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第一章 光与物质相互作用的一些基本概念
瞬态相干光学过程,如自感应透明、超辐射、自由感应衰减、光学章动、光子回波和光学孤子等现象。
都涉及到相干光脉冲尤其是超短激光脉冲与物质体系的相互作用。瞬态相干光学就是研究瞬态相干光学作
用过程的瞬时变化规律。在近共振作用下,微扰理论不再适用,这种情况下最简单的一种处理方法是采用
光与物质的相互作用的半经典理论,即物质体系用量子力学描述,光场则采用经典的麦克斯韦方程组描述。
把半经典理论应用于最简单的二能级体系,从薛定谔方程出发,采用不同的绘景,都可以得到二能级体系
的运动方程,这是一组非线性常微分方程。这组方程的建立和简单的求解,有助于我们理解光与二能级体
系相互作用的一些基本概念。这些概念,既是量子光学课程的基础,也有助于理解光与物质相互作用和激
光物理学相关概念。
1.1 半经典理论的一些物理假设
半经典理论的处理方法,主要有薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景,以及密度矩阵的
,其
处理手段上虽有不同,但其结果是一致的。但不同的处理方案,对理解相关的量子力学处理方法与概念有
着不同意义,为了加深理论,用量子力学绘景和密度矩阵的方法处理光与物质相互作用的问题,主要是用
密度矩阵的方法。这一章简单讲述量子力学绘景的处理方法。
光与物质相互作用半经典理论主要基于的物理假设有:
1. 二能级近似
实际的原子、分子或其他物质体系总是有许多能级的,但在体系的许多能级中,如果只有二个成对的
能级的能量差接近作用光场的频率,那么其他能级的贡献可以忽略不计,只考虑有显著贡献的二个能级,
这就是光与物质相互作用的二级能近似模型。用光与二能级原子体系作用作为基本模型,既可以简化问题
又能反映出问题的本质。
2. 近共振激发
光场的能量等于或接近于二能级的能级差,且上、下能级有布居交换。
3. 忽略原子间的直接相互作用
原子间总是有存在各种各样的相互作用的,但是当原子的密度比较低时,原子间直接相互作用,可以
忽略。原子之间的碰撞作用可唯象地归入原子的驰豫或衰减。
要注意的是:体系中各个原子都在同一光场耦合,原子之间的这种间接作用,在一定条件下会导致原
子的集体效应。但这并非原子间的直接作用。
考虑原子间的相互作用,在原子密度较高时,采用近偶极-偶极相互(NDD)作用模型。如果涉及原子间
的量子相关,如量子纠缠,也是要考虑原子间的相互作用的。
4. 电偶极近似
光与原子相互作用时,通常原子的大小远小于光波的波长,这样,在原子的大小范围内,自然可以把
光场看成常数。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射时,电偶极近似是很好的近似。
5. 旋转波近似(RWA)
忽略掉非共振的高频项。
6. 慢变振幅近似
通常光场与极化强度可以分为慢变部分与高频的快变部分,如果慢变部分在一个光学周期内的变换可
以忽略不计,就称为慢变振幅近似或简称为慢变近似。
7. 绝热近似
如果光场的驰豫时间很长,即光场的损耗很小,而原子的变量(如偶极矩等)的驰豫时间短。这样,当
光场的慢变部分变化时,原子可以很快地、即时地跟随光场的变化;反过来说,在原子的驰豫时间内,光
场的慢变振幅可以看成与时间无关的常数。
2
1.2 量子力学的表述方法
量子力学对粒子微观状态的描述有二种基本的方法,即薛定谔波动力学方法和矩阵力学方法。薛定谔
的波动力学方法物理概念比较清楚,微观粒子波粒二象性表现的也比较清楚,是量子力学的主流方法。狄
拉克的矩阵力方法表述比较简单,在处理实际问题中得到广泛的应用。
另外还有一种狄拉克(Dirac)符号表示法。
1.2.1 薛定谔波动力学方法
如果波函数用如坐标表象或动量表象来表示波函数,动力学方程用薛定谔方程表达,是一种通常的表
示达方式。同一量子态 在 F 表象和F 表象中的不同表示关第,它们通过一个矩阵 S 相联系,可以证明:
† † 1S S SS (1.2.1)
即变换矩阵 S 乃是一个幺正矩阵,这种变换也称为幺正(unitary)变换。
1.2.2 矩阵力学表述
设量子态 ,经过算符 Lˆ运算后,变成另一个态
Lˆ (1.2.2)
在以 k 为基矢的F 表象中,上式表示为
ˆ ˆk k k k k k
k k k
b L a a L (1.2.3)
两边左乘 *j (取标积),得:
ˆ( , )j j k k jk k
k k
b L a L a (1.2.4)
式中:内积的表示为:
3 *ˆ ˆ( , ) djk j k j kL L r L (1.2.5)
式(1.2.4)可写在矩阵形式
1 11 12 1
2 21 22 2
b L L a
b L L a
(1.2.6)
矩阵 ( )jkL 称为算符 Lˆ在 F 表象中的表示(用圆括号括号的符号,表示是一个矩阵,不加括号时,则表示该
矩阵的矩阵元)。它的矩阵元 jkL 刻画 F 表象中的基矢 k 在算符 Lˆ作用下如何变化。基矢 k 在 Lˆ运算后(变
成 ˆ kL )在 F 表象中的表示(分量),即矩阵 ( )jkL 的第 k列元素
1
1
k
k
L
L
。因此,矩阵 ( )jkL 一经给定,则任何
3
一个量子态在 Lˆ运算下的变化就随之完全确定。
由此可见,在引入特定表象后,量子力学中的波函数、力学量以及所有公式都可以矩阵的方式来表达。
矩阵的方式有利于理解量子力学的运算方式并方便程序化。
矩阵是由矩阵是量子力学中常用的数学工具之一,下面我们简述一些基本表述与性质,以便应用与理
解有关内容。矩阵是由英国数学家 Cayley(1821~1895)和 Sylvester(1814~1897)大约在 1850 年左右提出来的。
Cayler 在研究坐标变换中中,引进矩阵的概念。矩阵是按矩形排列的一组“数”,可表示如下:
11 12 1
21 22 2
1 2
[ ]
m
m
ij
n n nm
a a a
a a a
a
a a a
A (1.2.7)
A称为n m 矩阵,它有 n行和m列。矩阵中包含的“数”称为矩阵的元素,简称矩阵元。第 i列和第 j列
的矩阵元,以 ija 表示。通常,矩阵以大写的黑体字表示,如 A,或用矩阵元外加方括号表示,如[ ]ija 。
有时把矩阵的行数 n和列数m注在左下角,如[ ]ij n ma 。当矩阵的行列数相等时,称为方阵。
零矩阵[0]或0 是全部矩阵元为零的矩阵,如 2 3
0 0 0
[0]
0 0 0
。
除对角线上各元素外,其余都是零的方阵称为对角阵,例如:
11
22
33
0 0
0 0 [ ]
0 0
ij ij
a
a a
a
A ,
11
22
33
0 0
0 0 [ ]
0 0
ij ij
b
b b
b
B
式中, ij 称为克罗内克符号(Kronecker delta),它的意义是
0 ( )
1 ( )ij
i j
i j
(1.2.8)
两个同阶对角阵的乘积可以对易,即
AB BA (1.2.9)
用其乘积也是对角阵。
对角线上各元素为 1,其余均为零的方阵称为单位矩阵(unit matrix),以 I或[ ]ij 表示,即
[ ] [ ]ij ijI I (1.2.10)
如: 1 0
0 1
I ,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I 等。
矩阵和矩阵相乘:Cayley 定义矩阵乘法规则如下:一个 n行和m列的矩阵可以和m行和 k 列的矩阵
相乘,得到一个 n行和 k 列的矩阵,即
4
11 12 1 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2
1 2 1 2 1 2
m k k
m k k
n n nm m m mk n n nk
n m m k n k
a a a b b b c c c
a a a b b b c c a
a a a b b a c a c
C AB (1.2.11)
式中:
1
( 1, 2, , ; 1, 2, , )
m
ij ip pj
p
c a b i n j k
(1.2.12)
由此定可见,只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才能相乘,否则不能相乘。
把矩阵 [ ]ijaA 的行列互换,称为矩阵的转置,用 TA 表示,即:
T[ ] [ ]ij jia a A A (1.2.13)
若在转置矩阵 TA 中,每个矩阵元素用它的共轭复数来代替,则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵(the
transpose complex conjugate of a matrix),用符号 HA 表示,即
H *[ ] [ ]ij jia a A A (1.2.14)
A的转置共轭矩阵也用有符号 † * *, , A A A 表示。
凡方阵 A和它的转置共轭矩阵 HA 相等者,则称为 A的 Hermite 对称矩阵(Hermitian sysmmetric
maxtrix),简称 Hermite 矩阵,即
H *ij jia aA = A (1.2.15)
当 A之元素 ija 全部为实数,且 ij jia a 时,则称 A为对称矩阵。
方阵 A的对角元素之和称为迹(trace or spur),以TrA或SpA表示,即
1
Tr Sp
n
ii
i
a
A A (1.2.16)
方阵 A的行列式为:
11 12 1
21 22 2
1
| | | |
n
n
ij
n nn
a a a
a a a
A a
a a
(1.2.17)
如果 | | 0A , A称为奇异方阵(singular matrix), | | 0A 时,称为非奇异方阵(non-singular matrix)。
如果方阵 A为非奇异的,则可找到另一个同阶方阵 1A ,使
5
1 1 AA = A A = I (1.2.18)
则 1A 称为 A的逆矩阵(inverse matrix),简称“逆”。
凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的,称为酉阵或幺正矩阵(unitary matrix),以U 表示,即
1 H U U (1.2.19)
H 1 1 U U U U = I (1.2.20)
如果酉阵的元素都是实数,则此酉阵为正交阵(orthogonal matrix)。 n阶酉阵的各行或各列形成一组 n个正
交归一的矢量。反过来,由一组 n个正交归一矢量组成的方阵是酉阵。酉阵之逆也是酉阵。
把矩阵 A中与 ija 同行和同列的各元素划去后,余下的矩阵的行列式 ijA 称为余子式(minor)。
( 1)i jij ijA A
(1.2.21)
是 ija 的代数余子式(cofactor)。由代数余子式组成的矩阵称为“矩阵元的代数余子式的矩阵”,它的转置矩
阵称为原方阵 A的伴随矩阵(classical adjoint of a square matrix),并且以符号 adjA表示之,例如
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
| | | | | |
adj | | | | | |
| | | | | |
a a a A A A
a a a A A A
a a a A A A
A A (1.2.22)
非奇异方阵 A之逆等于它的伴随矩阵被 A的行列式所除,即
1
adj
| |A
AA (1.2.23)
这提供了一种矩阵求逆的方法,这一求逆方法可适用于非对称方阵。
仅有一行的矩阵称为行矩阵,例如:
1 2[ ]i na a a a A (1.2.24)
仅有一列的矩阵称为列矩阵,例如:
1
2T T
1 2 1 2{ } [ ] [ ]j n j n
n
b
b
b b b b b b b b
b
B (1.2.25)
为了书写或印刷的节省起见,有时把列矩阵横转来写,但用大括号表示,或仍用中括号,但在右上角加上
转置符号T。
1.2.3 狄拉克符号
量子力学的理论表述,常采用狄拉克符号。它有两个明显的优点:1) 可以毋需具体表象来讨论问题;
2) 运算简捷。
一个量子力学体系的一切可能状态构成一个 Hilbert 空间。这空间的矢量(一般为复矢)用一个右矢
(ket vertor 或 ket)表示,若要标志某特殊的态,则于其内标上某种记号。如, 表示波函数 描述的
6
状态。对于本征态,常用本征值或相应的量子数标在右矢内。如,用 nE 或 n 表示能量的本征态(本征值
为 nE )。
注意,量子态的以上表示,都只是一个抽象的态矢量,未涉及到具体的表象。
与右矢 相应,左矢 (bra vector 或 bra)表示共轭空间的一个抽象矢量。如: 是 的共轭态矢。
左矢和右矢相乘就成为一个括号。事实上 bra 和 ket 两字是 Dirac 创造出来的,就是把 bracket(括号)拆成两
半。
两个态矢 与 的标积(scalar product)用 表示,通常简记为 (这种简记方式是最常用
的,特殊要注意理解其表达的具体含义),而
* (1.2.26)
若 0 ,则称态矢 与 正交。若态矢 是归一化态矢,则 1 。
设力学量完全集 Fˆ 的本征态记为 k ,以它们作为基矢的表象,称为 F 表象。这个离散表象的基矢的
正交归一性可以表示成
kjk j (1.2.27)
而连续谱表象的基矢的正交“归一”性,可表示成 函数。
在 F 表象中(基矢 k ),任何一个态矢 可以用 k 来展开:
k
k
a k (1.2.28)
利用基矢的正交归一性,易知
ka k (1.2.29)
它表示 在基矢 k 上的“投影”。当所有 ka 都给定,就给定了一个态 ,所以这一组数
{ } { }ka k (注意,这里花括号表示是一组数的意思)就是态 在 F 表象中的表示。可以把它们排成
列矢
1
2
1
2
a
a
(1.2.30)
把式(1.2.29)代入式(1.2.28),得
k k
k k k k (1.2.31)
在上式中,可以把 k k 看成一个投影算符:
kˆP k k (1.2.32)
7
它对任何矢量运行后,就把该矢量变成它在基矢 k 方向上的分矢量。或者说 kˆP 的作用是把任何矢量沿 k
方向的分矢量挑选出来,例如:
kˆ k kP k k k k k a a k (1.2.33)
它就是矢量 在基矢 k 上的分量。在式(1.2.12)中 是任意的,因此,
ˆ
k
k k I (1.2.34)
此式对任何一组完备的基矢{ }k 都是成立的。这关系式对于表象变换极为方便。
用狄拉克符号表示算符也很为方便,并也矩阵力学的表述有很好的对应。我们知道,算符代表对量子
态的一种运算,它把一个态矢变成另一个态矢。例如,态矢 经过算符 Lˆ运算后,变成
Lˆ (1.2.35)
注意与式(1.2.2)表述的比较。在这里还是抽象的运算,未涉及具体表象。在采取具体表象(如 F 表象)之后,
Lˆ可表示如下,用 F 表象基矢 k 左乘(取标积)式(1.2.35),利用式(1.2.34)得:
ˆ ˆ
j
k k L k L j j (1.2.36)
即
k kj j
j
b L a (1.2.37)
式中:内积的表示为:
ˆkjL k L j (1.2.38)
kb 和 ja 分别代表态矢 及 在F 表象中的表示,而 kjL 则是算符 Lˆ在 F 表象中中的矩阵表示。
下面我们再来看看狄拉克符号与矩阵表示的关系。
行矢可用行矩阵表示,列矢可用列矩阵表示。因为在n维空间的矢量有 n个分量 1 2, , na a a ,它们正
好用一个行矩阵[ ]ia 或列矩阵{ }ia 表示。如果矢量的分量 ia 中有复数,则称[ ]ia 为 n维复矢量。
狄拉克把行矢称为左矢以 表示之,把列矢称为右矢,以 表示之。左矢和右矢互为转置共轭,例
如:
1
2
n
x
x
x
X ,
1
2
n
y
y
y
Y (1.2.39)
则
H * * *
1 2[ ]nx x x X X (1.2.40)
在n维复空间矢量 X 与Y 的标积定认为
8
1
2H * * * * * * *
1 2 1 1 2 2
H*
1
[ ]{ } [ ]j i n n n
n
n
i i
i
y
y
x y x x x x y x y x y
y
x y
X Y X Y =
Y X
(1.2.41)
当 X 与Y 的标积 0X Y 时,称矢量 X 与Y 正交。当一组矢量中任何两个都互相正交时,称为正
交矢量组。
当 Y X 时,标积 HX X 的平方根称为矢量 X 的长度或模(norm),以 X 表示,即
H * * *1 1 2 2 n nx x x x x x X X X (1.2.42)
长度等于 1 的矢量称为单位矢量,如有一组矢量 ( 1,2, , )i i n X ,其长度都等于 1,且全部互相正交,
则称为正交归一矢量组。
* * *
1 1 1 1 2 1
* * *
2* * * * *2 1 2 2 2
1 2
* * *
1 2
{ }[ ] [ ] [ ]
n
n
i j n i j n n
n n n n n
y y x y x y x
y y x y x y x
y x x x x y x
y y x y x y x
Y X (1.2.43)
所以 n维右矢与n维左矢的乘积是一个 n阶方阵,而左矢与右矢的乘积(即标积)则是一个数。
对线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x x x a x x
a x a x a x x
a x a x a x x
(1.2.44)
写成矩阵的形式,即
AX X (1.2.45)
上式也可以写为:
( ) 0A I X (1.2.46)
上式右端列矢量等于零,根据 Cramer 法则求解纯属一方程组的原理,,只有当 | | 0 A I 时,即采取
某些特定的数值时, X 才不等于零的解。我们称矩阵
K A I (1.2.47)
为 A的本征矩阵。 | |A I 称为 A的本征行列式,把它展开就得到一个次的n阶多项式
1 21 2( ) ( 1) ( )
n n n n
nP P P P (1.2.48)
( )P 称为本征多项式。我们称
| | 0 A I (1.2.49)
9
为本征方程。它的解 1 2, , , n 称为 A的本征值。把每一本征值 i 代回(1.2.45)式,得:
( 1, 2, , )i i i i n AX X (1.2.50)
可求得一个解矢量 iX ,这样的解矢量称为本征矢量。
Hermite 方阵的本征值是实数。如果 A为 Hermite 方阵,X 是它的本征矢量,是本征值。是实数。
Hermite 方阵的不同本征值的本征矢一定互相正交。如果同一本征值有n个独立本征矢量,那么它
们一定可以线性组合成 n个正交归一的本征矢量。一个n阶的 Hermite 对称方阵 A,一定有 n个互相正交
归一的本征矢量 qX ,把 n个正交归一的本征矢量汇集起来,可以组成一个方阵 X
11 12 1
21 22 2
1
1 2
n
n
q q
n n nn
x x x
x x x
X X X
x x x
X = (1.2.51)
表示本征矢集合的方阵 X 是一个酉阵。
任何 Hermite 方阵总可以通过酉变换变为实元素的对角阵。如果 X 是酉阵,即 H 1X X ,所以
H 1 1 X AX X AX X XA = (1.2.52)
式中
1
2
n
(1.2.53)
为本征值对角阵。式(1.2.52)所示的变换称为酉变换或幺正变换(unitary transformatiion)。通常酉变换使对称
方阵 A变为对角阵的过程称为对角化。Jacobi 建立了先求酉阵 X ,使 A对角化后立刻得到本征值
1 2, , , n 的 Jacobi 法。
在量子力学中,经常要进行矢量变换,亦即把原来一组矢量线性组合为一组新的矢量。比如,把一组
波函数 ( 1,2, , )i i n 用另一组波函数 ( 1,2, , , )j j m m n 的线性组合来表示,即
1
( 1, 2, )
m
i ij j
j
c i n
(1.2.54)
式中, ijc 称为线性组合系数。用上式所表示的变换称为线性变换。写成矩阵的形式为:
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
m
m
n n n nm n
c c c
c c c
c c c
(1.2.55)
或简写为
C (1.2.56)
10
式中,C 称为把矢量变以矢量 的线性变换矩阵(transformation matrix)。
如果m n ,则C 为方阵,且如 | | 0C ,此时称线性变换为非奇异的,则可找到C 的逆矩阵 1C ,
于是
1 1 C C C (1.2.57)
这就是式(1.2.56)的逆变换。
量子力学中也会用到用行矩阵来表示矢量 和的。在这种表示中,式(1.2.54)~式(1.2.57)应写成:
1
( 1, 2, )
m
i j ij
j
c i n
(1.2.58)
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
1 2
n
n
n n
m m mn
c c c
c c c
c c c
(1.2.59)
或简写为
C (1.2.60)
当m n ,且 | | 0C ,则
1 1 C CC (1.2.61)
如果线性变换矩阵 C 为酉阵U ,那么式(1.2.56)所表示的线性变换就称为矢量的酉变换(unitary
transformation of vectors)。前面所讲到的式(1.2.52)所表示变换是方阵 A的酉变换,它和矢量的酉变换有联
系也有区别,有时文献中把两者都简称为酉变换。酉变换和幺正变换是 unitary transformation 的两种译法,
前者是音译,后者是意译,幺正变换即指正交归一。矢量在酉变换下其长度不变。
理解量子力学中的表象、绘景、基矢等概念。并熟悉量子力学的表述方式,是我们应用量子力学解决
实际问题的关键。单纯抽象的理解量子力学的概念常显的困难,通常熟悉量子力学表述方式,再反回去理
解量子力学的相关概念有帮助的。
1.3 量子力学的基本概念
这一节,我们简述一下有关量子力学的一些概念和知识。
1.3.1 波函数
当量子力学用薛定谔波动力学方式来描述时,其状态是用波函数来表示的。在坐标表象中波函数表示
为: ( , )r t ,自变量是空间坐标 r 和时间坐标 t。波函数也可以用动量为变量,就是动量表象。表示力学
量的算符也与所用的的变量有关,即与表象有关。
当量子力学用狄拉克矩阵力学方式来描述时,量子状态表示与表象无关。
由于从实验中显示出微观粒子具有波动特性,作为量子力学中第一个基本假设是状态,它是用波函数
( , )r t 来描述。波函数的物理意义,通常采用统计解释。即认为,波函数在空间某处的强度 2 是和该处
发现粒子的几率成正比,即波函数描述的是几率波,几率在数学上又称为概率。根据统计的解释,其振幅
11
的平方即波的强度,决定了粒子在某处出现的几率。由于 可能是复数,而几率必须是正实数,因此,科
强度的表示不是用 2 ,而用它的绝对值平方 2 ,即
2 * ( , ) (1.3.1)
由于粒子任何时刻总在空间区域内的某处出现,所以在这区域中找到粒子的几率为 1,即
3( , ) d 1r t r (1.3.2)
称为波函数的归一化条件。凡是描述微观粒子运动状态的波函数,都应满足归一化条件,符号表示积分
扩展到粒子所允许的所有空间。从物理上还要求波函数满足单值、连续和有限的条件。
量子力学中波函数的表述:
坐标表象: ( , )r t
矩阵表述:
1( )
( )n
a t
a t
, † 1( ) ( )na t a t (1.3.3)
注意: * 与 † 是不同的, * 只是取复共轭,而 † 取复共轭并转置。
狄拉克符号: ,
1.3.2 态叠加原理
如果波函数 1 2, , , ,j 是描述微观粒子的几个可能的状态,由这些波函数的线性叠加所得的波
函数为:
1 1 2 2
1
n
j j j j
j
c c c c
(1.3.4)
j j
j
c (1.3.5)
这也是粒子的一个可能的状态。其中 1 2, , , ,jc c c 为常数,通常为复数。这就是量子力学的状态叠加原
理。它是量子力学的一个基本原理。
1.3.3 算符
所谓算符就是一个运算的符号,如 d
dx
是一个微分算符, 是一个开方算符等等。即规定一个具体
的对应关系,用 Lˆ表示。使右矢空间中的某些右矢与其另一些右矢相对应,如使 与 相对应,记为:
Lˆ (1.3.6)
这样的对应关系 Lˆ称为算符。我们说算符 Lˆ作用于右矢 ,得到右矢 。
12
由于每一个右矢在左矢空间都有一个左矢与之对应,所以算符 Lˆ也就规定了左矢空间中一定范围内的
左矢 与左矢 的对应关系。这就是说,在右矢空间中每一个算符 Lˆ,都对应着左空间中的某一个算
符,这个左空间中与 Lˆ对应的算符,我们记为 †ˆL ,称为算符 Lˆ的伴算符。
†ˆ ˆ ˆ ˆL L L L (1.3.7)
注意我们对左矢采用相反的写法,即算符向左作用于左矢。伴算符的伴算符就是原来的算符本身:
† †ˆ ˆ( )L L (1.3.8)
在算符的定义中,被算符 Lˆ作用的右矢全体,称为 Lˆ的定义域;得出的右矢全体称为值域。二者可以
不同,也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。 †ˆL 的定义域和值域,是 Lˆ的定义
域和值域的左矢空间对应区域。
设在一个右矢空间中,算符 Lˆ把定义域中的一个右矢 变为值域中的一个右矢 :
Lˆ (1.3.9)
若算符 Lˆ所建立的这个对应关系是一一对应的,即对应值域中的每一个 ,在定义域中有且只有一个
,则由 到 的逆对应关系存在,这种关系称为 Lˆ的逆算符,用 1Lˆ 表示:
1Lˆ (1.3.10)
于是,逆算符 1Lˆ 中显然满足
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL L LL I (1.3.11)
逆算符 1Lˆ 的定义域和值域分别是 Lˆ的值域和定义域。逆算符相当于算符的除法,有时可以写成
1
ˆˆ
ˆ
IL
L
(1.3.12)
有两个特殊的算符,对一切 都成立,即零算符:
0ˆ 0 (1.3.13)
和单位算符:
Iˆ (1.3.14)
所谓线性算符,就是对任意两个函数 1 和 2 ,算符 Lˆ满足以下关系:
1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( )L c c c L c L (1.3.15)
13
1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( )L c c c L c L (1.3.16)
1 1ˆ ˆ( ) ( )L c L c (1.3.17)
式中, 1 2,c c 为任意常数,这时 Lˆ就称为线性算符。显然微分算符和开方算符都不是线性算符。
线性算符的要求来源于波函数必须满足状态叠加原理。
所谓算符的厄米性,即要求对任一函数 ,算符 Lˆ满足以下关系:
* 3 * 3ˆ ˆ ˆd ( ) dL r L r L (1.3.18)
满足以上关系的算符 Lˆ称为厄米算符,或称自厄算符。更一般地,对任意两个函数 1 和 2 ,若算符 Lˆ
满足以下关系:
* 3 * 31 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆd ( ) dF r F r L (1.3.19)
则称 Lˆ为厄米算符。厄米算符是其伴算符与其本身相等的算符,又称为自伴算符。在单一空间中称为自轭
算符。在数学上,对于某一类算符(无界算符),厄米算符和自伴算符这两个概念略有差别,我们不涉及这
一问题。若算符 Lˆ满足
†ˆ ˆL L (1.3.20)
算符 Lˆ为厄米算符的充分必要条件是对其定义域中所有的矢量 满足
Lˆ 实数 (1.3.21)
等距算符是满足
† ˆˆ ˆ 1U U (1.3.22)
的算符。
幺正算符是满足以下条件的算符
† † ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1U U UU 即 † 1ˆ ˆU U (1.3.23)
幺正算符一定是等距算符。
1.3.4 本征函数和本征值
若算符 Lˆ作用在波函数 上得到一个常数与 的乘积,即:
Lˆ (1.3.24)
Lˆ (1.3.25)
则 称为算符 Lˆ的本征函数,称为本征值。
14
1.3.5 力学量的平均值
在状态 ( , )r t ( )测量力学量 L的平均值为
3 * ˆd ( , ) ( , )L L r r t L r t (1.2.26)
若波函数 ( , )r t 是算符 Lˆ的本征态,满足 ˆ ( , ) ( , )L r t r t ,称 ( , )r t 称为算符 Lˆ的本征函
数,称为本征值,这时测量力学量有确定数值,否则力学量可以取各种不同的值。
在态 k ka 下,力学量 L的平均值表示为
* *
ˆ ˆ ˆ( , )
ˆ( , )
kj
j k j k k kj j
kj kj
L L L k k L j j
a L a a L a
(1.3.27)
写成矩阵的形式为: