第2章 点、直线、平面

null第二章 投影的基础知识第二章 投影的基础知识 本章培养学生具备投影的基础知识，初步了解三视图的概念，熟悉基本几何元素的投影规律。 1、了解投影法的概念和种类；掌握正投影的基本性质。 2、了解三视图的投影规律。 3、掌握点、直线、平面在三面投影体系的投影规律。null难画，尺寸坐标不清第2章 点、直线和平面的投影 第2章 点、直线和平面的投影 2.1 投影法的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面图形的投影 2.1 投影法的基本知识 2.1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法的基本概念 2.1.2 投影法的分类 2.1.1 投影法的基本概念2.1.1 投影法的基本概念投影面投射线投射中心 （光源）投影投影法： 由投射中心发出的投射线通过物体，向选定的投影面进行投影，并在投影面上得到图形的方法。2.1.2 投影法的分类2.1.2 投影法的分类中心投影法平行投影法正投影斜投影投影法正投影的基本特性一正投影的基本特性一真实性 直线或平面与投影面平行时，直线的投影反映实长，平面的投影反映实形 正投影的基本特性二正投影的基本特性二积聚性 直线或平面与投影面垂直时，直线的投影积聚为一点，平面的投影积聚为一条直线 正投影的基本特性三正投影的基本特性三类似性 直线或平面与投影面倾斜时，直线的投影小于实长，平面的投影为小于平面实形的类似形 能力拓展能力拓展当空间形体的投影为一直线时，空间形体可能的情况有几种？ 圆形的物体在太阳光的投影下是 ( ) (A)圆形 (B)椭圆形 (C)线段 (D)以上都可能三视图及其投影规律三视图及其投影规律三面投影体系的建立三面投影体系的建立互相垂直的三投影面正立投影面（简称正面或V面 ）水平投影面（简称水平面或H面 ）侧立投影面（简称侧面或W面 ）null三个投影轴相互垂直，其交点称为原点，用O表示。 OX轴(简称X轴)：是H面和V面的交线，它代表长度方向的尺寸； OY轴(简称Y轴)：是H面和W面的交线，它代表宽度方向的尺寸； OY轴(简称Y轴)：是V面和W面的交线，它代表高度方向的尺寸。三视图的形成三视图的形成三视图的方位关系三视图的方位关系主视图反映物体的左、右和上、下位置关系； 俯视图反映物体的左、右和前、后位置关系； 左视图反映物体的前、后和上、下位置关系； 三视图的尺寸关系三视图的尺寸关系 主视图——长度（X）和高度（Z）方向尺寸。 俯视图——长度（X）和宽度（Y）方向尺寸。 主视图——宽度（Y）和高度（Z）方向尺寸。 物体的三视图之间对应的投影规律：长对正、高平齐、宽相等。 ——主、俯视图长对正 ——主、左视图高平齐 ——俯、左视图宽相等三视图的展开三视图的展开能力拓展能力拓展俯视图为圆的几何体是_______，______ 左视图是三角形的物体有________，_______。三视图绘制练习三视图练习三视图练习2.2 点的投影2.2 点的投影a● 点在一个投影面上的投影不能确定该点的空间位置。2.2.1 点的两面投影2.2.1 点的两面投影1、两投影面体系的建立 正立投影面V （简称正面）水平投影面H （简称水平面）1四个分角： 两投影面把空间分为四个区域234互相垂直的两投影面投影轴（OX轴）： 两投影面之间的交线OYOZnull2、点在两投影面体系中的投影 向下旋转90º不动XOVH3、点的两面投影规律（1）点的两面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。 （2）点的正面投影到OX轴的距离反映A点到H面的距离(点的Z坐标）；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离（点的Y坐标），即aaX＝Aa′ 和aXa′＝Aa。YZYZ2.2.2 点的三面投影2.2.2 点的三面投影1.三投影面体系的建立互相垂直的三投影面正立投影面（简称正面或V面 ）水平投影面（简称水平面或H面 ）侧立投影面（简称侧面或W面 ）投影轴OX轴（简称X轴）：V面与H面的交线OY轴（简称Y轴）：H面与W面的交线OZ轴（简称Z轴）：V面与W面的交线null空间点A的三面投影2．点在三投影面体系中的投影 a'——点A的正面投影 a——点A的水平投影 a"——点A的侧面投影 nullAaaa●●●●axaYaZ保持不动向右旋转90º向下旋转90ºWVHZaaaxXYHYWO●aZaaYHaYW●●ZaaaxXO●aZaaYHaYW●●YHYWnull3.点的三面投影规律 （1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。即： 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴： aa'⊥OX； 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴： a'a"⊥OZ； 由于水平投影和侧面投影不能直接连线，需借助45º斜线或圆弧实现联系，这时a、a "满足：aaYH ⊥OYH、 a" aYW ⊥OYW 。 （2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离。即： a'aX ＝a"aY ＝A点到H面的距离 aaX ＝ a"aZ ＝A点到V面的距离 aaY ＝ a'aZ ＝A点到W面的距离 4.点的三面投影与直角坐标 空间点到投影面的距离就等于点相应的空间坐标值，即： Aa"＝OaX ＝XA，Aa'＝OaY ＝YA，Aa＝OaZ＝ZA。 null例2-1 已知点A的两面投影（a'、a"），求作第三面投影a。 2）自a"作OYW的垂线与OYW相交于aYW；1）过a′作OX轴的垂线，a必然在这条垂线上；3）以O为圆心、OaYW为半径作圆弧，与OYH轴相交于aYH；aYH4）过aYH作OYH的垂线与aaX相交，即得到a点。null例2-2 已知点A的坐标A（15、10、20），求点A的三面投影。1）画投影轴OX、OYH、OYW、OZ，建立三投影面体系；2）沿OX轴正方向量取15，得到aX；3）过aX作OX轴的垂线，并使 aXa＝10， aXa'＝20，分别得到a和a'；4）过a'点作OZ轴的垂线，并使 aZa″＝10，得到a″。 利用45º斜线，求得a″。 或特殊位置的点特殊位置的点投影面上的点 点的一个坐标为零 一个投影和空间点重合，另外两个 投影在投影轴上面。YW（A）特殊位置的点特殊位置的点投影轴上的点 点的两个坐标为零 两个投影和所在的坐标轴重合， 另一个投影在原点 与原点重合的点 点的三个坐标为零 三个投影均和原点重合2.2.4 两点的相对位置2.2.4 两点的相对位置两点的相对位置就是指两点间左右、前后、上下的位置关系。1.两点相对位置的确定 两点间的相对位置可以通过投影图上各组同面投影的坐标差来确定的。判断方法如下：两点间的左、右位置关系： 由X坐标差来确定，坐标值大者在左边两点间的前、后位置关系： 由Y坐标差来确定，坐标值大者在前边两点间的上、下位置关系： 由Z坐标差来确定，坐标值大者在上边A点在B点的左、后、下方 练习练习在点A(20,20,10)的三面投影图中，如图所示，作出点B（30，10，0）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。 null2.重影点 当两点的两个坐标相等时，该两点位于同一投射线上，它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，这两个点就称为该投影面的一对重影点。重影点可见性的判断H面重影点根据Z坐标差确定其可见性， Z坐标大者可见，即“上遮下”； V面重影点根据Y坐标差确定其可见性， Y坐标大者可见，即“前遮后”； W面重影点根据X坐标差确定其可见性， X坐标大者可见，即“左遮右”。 e(f')e' 可见f '不可见，不可见者用（）null例2－3：如图所示为点A的三面投影，已知点B在点A的左方15mm、后方5mm、上方10mm，点C在点A的正后方10mm处，试求作B、C两点的三面投影。 求B点三面投影的作图步骤 1、分别自aX、aYH、aZ沿OX、OYH、OZ轴量取15mm、5mm、10mm，得到bX、bYH、bZ； 2、根据点的投影规律，作出B点的三面投影b、b′、b″。 求C点三面投影的作图步骤 1、从A的水平投影a沿aaX方向量取10mm，得到c； 2、由aXc= cYH ，根据投影关系求出c″； 3、c'与a'重合，其中a'可见，c'不可见 。（c）问 题 1问 题 1机械制图中用平行投影法获得物体的投影，它又分为_____投影和_____投影。 点的X坐标为零时，点在 ； 点的X、Y坐标为零时，点在 ； 点的三个坐标均为零时，点在 ；问题 2问题 2已知A点距H、V、W面的距离分别为10、20、30；B点在A点的下方5，右方10，前方15，因此，可知B点的坐标为： A.(20，35，15) B.(20，35，5) C.(20，5，15) D.(20，5，5)问题3问题3B点相对于A点的空间位置是（ ） A．左、前、下方 B．左、后、下方 C．左、前、上方 D．左、后、上方2.3 直线的投影2.3 直线的投影2.3.1 直线投影的基本性质2.3.2 直线的三面投影图 2.3.3 各种位置直线的投影特性2.3.4 直线上的点2.3.5 两直线的相对位置2.3.1 直线投影的基本性质2.3.1 直线投影的基本性质 真实性直线段平行于投影面时其投影反映实长 积聚性类似性ABab直线段垂直于投 影面时其投影积 聚为一点 直线段倾斜于投影面时其投影仍为直线，但小于实长 2.3.2 直线的三面投影图2.3.2 直线的三面投影图 根据“两点确定一条直线”，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。2.3.3 各种位置直线的投影特性2.3.3 各种位置直线的投影特性正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）投影面平行线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜投影面垂直线 垂直于某一投影面水平线（平行于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线特 殊 位 置 直 线null1．投影面平行线① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。α、β、γ反映直线对H面、 V面、 W面的倾角 水平线投影特性正平线侧平线练习练习过已知点A作线段AB＝20mm,使其平行于W面，而与H面的倾角α＝45° null铅垂线2．投影面垂直线正垂线侧垂线投影特性①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。②另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。练习练习过已知点A作一长度为15㎜的侧垂线AB null3．一般位置直线投影特性三面投影都是直线，且均小于实长。 三根投影轴都倾斜,但都不反映实际夹角。null求一般位置直线段的实长和直线与投影面的夹角 方法1：过b点作ab的垂线bB0，在此垂线上量取bB0＝zB－zA，则aB0即为所求直线AB的实长，∠B0ab即为倾角α。方法2：过a' 作X轴的平行线，与b'b相交于b0（b'b0＝zB－zA），量 取b0A0＝ab，则b'A0也是所求直线段的实长，∠b'A0b0即为倾角α。 2.3.4 直线上的点2.3.4 直线上的点从属性 直线上的点的投影必然在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律 。定比性 点分线段成定比，其投影也成同样的比例。 判断点属于直线的方法 点K在直线AB上，满足 ak：kb＝a'k'：k'b'＝a"k"：k"b"由于d"不在a"b"上，所以点D不属于直线AB。null直线的投影一般情况下仍是直线，点在线上则点的投影在线的同面投影上。问 题 1问 题 1 ，则点在平面上。 A．点的投影在平面的投影上 B．点在平面的投影上 C．点在平面一直线的投影上 D．点在平面一已知直线上null直线上两线段的长度之比等于其投影的长度之比。 练习练习已知直线AB、点K和点S的正面投影a′b′、k′和s′及水平投影ab、k和s，如图所示，试判断K和S与直线AB的关系。 2.3.5 两直线的相对位置2.3.5 两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。 1．两直线平行若空间两直线平行，则它们的各组同面投影必然互相平行 ；反之，如果两直线的各组同面投影互相平行，则空间两直线必平行 。null空间两平行线的投影相互平行，且投影的长度之比等于该平行线段的长度之比 平行两直线判断平行两直线判断空间两平行线均为投影面倾斜线，根据两个投影可判别其是否平行 平行两直线是投影面的平行线，需要根据三面投影来判断其是否平行null2．两直线相交若两直线相交，则两直线的各组同面投影必相交，交点同时属于两直线，为两直线的共有点，且符合点的投影规律。 null3．两直线交叉既不平行，又不相交的两条直线称为交叉两直线。 ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。1(2 )3(4 )●投影特性 ●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点2.4 平面的投影2.4 平面的投影2.4.1 平面的表示法2.4.2 平面的投影特性 2.4.3 各种位置平面的三面投影及特性2.4.4 平面上的点和直线的投影2.4.1 平面的表示法2.4.1 平面的表示法直线 及该 直线 外 一点两 平行 直线两 相交 直线平 面 图 形不在 同一 直线 上的 三个 点2.4.2 平面的投影特性2.4.2 平面的投影特性真实性 积聚性 类似性 平面平行于投影面时其投影反映实形 平面垂直于投影面时其投影积聚为一条直线 平面倾斜于投影面时其投影为原形的类似形 2.4.3 各种位置平面的三面投影及特性 2.4.3 各种位置平面的三面投影及特性 正平面（平行于Ｖ面）侧平面（平行于Ｗ面）正垂面（垂直于Ｖ面）侧垂面（垂直于Ｗ面）铅垂面（垂直于Ｈ面）投影面平行面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面投影面垂直面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面水平面（平行于Ｈ面）一般位置平面与三个投影面都倾斜特 殊 位 置 平 面null1. 投影面平行面 投影特性1、在它所平行的投影面上的投影反映实形2、另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。反映实形积聚成直线且平行于OX积聚成直线且平行于OYnull2. 投影面垂直面 投影特性1、在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线2、另两个投影面上的投影分别是与空间平面图形 相类似的平面图形。积聚成直线原形的类似形原形的类似形null3. 一般位置平面 投影特性三个投影都是原形的类似形。原形的类似形原形的类似形原形的类似形2.4.4 平面上的点和直线的投影2.4.4 平面上的点和直线的投影1、平面上直线的投影 判断直线属于平面的几何条件 1）若一直线经过平面上两个点，则此直线必属于该平面。2）若一直线经过平面上一点，且平行于该平面上的另一条直线，则该直线必属于该平面。 n练习练习 已知△ABC上的直线EF的正面投影e′f′，求其水平投影ef nullabcbcadnm例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解。返回下页上页null例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。nmnm 唯一解！返回下页上页null各种位置平面上所包含的直线类型 一般位置平面 包含一般位置直线和三个投影面的平行线 投影面平行面 包含了该平面所平行的投影面的平行线及另两个投影面的垂直线 投影面垂直面 包含该平面所垂直的投影面的垂直线、平行线和一般位置直线 null2、平面上点的投影 判断一点属于平面的几何条件 如果点在平面的任意一直线上，则此点一定属于该平面。 例 已知平面△ABC上的一点K的正面投影k′，求其水平投影k。 通过作辅助线求解在面内的点例 判断空间一点K是否属于 平面△ABC。 点K不属于平面△ABC null⒉ 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 面上取点的方法：首先面上取线利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解返回下页上页练习练习如图所示，已知△ABC上点E的正面投影e′，求其水平投影e，同时判断点D是否在△ABC平面上。 nullkb例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。解法一解法二返回下页上页【章前案例】【章前案例】在投影图中用字母标出立体图中所示的各表面的三个投影，并说明其空间位置。null本 章 结 束