两个实用的安全库存公式

文章编号: 100124098 (2008) 1220077206 两个实用的安全库存公式Ξ 楼润平, 薛声家 (暨南大学 管理学院, 广东 广州　510632) 摘　要: 对于零售、分销和制造企业, 维持合适的安全库存, 有利于提高客户服务水平、降低缺货概率和减少生 产过程的不确定性。在需求随机并服从正态分布的假设下, 本文提出了两个简洁实用的安全库存计算公式, 并 通过算例与R ichard 提出的公式进行了比较。本文的公式可为零售、分销和制造企业优化库存结构和提高服 务水平提供参考。 关键词: 安全库存; 库存管理; 安全库存公式; 供应链管理; ER P 中图分类号: F272　　　文献标识码: A 　　对于零售、分销和制造企业, 维持合适的安全库存, 有 利于提高客户服务水平、降低缺货概率和减少生产过程的 不确定。然而, 过高的安全库存, 则占用资金和仓储空间; 过低的安全库存, 则易导致缺货和客户服务水平降低。因 此, 对零售、分销和制造企业而言, 维持适当的安全库存, 是一个重要的经营决策问。 国外研究安全库存的文献较多, 而且一些文献结合了 ER P 系统来研究[4- 5 ]。国内研究安全库存的文献相对较 少, 而许多文献提出的模型和公式, 忽略了企业实际的约 束条件, 使之在实践中的应用受到限制 [8- 10 ]。 R ichard (2005) 提出了一个简洁的安全库存公式和算 法[3 ]。在需求随机并服从正态分布的假设下, 本文将提出 两个安全库存计算公式, 一个基于提前期可变, 一个基于 提前期不变。R ichard 提出的公式, 需要预测数据和历史需 求数据, 而本文的公式仅需要历史需求数据, 简洁实用, 可 为零售、分销和制造企业优化库存结构和提高服务水平提 供参考。 1　公式的提出 客户需求不确定、生产过程不稳定、配送周期多变、服 务水平高低等是影响安全库存的重要因素。根据经典的安 全库存公式, 安全库存 SS 是日平均需求 d、日需求量的标 准差 Ρd、提前期L (补货提前期和采购提前期)、提前期 L 的差 ΡL 和服务水平CSL 的, 故有: SS = z Ρ2d (Lθ) + Ρ2L (dθ) 2 (1) 式中: SS ——安全库存, L ——提前期的平均值, d —— 日平均需求量, z——某服务水平下的标准差个数, Ρd —— 日需求量 d 的标准差, ΡL ——提前期L 的标准差。 式 (1)即经典的安全库存公式, 看起来简单, 可是在企 业实践中的应用, 却颇为复杂, 原因是数据收集量难度很 大, 例如对于具有几千至几万种物料的制造业企业或大中 型零售企业而言, 收集关于物料或产品的日需求量 d 和提 前期L 的数据, 其难度之大可以预期。而且, 理论或方法 越复杂, 其在企业实践中的广泛应用越受到限制。我们曾 调研了广东省十几家实施了 ER P 系统的企业, 发现这些 企业都是根据简单的经验法则来确定安全库存 SS。签于 此, 在需求随机分布并服从正态分布的假设下, 根据提前 期不变和提前期可变这两种不同的情况, 本文将分别提出 两个简洁实用的 SS 公式。 1. 1　提前期L 不变 目前众多企业都重视供应链管理, 强调快速响应和协 同预测, 实施 ER P、SCM 和电子商务来加强信息交流, 并 且大幅改善了运输条件和准时交货, 强调对提前期变异的 管理, 因而提前期的变异可以视为很小。在需求随机分布 并服从正态分布和提前期不变的假设下, 式 (1) 的第二项Ρ2L (dθ) 2 为零, 故式 (1)简化为: S S = zΡd L (2) 　　不妨设一个时间单位周期为 T (T = 周、旬、月、季 第26卷第12期 (总第180期)　　　　 　　系　统　工　程 V ol. 26, N o. 12 2008年12月　　　　　　　　　　 　 　 System s Engineering D ec. , 2008 Ξ 收稿日期: 2008208224; 修订日期: 2008211209 基金项目: 暨南大学“211工程”子项目 (50653240) ; 广东省自然科学基金资助项目 (5006061) 作者简介: 楼润平 (19772) , 男, 海南儋州人, 暨南大学管理学院博士研究生, 研究方向: 管理科学与决策, 企业信息化; 薛声家 (19442) , 男, 广东潮汕人, 暨南大学管理学院教授, 博士生导师, 研究方向: 管理科学与决策, 产业经济学。 等) , 根据统计学中一系列独立事件的方差等于各方差之 和, 单位周期 T 的需求量标准差 ΡT 与日需求量标准差 Ρd 之间有如下关系式: Ρ2T = T Ρ2d (3) 　　综合式 (2)、式 (3) , 得: S S = z ΡT L öT (4) 　　这是本文提出的第一个安全库存 SS 公式。 1. 2　提前期L 可变 如果提前期L 变化很大, 则式 (1) 的第二项 Ρ2L (d ) 2 不 为零, 设式 (1)的第一项和第二项存在如下关系: kΡ2d (L ) = Ρ2L (d ) 2 (5) 　　本文把式 (5) 的 k 称为调整系数, 综合式 (1)、式 (3)、 式 (5) , 得: S S = z ΡT (1 + k) L öT (6) 　　式 (6) 是本文提出的第二个安全库存 SS 公式。式中, 定义 k 为调整系数①, k∈ [ 0, K ] (K 是一个充分大的正 数)。若 k= 0, 则提前期L 不变, 式 (6)就变成了式 (4)。 2　S S 计算方法的比较 在实践中, 许多制造、零售和分销企业, 以月度形式表 示产品需求或原料消耗②。R ichard (2005)提出了一个简洁 的适用于强季节型产品 (例如圣诞树、火鸡、玩具、冰淇淋、 软饮料等) 的安全库存计算公式[3 ], 其使用的来自企业的 真实数据 (表1) , 同样是以月度形式表示的③。基于此考 虑, 本文将重点探讨时间单位 T 为月这种情况。不妨设一 个月为 T = 30天, 对于提前期L 不变和提前期L 可变, 则 式 (4)、式 (6)分别化为: SS = zΡM L ö30 (7) SS = zΡM (1 + km ) L ö30 (8) 式中, ΡM 表示月需求量标准差, km 表示 T = 30时对应的 调整系数。式 (7)、式 (8) 不仅适用于强季节型产品或原料 的安全库存优化, 而且适用于季节性不强的产品或原料。 接下来, 本文使用式 (7) 来演算表1的数据, 并与 R ichard 的计算结果进行比较。 　　设服务水平CSL = 99% 和提前期L = 1, 以表1中2004 年的数据为例, 采用本文的公式 (只须表1中2004年的实际 销售数据) , 得 SS 2004= 3046, 采用R ichard 的公式 (必须用 表 1中2004年的实际销售和预测值数据) , 得 SS R2004 = 8847, 可见, 前者比后者小很多。同样, 以表1中2003年的 数据为例, 采用本文的公式和 R ichard 的公式, 分别计算 得 SS 2003= 2409, S S R2003 = 3053, 前者比后者小。 表2提供了进一步的比较: 第 [ 1 ]、第 [ 2 ]行表示安全 库存占实际销量的百分比, 第 [ 1 ]行数据是本文根据 R ichard 的公式计算得出的, 第 [ 2 ]行来自本文公式的计 算结果, 比较可知, 在同样的服务水平下, 根据式 (7) 计算 得出的 SS 要低于 R ichard 的。表2中, 第 [ 3 ]、第 [ 4 ]行表 示 2004年各月份的库存结余, 其根据 S S R2003 = 3053、 SS 2003 = 2409和每月的预测值、实际销售值计算得出, 可 87 系　统　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年 ① ② ③ 文[ 3 ]演示数据以月度形式表示, R ichard 虽然没有明确指出, 但其提出的公式和方法, 同样适用于其它时间单位如周和旬的。 对于一些大型的制造、分销和零售企业, 每日的产品需求或原料消耗量很大, 这些企业会以周和月为时间单位表示产品需求或 原料消耗。当然, 对于特大型制造、分销和零售企业, 会以日为时间单位。 对不同的时间周期 T , k 的取值不同。这是本文下文要探讨的问题。 见, 第[4 ]行的结果总体上 (本文 SS 公式的计算) 优于第 [ 3 ]行的 (R ichard 公式的计算) ; 注意到4月的实际销量远 远大于预测值 (表1) , 因此4月份出现了缺货, 由表2知, 第 [3 ]行的4月缺货8304, 第[4 ]行的4月缺货8948, 由于 SS R2003 = 3053 大于 SS 2003 = 2409, 因此当实际销售远远高于预 测值而导致缺货时, 根据 R ichard 的 SS 公式计算结果优 于本文的。 3　经典 S S 计算方法的改进 在表1中, 注意到各月的销售波动很大①。基于此, R ichard 提出了一种改进的 SS 计算方法, 其根据历年的预 测值和实际销售值来计算每月的安全库存 SS , 因此是动 态的方法, 更好地反映了企业经营管理的实际, 而经典的 SS 计算方法得出的结果, 是静态的。 表3以2001年至2004年4月的销售值和预测值为例, 列 出了按R ichard 改进的 SS 计算方法得到的结果和本文按 照 R ichard 改进的 SS 计算方法但使用式 (7) 得到的结果。 从表3可见, 按R ichard 的公式计算得到的 SS R = 15473, 远 大于按本文公式计算得出的 SS = 2764。 　　在90%、95%、99%、99. 9% 的置信水平下, 式 (7) 的 z 在正态分布表中的对应值分别为1. 28、1. 64、2. 33、3. 09 (可使用 Excel 的NORM S INV 函数求出) , 所以式 (7)可分 别化简为SS = 0. 234ΡM L 、SS = 0. 299ΡM L 、SS = 0. 425ΡM L 、SS = 0. 564ΡM L . 设提前期L = 1, 经计 算后比较可知, 在各服务水平 CSL 下, 根据本文 SS 计算 方法得出的安全库存 SS , 远小于R ichard 的②。 表4以2004年为例, 列出了在 CSL = 99% 时的比较结 果。表4的第[ 1 ]、第[ 3 ]行来自文[ 3 ], 第[ 2 ]、第[ 4 ]行是本 文的计算结果③。由表4第[1 ]和第[3 ]行比较可知, R ichard 改进的 SS 计算方法, 优于经典的, 而由表4第[ 1 ]与第[ 2 ] 行以及第[3 ]与第[ 4 ]行的比较可见, 根据本文的 SS 计算 97第12期　　　　　　　　　　　　楼润平, 薛声家: 两个实用的安全库存公式 ① ② ③ 第[ 3 ]行是本文按R ichard 的改进方法和公式得出的计算结果, 因文[ 3 ]对应的这一列计算结果有误。 由于篇幅所限, 本文仅列出CSL = 99% 的计算结果, 见表4。 对于制造企业, 表1的数据可视为产品和ö或原料的需求; 对于零售、分销企业, 则视为产品需求或销售。 公式得到的 SS ö实际销量的值, 远小于 R ichard 的; 亦即, 在同样的服务水平下, 根据本文 SS 计算方法得出的安全 库存 SS , 远小于 R ichard 的。把表4的第[ 1 ]和第 [ 3 ]行、第 [ 2 ]和第[4 ]行分别进行比较, 可以发现改进的 SS 计算方 法, 确实大大优于经典的。 表5列出了2004年每月的安全库存 SS 和库存结余, 表 5中的第 [ 1 ]、第 [ 3 ]行是按 R ichard 的改进方法和公式得 出的计算结果, 第 [ 2 ]、第 [ 4 ]行是按照 R ichard 的改进方 法但使用本文公式得出计算结果。从表5可见, 第 [ 2 ]行的 安全库存 SS 远小于第[1 ]行的 SS R , 第[ 4 ]行每月的库存 结余远小于第 [ 3 ]行的。此外, 把表5第 [ 3 ]行和表2第 [ 3 ] 行、表5第[ 4 ]行和表2第[ 4 ]行分别进行比较, 可以发现改 进的 SS 计算方法, 确实大大优于经典的。 注意到, 表5第[ 4 ]行的2月和4月出现了缺货, 分别是 89、63和8593, 尤其是4月缺货量比较大, 而第[ 3 ]行则没有 缺货现象。这表明, 当实际销售远远大于预测值而导致缺 货时 (例如2004年4月份) , R ichard 公式的计算结果优于本 文的; 这点容易理解和解释, 因为按照 R ichard 的公式计 算得出的安全库存 SS 远大于本文的; 显然, 维持高库存, 能够更好地应对缺货。但同时注意到, R ichard 的公式假 设提前期L = 1, 如果考虑了提前期L , 则根据 R ichard 公 式得到的 SS 会更高; 而本文为了便于与 R ichard 的进行 比较, 同样假设提前期L = 1。而实践中通常提前期是大于 一天的, 因此如果考虑实际情况下的提前期 L , 即式 (7) 的 L ≠ 1, 则相当于再乘上一个保险系数 L , SS 会相应地提高 (通常提前期L > 1, 否则可以在1天内补货, 那么就可以维持较低的库存水平了) , 从而能更好地应对 当实际销售远远高于预测值的情形。 表6是假设提前期L = 9时各月的 SS 和库存结余, 其 各行的含义与表5相同。比较表6第[ 1 ]和第[ 2 ]行可知, 考 虑实际提前期, 例如L = 9时, 根据R ichard 公式得到的 SS 远大于本文的。由表6可见, 在每月的库存结余方面, 第[ 3 ] 行远大于第[4 ]行的。注意到, 表6第[ 4 ]行的4月缺货3066, 对应于表5的8593, 缺货量大为降低了。 　　在实践中, 企业可以考虑使用本文的 SS 公式, 也可以 使用 R ichard 的公式。经过上述比较, 可知本文的公式不 同于 R ichard 的公式, R ichard 的同时需要预测值和实际 销售值, 而本文的仅需要历史销售数据 (或历史需求数 据)。对于季节性很强的产品, 为了更好地面对实际销售与 预测值差异大的情况, 一个可以考虑的方法是设法提高预 测水平和精度, 另一个方法是在销售旺季到来的月份, 保 持较高的安全库存水平, 则结余的库存可用于满足接下来 淡季的需求, 而不用再重新补货。在具体实践中, 取决于管 理者如何在缺货和高库存之间进行权衡。 4　调整系数 km 的灵敏度分析 式 (8)中, km 表示 T = 30时对应的调整系数。对于 T 为周、旬等时间单位周期, 可采取类似的定义和讨论方法。 设每月平均需求量为 dM 与日平均需求量 d 有如下关系 式: dM = 30 d (9) 　　综合式 (5)、式 (9)得: km = dMΡM 2 õ Ρ2L30L (10) 　　从式 (8)可知, 在一定的服务水平下, 当 km 增大时, SS也随着增加, 当 km 减小时, SS 也随着减小。式 (10) 中, 当dM 和 ΡM 一定时, km 与 Ρ2L 成正比, 与L 成反比。表7的数据, 显示了当 ΡL、L 变化时, km 的变化情况。当企业能够有效地管理提前期 L , 使得提前期变异很小(如 ΡL = 1, 2) 时, 平均提前期L 的变动 (如L 分别取较小值L = 2、L = 7和较大值L = 18) 导致 km 的变化很小, 从表1的第 [ 3 ]～ [ 6 ]行可以看出, ΡL ∈ [ 1, 2 ]时, 基本上 km ∈[0, 1 ], 大部分 kµ 0。当平均提前期 L 和提前期的变异值ΡL 以同步长增加时 (表7中L 和 ΡL 分别取值L = 4, 5, 6和ΡL = 3, 4, 5) , 从第 [ 7 ]～ [ 9 ]行可见, ΡL 的变化 (ΡL ∈ [ 2,N ], N 是充分大的正数) 对 km 的影响很大, ΡL 的增加使k 以 Ρ2L 的倍数增加, 超过50◊ 的 km ∈[ 1, K ] (K 是一个充分大的正数)。表7的仿真数据①, 验证了这个共识的命题:当需求服从正态分布时, 就降低安全库存而言, 减少提前期变异比减小提前期的效果更好, 尤其是提前期变异很大时。 08 系　统　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年 ① 由于篇幅所限, 本文仅列出具有代表性的表7。 图1　调整系数 km 的灵敏度分析 　　在 CSL = 99% 和L = 9的情况下, 图1列出了 km 取不 同值时 SS ö销售 (2004年) 的变动情况。从图1可见, 当 km 在 [ 0, 1 ]变化时, 曲线 SS ö销售的变化幅度平缓, 这表明, 若企业能有效管理提前期变异, 使 ΡL ∈[ 1, 2 ], 则 km 在区 间 [ 0, 1 ]取值, 那么调整系数 km 具有良好的健壮性, 这样 就能在保持同等的顾客服务水平 CSL 下, 维持较低的安 全库存 SS. 在实际中, 客户需求是企业难以控制的 (通过ΡM 来表示) , 而管理提前期的变化 (通过 ΡL 来表示) , 却是 企业可有所作为的。因此, 在保持同等的服务水平下, 减小 提前期的变异, 是企业有效降低安全库存的可行策略。 综上定义和讨论, 得到 T = 30时对应的调整系数 km 值的定义和取值: 若0≤ΡL < 1, 则提前期L 不变, km = 0; 若ΡL ∈ [ 1, 2 ], 则提前期 L 可变, km ∈ [ 0, 1 ]; 若 ΡL ∈ [ 3, N ] (N 是一个充分大的正数) , 则提前期 L 可变, km ∈ [ 0, K ] (K 是一个充分大的正数)。 5　公式的应用 管理决策学派的代表人物西蒙说过, 由于认知、信息、 数据获取等方面的局限, 决策是在备选中寻求满意 解, 而寻求所谓的最优解常常由于成本高昂而不可行。本 文提出的式 (4)、式 (6)、式 (7)和式 (8) , 可视为在约束条件 下获得满意解的启发式算法, 可以大为减轻数据收集量, 简化 SS 计算, 如果结合一些库存管理方法 (例如ABC 分 类法) 和 ER P 系统提供的计划和控制功能, 则效果更 佳①。而在企业的管理实践中, 关于月 (周和旬) 需求量的 数据, 是很容易获取的, 尤其是目前许多企业实施了 ER P、SCM 的背景下。本文的公式, 简洁实用, 可为零售、 分销和制造企业优化库存结构和提高服务水平提供参考。 软件公司在开发 ER P 软件时, 可把本文简洁的 SS 公式加 入 ER P 软件, 作为其库存管理功能的一部分。 6　结论 在需求随机并服从正态分布的假设下, 本文提出了两 个简洁实用的安全库存计算公式。未来的研究, 可考虑多 级库存系统中库存和配送的联合优化, 考虑订货批量和安 全库存的联合优化, 考虑当时间单位周期 T 取不同值时, 18第12期　　　　　　　　　　　　楼润平, 薛声家: 两个实用的安全库存公式 ① 如何把本文的公式与ABC 分类法、ERP 的计划与控制功能结合起来应用, 参见本文作者的相关。 提前期L 的变异值 ΡL 和调整系数 k 对安全库存的影响等 问题。在目前价值链节点企业普遍强调快速响应和协同预 测, 普遍实施 ER P 系统、SCM 系统等背景下, 结合 ER P 和 SCM 系统来研究供应链的库存管理问题, 具有重要实 践意义。在当前经济形势比较严峻的情况下, 本文的安全 库存公式, 对于制造、零售和分销企业在保持或提高服务 水平条件下, 降低存货水平, 具有实用的参考价值。 参考文献: [1 ]　约翰õOõ麦克莱恩,Lõ约瑟夫õ麦克莱恩, 约瑟夫õBõ 马佐夫. 运营管理 [M ]. 北京: 中国人民大学出版 社, 2001. [2 ]　理查德õBõ蔡斯, 尼古拉斯õJõ阿奎拉诺, Fõ罗伯特õ 雅各布斯. 运营管理 [M ]. 北京: 机械工业出版社, 2004. [3 ]　H errin R. How to calculate safety stock s fo r h igh ly seasonal p roducts[J ]. The Journal of Business Fore2 casting, 2005, (summ er). [4 ]　M olinder. Jo in t op tim ization of lo t2sizes, safety stock s and safety lead tim e in an M R P system [J ]. In ternational Journal of P roduction R esearch, 1997, 35 (4) : 983～ 994. [5 ]　Grubbstrom R W. A net p resen t value app roach to safety stock s in a m ulti2levelM R P system [J ]. In ter2 national Journal of P roduction Econom ics, 1999, 59: 361～ 375. [6 ]　Chop ra S, et al. The effect of lead tim e uncertain ty on safety stock s[J ]. D ecision Science, 2004, 35 (1). [7 ]　 Persona A , et al. Op tim al safety stock levels of subassem blies and m anufacturing componen ts [ J ]. In ternational Journal of P roduction Econom ics, 2007, 110: 147～ 159. [8 ]　张慧颖, 寇纪淞, 李天生, 赵先德. 基于 ΡöQ 的库存 控制中安全库存的优选策略 [J ]. 管理科学学报, 2004, 7 (6). [9 ]　林勇, 马士华. 基于提前期的通用件安全库存管理 [J ]. 系统工程, 2003, 21 (1). [10 ]　林勇, 郑阿美. 面向随机需求的安全库存管理研究 [J ]. 物流技术, 2006, (10). [11 ]　彭志忠. 基于神经网络的供应链安全库存预测模型 [J ]. 管理现代化, 2006, (3). Two Practica l Safety Stock Formulas LOU R un2p ing, XU E Sheng2jia (J inan U niversity, Guangzhou 510632, Ch ina) Abstract: For retail, distribution and m anufacturing firm s, it is favorable to m ain tain suitable safety stock in order to increase custom er service level and decrease uncertain ty of stockout and m anufacturing p rocess. U nder the assump tion of stochastic dem and and norm al dem and distribution, th is paper p roposes two compact and p ractical safety stock form ulas, and compares them w ith the form ula p roposed by R ichard th rough case data. The form ulas of th is paper can p rovide refer2 ence for retail, distribution and m anufacturing firm s that desire to op tim ize inven to ry structure and increase service level. Key words: Safety Stock; Inven to ry M anagem ent; Safety Stock Form ula; Supp ly Chain M anagem ent; ER P 28 系　统　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年