向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设 ， ，称 为 的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则， 。这样的表示是有好处的。 2.线性表示 设 ， ，如果存在 ，使得 则称 可由 线性表示。 ，写成矩阵形式，即 。因此， 可由 线性表示即线性方程组 有解，而该方程组有解当且仅当 。 3.向量组等价 设 ，如果 中每一个向量都可以由 线性表示，则称向量组 可以由向量组 线性表示。 如果向量组 和向量组 可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。 向量组等价的性质： (1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。 (2) 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 (3) 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。 ： 自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I为 ，向量组II为 ，向量组III为 。向量组II可由III线性表示，假设 ， 。向量组I可由向量组II线性表示，假设 ， 。因此， ， 因此，向量组I可由向量组III线性表示。 向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。 因此，向量组I与III等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关 设 ，如果存在不全为零的数 ，使得 则称 线性相关，否则，称 线性无关。 按照线性表示的矩阵记法， 线性相关即齐次线性方程组 有非零解，当且仅当 。 线性无关，即 只有零解，当且仅当 。 特别的，若 ，则 线性无关当且仅当 ，当且仅当 可逆，当且仅当 。 例1. 单独一个向量 线性相关即 ，线性无关即 。因为，若 线性相关，则存在数 ，使得 ，于是 。而若 ，由于 ， 因此， 线性相关。 例2. 两个向量 线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若 线性相关，则存在不全为零的数 ，使得 。 不全为零，不妨假设 ，则 ，故 平行，即对应分量成比例。如果 平行，不妨假设存在 ，使得 ，则 ，于是 线性相关。 例3. 线性无关，且任意 都可以由其线性表示，且表示方法唯一。事实上， 5.线性相关与无关的性质 (1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明： 设 ，其中有一个为零，不妨假设 ，则 因此， 线性相关。 (2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明： 设 ， 线性相关。存在不全为零的数 ，使得 这样， 不全为零，因此， 线性相关。 后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。 (3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明： 设 为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为 ， 是同维的列向量。令 则 。由向量组 线性相关，可以得到 。结论得证！ (4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明： 设 为一组向量。 必要性 若 线性相关，则存在一组不全为零的数 ，使得 不全为零，设 ，则 充分性 若 中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设 可以表示成 的线性组合，则存在一组数 ，使得 也就是 但 不全为零，因此， 线性无关。 【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。 (5) 若 线性无关， ，使得 线性相关，则 可由 线性表示，且表示方法唯一。 证明： 线性相关，因此，存在不全为零的数 ，使得 ，否则 ，则 。由 线性无关，我们就得到 ，这样， 均为零，与其不全为零矛盾！这样， 因此， 可由 线性表示。 假设 ，则 由 线性无关，有 ，即 因此，表示法唯一。 【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量 可由线性无关向量组 线性表示，则表示法唯一。事实上，向量 可由线性无关向量组 线性表示，即线性方程组 有解。而 线性无关，即 。因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。 (6) 若线性无关向量组 可由向量组 线性表示，则 。 证明： 假设结论不成立，于是 。 可由 线性表示。假设 ， ， ………………………………………………………. ， 任取 ，则 由于 为一个 阶矩阵，而 ，因此，方程组 必有非零解，设为 ，于是 。因此，存在一组不全为零的数 ，使得 。因此，向量组 线性相关，这与向量组 线性无关矛盾！因此， 。 (7) 若两线性无关向量组 和 可以相互线性表示，则 。 证明： 由性质(6)， ， ，因此， 。 【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。 (8) 设 ， 为 阶可逆矩阵，则 线性无关当且仅当 线性无关。 可由 线性表示，当且仅当 可由 线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。 证明： 由于 可逆，因此 如此，结论得证！ 6.极大线性无关组 定义1 设 ，如果存在部分向量组 ，使得 (1) 线性无关； (2) 中每一个向量都可以由 线性表示； 则称 为 的极大线性无关组。 【备注5】 设 ， 为其极大线性无关组。按照定义， 可由 线性表示。但另一方面， 也显然可以由 线性表示。因此， 与 等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。 向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。 【备注6】按照定义，向量组 线性无关，充分必要条件即其秩为 。 定义2设 ，如果其中有 个线性无关的向量 ，但没有更多的线性无关向量，则称 为 的极大线性无关组，而 为 的秩。 【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有 个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。 【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果 线性无关，且 中每一个向量都可以由 线性表示，那么， 就没有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为 ， 。 当然可以由 线性表示，且还线性无关，按照性质(6)， ，这与假设矛盾！另一方面，假设 为 中 个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取 中一个向量，记为 ，则 线性相关。按照性质(5)， 可有 线性表示(且表示方法唯一)。 【备注9】设向量组 的秩为 ，则其极大线性无关向量组含有 个向量。反过来，其中任何 个线性无关向量所成的向量组也是 的一个极大线性无关组。这从定义即可得到。 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系 称矩阵 的列向量组的秩为 的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵 的行秩。 定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。 证明： 设 ， 。将其按列分块为 。存在 阶可逆矩阵 ，使得 为行最简形，不妨设为 线性无关，且 中其余列向量都可以由其线性表示，因此， 为 的极大线性无关组，其个数为 ，因此， 线性无关，且 中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此， 的列秩等于 的秩。 将 按行分块， ，则 ，因此，按照前面的结论， 的行秩为 的秩，而 的秩等于 的秩。至此，结论证明完毕！ 【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 7.扩充定理 定理2 设 ，秩为 ， 为其中的 个线性无关的向量， ，则能在其中加入 中的 个向量，使新向量组为 的极大线性无关组。 证明： 如果 ，则 已经是 的一个极大线性无关组，无须再添加向量。 如果 ，则 不是 的一个极大线性无关组，于是， 必有元素不能由其线性表示，设为 ，由性质(5)，向量组 线性无关。 如果 ，则 已经是 的一个极大线性无关组，无须再添加向量。 如果 ，则 不是 的一个极大线性无关组，于是， 必有元素不能由其线性表示，设为 ，由性质(5)，向量组 线性无关。 同样的过程一直进行下去，直到得到 个线性无关的向量为止。 【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。 8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示 求向量组 的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。 (1) 将 合在一起写成一个矩阵 ； (2) 将 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为 ， ， (3) 在上半部分找出 个线性无关的列向量，设为 列，则 为 列向量组的极大线性线性无关组，也是 列向量组的极大线性线性无关组，也就是 的极大线性无关组。 为了在上半部分寻找 个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找 阶的非奇异子矩阵。 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。 显而易见，上面矩阵第1到第 列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。 (4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。 我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为 在 中第1到第 列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在 中，第1到第 列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与 中的一致。 我们的理论依据是性质(8)。 例4.设矩阵 ，求 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。 【解答】 记 ， 因此， 的列向量的一个极大线性无关组为 ， ， 。