对连续奇数和的一些思考

对连续奇数和的一些思考 对连续奇数和的一些思考 四川省叙永一中 黄劲 EMAIL：xyyzhj@qq.com 在几何上，我们经常说：“积点成线，积线成面，积面成体”，在对连续奇自然数求和的过程中，我们发现了类似的规律，现叙述如下： 为了形象化，我们先将一个数看作一个点，两个或两个以上的数排在一起看成一条线段，先看一个简单例子：1=12，1+3=22，1+3+5=32，……，1+3+5+……+（2n-1）=n2，我们将一列数“1，3，5，7……，2n-1”看成一条线段，这条线段上所有数之和为n2。所以我们说若用连续奇数和来表示“n2”，将“n2”与一条线段相对应，n越大，线段越长。 我们又知：1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43，……，（n2-n+1）+（n2-n+3）+……+（n2+n-1）=n3，类似地，我们也可以为n3与一条线段相对应，我们将与“13，23，33，……，n3”所对应的奇自然数排列成如下形状，我们仿佛看到一些线段排在一起，正在想构成一个完整的平面。 1……………………………………13 3 5…………………………………23 7 9 11………………………………33 13 15 17 19……………………………43 …………………………… n2-n+1+……………………n2+n-1………………………n3 继续往下，我们知道：1=14，1+3+5+7=24，1+3+5+7+……+17=34，1+3+5+……+（2n2-1）=n4，观察数表，我们可以认为与“n4”对应的那些奇自然数正好构成了一个平面，也可以说“n4”与一个平面相对应。 1 3 9 19 …… 2n2-4n+3 5 7 13 23 …… 2n2-4n+7 11 15 17 27 …… …… 21 25 29 31 …… …… …… …… …… …… …… …… 2n2-4n+5 2n2-4n+9 …… …… …… 2n2-1 再继续往下探索：1=15，5+7+9+11=25，19+21+23+25+……+35=35，49+51+……+79=45，……，（n3-n2+1）+（n3-n2+3）+（n3+n2-1）=n5，事实上与n5对应的奇自然数也正好可以构成一个平面，不同的n值所对应的平面之间没有公共部分，将它们罗列在一起，我们可以认为“n5”正好在向立体图形靠拢。 1 ……15 5 7 9 11 ……25 19 21 23 25 27 29 31 33 35 ……35 n3-n2+1 …… … …… …… … n3+n2-1 再继续往下探索： 1 ……16 项数为1 1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 ……36项数33=27 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 若一个奇数正好占据一个棱长为1的正方体的话，从上面的分析我们不难可以想到“n6”所对应的奇自然数，正好可以将1个棱长为n的正方体填满，所以我们说，当用奇自然数和来表示“n6”的时候，“n6”正好与一个正方体相对应。 综上所述，用连续奇数和表示“n2”，“n4”，“n6”与它们相对应的几何图形分别是一条线段，一个面，一个正方体，也可以说它们所对应的空间维数分别是一、二、三。而“n3”，“n5”所对应的图形系列，可以分别看成一维空间到二维空间，二维空间到三维空间的过渡形式，这一发现的实际应用尚不清楚，但它再一次说明了数学中代数与几何的相通性。而且我们继续往下研究可认为，与“n7”所对应的奇自然数所构成的几何图形是三维空间到四维空间的过渡形式，而与“n8”所对应的奇自然数，正好可构成四维空间的某个图形。这为我们探索四维空间的结构形式提供了一个平台与机会，这可以看成是本篇在数学中的价值吧！