意，问 是否为 的一致估计量. 为 的一致估计量 万学网校地址：http://online.wanxue.cn/ 免费咨询热线：免费热线：4006769000