夹杂角端部奇异应力场分析

第 26 卷 第 4 期 应 用 力 学 学 报 Vol.26 No.4 2009 年 12 月 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Dec.2009 基金项目: 国家自然科学基金(10662004；10362002) 来搞日期:2008-04-29 修回日期: 2009-07-14 第一作者简介: 陈梦成，男，1962 年生，博士，华东交通大学土木学院，教授；研究方向——新型材料力学行为研究、复合材料断裂与损失研究。 E-mail:chenmch@ecjtu.jx.cn 文章编号：1000-4939（2009）04-0651-06 夹杂角端部奇异应力场分析 陈梦成 平学成 姜 羡 (华东交通大学 330013 江西南昌) 摘要：提出一种分析夹杂角端部奇异应力场的新型杂交有限元方法。构造了一个角端部奇异单元， 该单元刚度建立不依赖数学解析解。用这种方法计算了单向载荷作用下无限大板含单个方形夹杂 和菱形夹杂角端部奇异应力场，并与现有的数值解进行了比较，结果表明：目前的数值方法是可 行的、有效的、数值结果精度高，适用范围广。作为应用讨论了双方形夹杂刚度和位置对夹杂角 端部奇异应力场的影响。 关键词：弹性体；夹杂；杂交有限元；奇性指数；广义应力强度因子 中图分类号:O343.4 文献标识码:A 1 引 言 复合材料的强度主要取决于夹杂界面脱粘和 拔出，因此，如何界面强度非常重要。根据线 弹性理论，在复合材料界面角端部应力常常是奇异 的，因此，用断裂力学方法研究复合材料界面角端 部断裂机理，有必要考查奇异应力场。 许多研究者对复合材料夹杂角端部的应力奇异 性进行了分析，文献[1-3]研究了纤维夹杂角端部奇 异应力场；文献[4]分析了短纤维加强复合材料界面 角端部应力奇异指数和位移。然而解析法对大多数 复杂问并不容易使用，体积力法实际上是一种间 接边界积分法，同样需要弹性解析基本解。另外， 每个夹杂都需要建立相应边界积分方程，对求解许 多任意形状的夹杂问题不方便。相比较而言，文献[5] 提出的杂交应力有限元方法被公认为是一种求解包 含单个或多个奇异点弹性问题的强有力的工具，在 求解多相或非均匀复合材料细观力学方面呈现出较 大的应用潜力。但目前用杂交应力有限元法研究非 规则形状（非椭圆类）夹杂间相互作用的工作缺 乏，问题在构造奇异点超级单元时，需要解析求 解奇异点附近近似弹性场的奇异指数和角分布函 数，这给许多复杂问题带来了困难。 本文提出一个新型杂交应力有限元模型，用 来分析任意形状夹杂（图 1）角端部奇异应力场。 在数值分析过程中，采用一种特殊的一维有限元 特征分析法[6,7]，数值求解夹杂角端部应力奇性指 数和奇异应力角分布函数，然后，以这些数值解 构造一个角端部奇异单元，将该单元与四节 点单元耦合在一起进行数值求解，从而使夹杂角 端部奇异应力场分析问题获得解决。 2 夹杂问题杂交有限元方法 分析夹杂角端部局部应力，通常在夹杂角端 部尖点建立局部坐标系（图 2）。设 1 和 2 分 别为两相材料子扇区， 为子扇区 2的尖劈角度， 1 和 2 表示界面相对于 x 轴的夹角，当 0  时， 1 2  。 652 应 用 力 学 学 报 第 26 卷 2.1 夹杂角端部奇异应力场一般表达式 夹杂角端部邻域的奇异位移场和应力场一般 可以表示为[8] 1( , ) ( ) ( , )r k r k r   u u U ， ( , ) ( ) ( , )r k r k r   σ σ  (1) 其中  为特征值，与材料及夹杂端部角度大小有 关； ( )u 和 ( )σ 分别是位移和应力角分布函数； ( , )r U 和 ( , )r Σ 是中间向量。 如果特征值  为复数，则特征向量 ( )u 、 ( )σ 和 k 也是复数，写为 R I( ) ( ) i ( )   u u u (2) R I( ) ( ) i ( )   σ σ σ (3) 其中下标“R”和“I”分别表示实部和虚部。夹杂 端部邻域内位移场以及奇异应力场可表示为 R R 1 1 R R I I I 1 I R I I I ( , ) Re( ( )) [ ( ) cos( ln ) ( )sin( ln )] [ ( )sin( ln ) ( ) cos( ln )] r kr k r r r k r r r                       u u u u u u R R I I( , ) ( , )k r k r U U (4) R R R R I I I I R I I I ( , ) Re( ( )) [ ( ) cos( ln ) ( )sin( ln )] [ ( )sin( ln ) ( ) cos( ln )] r kr k r r r k r r r                    σ σ σ σ σ σ R R I I( , ) ( , )k r k r Σ Σ (5) 对于多个特征值场合，夹杂角端部邻域内奇异 位移和应力场的一般表达式为 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) R R I I 1 ( , ) ( ) [ ( , ) ( , )] n N M n n n N n n n n n r k r k r k r               u u U U ( ) ( ) 1 ( , ) M n n n k r    U (6) + ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) R R I I 1 ( , ) ( ) [ ( , ) ( , )] n N M n n n N n n n n n r k r k r k r             σ σ Σ Σ ( ) ( ) 1 ( , ) M n n n k r    Σ (7) 式中：N 为截取的复特征值 n 的个数，M 为截取 的实特征值 n 的个数。另外，在式(6)和式(7)中， 通常假定 1Re( ) Re( )n n   ，断裂力学还要求 Re( ) 1n   ； ( ) ( , )n r U 和 ( ) ( , )n r  以 及 ( ) ( , )nl r U 和 ( )( , )nl r  ( R, Il  )可以分别从无量 纲位移角分布函数 ( ) ( )n u 和应力角分布函数 ( ) ( )n σ 计算得到。奇异性指数 n 以及角分布函数 ( ) ( )n u 和 ( ) ( )n σ 可采用一维特殊有限元求解特 征方程而得到。特征方程为 T 2[ ) ( ) ]e e e e e e      0 q P Q R q 其中：上标 “e” 代表典型自然单元； 为特征值， 即应力奇异指数；q 为特征向量，可以用来计算位 移角分布函数 ( ) ( )n u 和应力角分布函数 ( ) ( )n σ ； 矩阵 eP 、 eQ 和 eR 的定义见文献[8]。 2.2 夹杂角端部奇异单元刚度矩阵 依据 Hellinger-Reissner 原理[9]，对任一单个楔 形尖劈端部邻域 i ( 1,2)i  ，其泛函变分形式为 T T1[ ( ) ( ) ]d 2i i i i i i i m    σ S σ σ D u T( ) ( )d i u i i i mS S n σ u u (9) 式中：σ、u和 S 分别为应力、位移和弹性柔度 矩阵， mD 为应变与位移关系的变分算子矩阵； mn 为域边界外法线方向余弦矩阵；u 为域边界位移。 将夹杂角端部区域看作是由两个楔形尖劈端 部结合而成，即 1 ∪ 2  ，对(9)式使用分 部积分和 Green 公式，并注意到界面上应力和位 移连续，可得到 T T m m 1 ( ) d ( ) d 2 n uS S S S   n σ u n σ u 式中 1 2 1 2n u u uS S S S S S S        。 为便于与传统的四节点标准杂交单元组装， 建立 n (一般选 8n  )节点夹杂角端部奇异单元 (图 3)。单元内的位移场和奇异应力场由式(6)和  r 1 2  1 2 1 1,  2 2,  x y 图 2 夹杂角端部局部坐标系 图 1 内含夹杂的无限大板 2 2 2, 1  1 1,  xy  xx  yy  第 4 期 陈梦成，等：夹杂角端部奇异应力场分析 653 式(7)有 C[ ]{ } e eu U k ， C[ ]{ } e eσ Σ k (11) 奇异单元边界上位移 eu 可以通过相邻两 节点位移 eiU 和 1eiU 进行插值得到，即 T 1[ ]{ , } ( 1, , 1) e e e i i i n   u L U U (12) 其中[ ]L 是根据一维 Lagrange 插值方法得到的插值 函数矩阵。显然对于两节点单元，[ ]L 可以假定为 2 2[ ] [(1 ) ] s s l l   I IL (13) 其中：s 为单元中任意点 p 与积分起始节点的距离 (图 3)；l 为两节点间的距离。 将式(11)和式(12)代入式(10)得          T T1 2 e ee e   k H k k G U (14) 其中: T1{ , , }e e en U U U , T T1[ ] [( ) ( ) ]d 2 n e e e e e S S  m C C C m CH n U U n  ， T[ ] ( ) [ ] d n e e S S    m CG n L 根据函数 e 的静态值 0e  ，有   1([ ] ) [ ]e e ek H G U (15) 将上式代入式(14)得  T1 ( ) ( ) 2 ee e e ic  U K U (16) T 1[ ] ([ ] ) ([ ] ) [ ]e e e eic K G H G 其中[ ]eicK 为夹杂角端部奇异单元的刚度矩阵。 2.3 夹杂问题有限元方程 新型杂交元方程由夹杂角端奇异杂交单元和 标准四节点杂交单元[5,8]耦合而成。新型杂交元的代 数方程可表示为 [ ]{ } { }K U F (17) 其中:   [ ] [ ]st ic K K K 为总刚度矩阵；{ }U 为弹 性材料全域的节点位移；{ }F 为远场外载向量。利 用该方程就可以求解在广义外载荷下的夹杂角端部 奇异单元的节点位移 eU ，通过式(15)则可以解出待 定系数{ }k 。为了满足 Leak Before Break (简称 LBB) 条件[10]，Dim({ })k 应大于或等于广义自由度总 数减去广义刚体自由度。 3 夹杂角端部广义应力强度因子 文献[3]用复变函数的方法导出了夹杂角端部 的奇异应力场式(1)。因此，一旦获得广义应力强 度因子 1I K  和 2IIK  值，则图 2 所示的绕夹杂角端 部任一 处的奇异应力场即可确定。当 0  时， I型奇异应力场和 II型奇异应力场与夹杂角端部广 义应力强度因子 1I K  和 2IIK  的关系分别为 1 1I I 0 ,1 1 lim 2 (0 ) (0 ) r K r f       (18) 2 2II II 0 ,1 1 lim 2 (0 ) (0 ) rrr K r f       (19) 其中 I 2 ,1 1 1 2 1 1 2 1 1 ( ) (0 ) ( 1) ( ) sin[ ( 1)( π)] ( 1){(1 )sin[( 1)π] f                             1 1 1 2( 2)( )sin[( 1)( π)]}          ， II 2 ,1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) (0 ) ( 1) ( ) sin[ ( 1)( π)] ( 1){(1 )sin[( 1)π] ( )sin[( 1)( π)]} rf                                         式中 )0(I 1, f 和 )0(II 1, rf 为应力角分布函数在 0 时的表达式[3]； 和 为 Dundurs 组合材 料参数[11]，与每组材料弹性常数有关，即 1 2 2 1 1 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)               ， 1 2 2 1 1 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)               (20) 其中: (3 ) /(1 )i i iv v    (平面应力)； (3 4 )i iv   (平面应变) （i = 1,2） 图 3 夹杂角端部超级单元 p s o 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 654 应 用 力 学 学 报 第 26 卷 4 数值结果与讨论 采用新型杂交元方法分析图 4 所示的矩形和菱 形夹杂问题。为了确保夹杂角端部应力奇异指数为 实根，要求材料组合参数 ( ) 0    ，结果比较 采用分别对应于广义应力强度因子 1I K  和 2IIK  的无 量纲参数，方形夹杂 1 1 I I y K F b    ， 2 2 II II xy K F b    (21) 菱形夹杂： 1 1 I I y K F l    ， 2 2 II II xy K F l    (22) 4.1 矩形夹杂 矩形夹杂如图 4(a)所示，无限大板的宽度 w = 20b，高度 h = 10l，由对称性只在 1/4 区域内进行计 算，使用 1 个夹杂角端部奇异单元和 285 个标准四 节点杂交单元，假定为平面应力状态， 1=  2 = 0.3。 在单向拉伸载荷y作用下，无量纲广义应力强 度因子 FⅠ和 FⅡ与 l/b 的变化关系如图 5 所示，可以 看出，本文结果与文献[1]吻合得很好。 4.2 菱形夹杂 含菱形夹杂无限大板如图 4(b)所示，无限大板 宽度 w= 40l，高度 h= 40l，由对称性只在 1/2 区域 内进行计算，使用 1 个夹杂角端部奇异元和 508 个 标准 4 节点杂交元，假定为平面应力状态， 1=  2 = 0.3。在单向拉伸载荷 y作用下，取  = 60, 表 1 给出了 FⅠ和 FⅡ与剪切弹性材料常数 2/1 的变 化关系，从表中可以看出，结果与文献[3]吻合得很 好，最大误差小于 2.91％。 4.3 双方形夹杂 考虑如图 6所示的双方形夹杂之间的相互影响。 图 5 矩形夹杂角端部 FⅠ和 FⅡ与 /l b的关系 表 1 无量纲应力强度因子 FⅠ和 FⅡ与文文献 [3] 比较 FⅠ(y ) FⅠ(x∪y) FⅡ(xy ) 2 /1 本文 解 误差/ ％ 本文 解 误差/ ％ 本文 解 误差/ ％ 0.0001 1.148 0.17 1.031 -0.19 1.595 -0.44 0.1 0.713 0.42 0.651 -0.46 1.499 -0.20 10 -0.106 2.91 0.311 -2.20 － － 10000 -0.111 -0.89 0.349 -1.69 -0.556 -1.07 取无限大板的宽度 w= 20b，高度 h= 20b，由对 称性，只在 1/4 区域内进行计算，共使用 1008 个 四节点标准杂交单元和 2 个夹杂角端部奇异单 图 4 矩形与菱形夹杂 (a ) 1 xy x y 2b 2l 2 (b) 1 xy  x y 2 2l  图 6 双方形夹杂 1 xy x 2b d 2 y 2 第 4 期 陈梦成，等：夹杂角端部奇异应力场分析 655 元。FⅠ和 FⅡ的数值计算结果列于表 2~表 4 中。 由表 2 可见在拉伸载荷y作用下，当 1 /2＜1 时，无量纲应力强度因子 FⅠ和 FⅡ的数值结果随夹 杂间距 d 增加而减少，但均大于零，因此，夹杂角 端部既可能发生拉伸断裂，也可能发生剪切断裂； 当 2 /1＜1 时，FⅠ随夹杂间距 d 增加略有增加， 并且全大于零， 虽然 FⅡ随夹杂间距 d 增加无规律 可循，而且全小于零，但此时仍然意味着夹杂角端 部既可能发生拉伸断裂，也可能发生剪切断裂，不 过剪切断裂方向与 2 /1＜1 时的相反；另外，随 着 2 /1 的增大，夹杂之间的相互作用仅受夹杂间 距 d 影响，而受 2 /1 影响逐渐消失，而且剪切断 裂的主导控制地位明显减弱。 由表 3 可见在拉伸载荷 x 作用下，当 2 /1 ＜1 时， FⅠ和 FⅡ 均随夹杂间距 d 增加而减少，夹 杂角端部既可能发生拉伸断裂，也可能发生剪切断 裂，而且剪切断裂占主导控制地位；当 1/2＜1 时， FⅠ和 FⅡ均随夹杂间距 d 增加而减少，并且均大于 零，这意味着夹杂角端部既可能发生拉伸断裂，也 可能发生剪切断裂；同样，随着2 /1 的增大，夹 杂之间的相互作用仅受夹杂间距 d 影响，而受2 /1 影响逐渐消失，而且剪切断裂的主导控制地位明显 减弱。 表 2 拉伸载荷y作用下双夹杂角端部的 FⅠ和 FⅡ 2 /1 d/b F 0.1 2 10 100 FⅠ 0.4494 0.1888 0.2075 0.20900.2 FⅡ 2.6723 -2.3365 -0.4886 -0.2971 FⅠ 0.4309 0.1904 0.2104 0.2118 0.4 FⅡ 2.6094 -2.3418 -0.4878 -0.2965 FⅠ 0.4201 0.1919 0.2135 0.2150 0.6 FⅡ 2.5711 -2.3448 -0.4868 -0.2959 FⅠ 0.4131 0.1932 0.2165 0.2180 0.8 FⅡ 2.5450 -2.3464 -0.4859 -0.2952 FⅠ 0.4082 0.1942 0.2191 0.2206 1.0 FⅡ 2.5261 -2.3474 -0.4850 -0.2947 由表 4 可见在剪切载荷xy 作用下，当 2 /1 ＜1 时， FⅠ和 FⅡ 均随夹杂间距 d 增加而减少，但 FⅠ小于零，而 FⅡ却大于零，这意味着夹杂角端部 不可能发生拉伸断裂，只可能发生剪切断裂；当 1/2＜1 时，FⅠ和 FⅡ 均随夹杂间距 d 增加而减少， 并且均大于零，因此，夹杂角端部既可能发生拉伸 断裂，也可能发生剪切断裂；类似地，随着 2 /1 的增大，夹杂之间的相互作用仅受夹杂间距 d 影 响，而受 2 /1 影响逐渐消失，最后，夹杂角端 部也趋向仅可能发生拉伸断裂。 表 3 拉伸载荷x作用下双夹杂角端部的 FⅠ和 FⅡ 2 /1 d/b F 0.1 2 10 100 FⅠ 0.3816 0.2167 0.2921 0.29120.2 FⅡ -2.4089 2.4286 0.5420 0.3295 FⅠ 0.3815 0.2128 0.2811 0.2801 0.4 FⅡ -2.4041 2.4172 0.5297 0.3217 FⅠ 0.3813 0.2099 0.2731 0.2720 0.6 FⅡ -2.4108 2.4072 0.5206 0.3160 FⅠ 0.3811 0.2078 0.2671 0.2660 0.8 FⅡ -2.4003 2.3986 0.5137 0.3117 FⅠ 0.3803 0.2061 0.2626 0.2613 1.0 FⅡ -2.4000 2.3913 0.5083 0.3084 表 4 剪切载荷xy作用下双夹杂角端部的 FⅠ和 FⅡ 2 /1 d/b F 0.1 2 10 100 FⅠ -1.4130 0.5344 0.3076 0.30780.2 FⅡ 0.4695 0.1453 0.1115 0.0677 FⅠ -1.3999 0.5322 0.3008 0.3009 0.4 FⅡ 0.4032 0.1097 0.1064 0.0645 FⅠ -1.3781 0.5311 0.2962 0.2963 0.6 FⅡ 0.3242 0.0835 0.1037 0.0627 FⅠ -1.3559 0.5306 0.2929 0.2929 0.8 FⅡ 0.2540 0.0637 0.1024 0.0619 FⅠ -1.3359 0.5304 0.2904 0.2903 1.0 FⅡ 0.1967 0.0485 0.1020 0.0616 5 结 束 语 本文开发出了一个新型分析夹杂角端部奇异 应力场的杂交有限元模型，该模型与传统的奇异 应力场分析依赖于解析解的杂交有限元模型不 同，完全依靠数值解,通用性较强，便于处理更复 杂的夹杂问题。利用该模型计算了矩形和菱形夹 杂角端部处的广义应力强度因子，讨论了方形夹 656 应 用 力 学 学 报 第 26 卷 杂刚度和间距对广义应力强度因子的影响。 1) 算例结果表明，本文方法使用单元较少,数值结 果精度较高； 2) 夹杂间的相互影响随夹杂间距 d 增加而减少； 3) 在拉伸载荷作用下，夹杂角端部既可能发生拉 伸断裂，也可能发生剪切断裂，而且剪切断裂占主 导控制地位; 但随着2 /1 的增大，2 /1 对夹杂之 间的相互作用影响减弱，而且剪切断裂的主导控制 地位明显减弱； 4) 在剪切载荷作用下，当 2 /1＜1 时，夹杂角端 部仅可能发生剪切断裂，担当 2 /1＞1 时，夹杂 角端部既可能发生拉伸断裂，也可能发生剪切断裂； 随着 2 /1 的增大，夹杂之间的相互作用仅受夹杂 间距 d 影响，而受 2 /1 影响逐渐消失，最后，夹 杂角端部也趋向仅可能发生拉伸断裂。 由于该方法不依赖于解析解，因此通用性强， 能够处理更复杂的工程材料夹杂问题。 参 考 文 献 [1] 陈玳珩, 西谷弘信. 接合異材角部の特異応力場について[J]. 日本 機械学会論文集 1991, A, 57(542): 2509-2513. 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A hybrid-element approach to crack problems in plane elasticity[J]. Inter J Numer Methods Engng 1973, 7:297-308. [11] Dundurs J. Effect of elastic constants on stress in a composite under plane deformation[J]. Journal of Composite Materials 1967, 35:310. No.4 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS iv Hemolysis and Flow Field in New Streamlined Axial Blood Pump Zhu Lailai Zhang Xiwen (School of Aerospace, Tsinghua University, 100084, Beijing, China) Abstract: A new streamlined axial blood pump was developed and manufactured, commercial CFD software CFX was used to numerically obtain the pressure head and flow flux relations validated by in-vitro test. A comparison of CFD data with experimental measurements shows the agreement, and the hemolytic properties of the pump was analyzed. The flow field in the pump was also displayed and examined in the view of its impact on efficiency and hemolytic characteristics, to offer the basic support for the further optimization of the blood pump inducing better flow field. Keywords: axial blood pump, flow field, hemolysis, CFD. Singular Stress Fields around Inclusion Corner Chen Mengcheng Ping xuecheng Jiang Xian (School of Civil Engineering and Architecture and School of Mechotronics Engineering, 330013, NanChang, China) Abstract：A new hybrid finite element model is developed to analyze singular stress fields around an inclusion corner, which does not depend on the analytical solutions, and is employed to evaluate the singular stress fields around a rectangular inclusion and a diamond inclusion. The numerical results are compared with the available numerical solutions to show the practicability, effectiveness and accuracy for complicated engineering inclusion problems. As an application, the interaction between two square inclusions with varying material stiffness ratio and space span is discussed. Keyword: elasticity, inclusion, hybrid finite element method, singularity, generalized stress intensity factor. Damage Detection in Coupled String System by Measured Dynamic Responses LuZhongrong Xu Weihua Liu Jike (Department of Applied Mechanics, Sun Yat-sen University, 510275, Guangzhou, China) Abstract: Aiming at the damage detection for coupled string system with close and repeated natural frequencies, finite element method is chosen to analyze forced vibration of the coupled string system. The dynamic response sensitivity with respect to the physical parameter (elemental cross-sectional area) is then derived. In the inverse analysis, the local damages in the string are identified from dynamic response sensitivity-based finite element