空间几何

1 空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作 用。 三、命题走向 本章主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考 对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和 距离。 预测 10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利 用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处 空 间 向 量 与 立 体 几 何 空 间 向 量 及 其 运 算 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 空间向量的加减运算 空间向量的数乘运算 空间向量的数量积运算 空间向量的坐标运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离 2 理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基 本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的 数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共 线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资 P128 页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资 P128 页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同 向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平 移。 2．向量运算和运算率 baABOAOB   baOBOABA   )( RaOP    加法交换率： .abba   加法结合率： ).()( cbacba   数乘分配率： .)( baba    说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法 的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。 a  平行于b  记作a  ∥b  。 注意：当我们说a  、b  共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a  、b  平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a  （a  ≠0 ）、b  ，a  ∥b  的充要条件是存在实数使b  ＝ a  （1）对于确定的和a  ，b  ＝ a  表示空间与a  平行或共线，长度为 | a  |，当 >0 时与a  同向， 当 <0 时与a  反向的所有向量。 （3）若直线 l∥a  ， lA ，P为 l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。 B C b  O a  A 3 推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a  的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式 OAOP  at   ① 其中向量a  叫做直线 l的方向向量。 在 l上取 aAB   ，则①式可化为 .)1( OBtOAtOP  ② 当 2 1 t 时，点 P是线段 AB 的中点，则 ).( 2 1 OBOAOP  ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段 AB 的中点公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵ 推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 4．向量与平面平行：如果表示向量a  的有向线段所在直线与平面平行或a  在平面内，我们就 说向量a  平行于平面，记作a  ∥。注意：向量a  ∥与直线 a∥的联系与区别。 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果两个向量 a  、b  不共线，则向量 p  与向量 a  、b  共面的充要条件是存在实数 对 x、y，使 .byaxp   ① 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。 推论：空间一点 P位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y，使 ,MByMAxMP  ④ 或对空间任一定点 O，有 .MByMAxOMOP  ⑤ 在平面 MAB 内，点 P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面 MAB 的向量表示式。 又∵ .,OMOAMA  .,OMOBMB  代入⑤，整理得 .)1( OByOAxOMyxOP  ⑥ 由于对于空间任意一点 P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点 P 就在平面 MAB 内；对于平面 MAB 内的任意一点 P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由 不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点 M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是 M、A、B、 P四点共面的充要条件。 5．空间向量基本定理：如果三个向量a  、b  、c  不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的 有序实数组 x, y, z, 使 .czbyaxp   说明：⑴由上述定理知，如果三个向量 a  、b  、 c  不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是  Rzyxczbyaxpp  、、,|  ，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c } 叫做空间的一个基底，a  ，b  ，c  都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一 个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的 概念；⑷由于0  可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含 着它们都不是0  。 4 推论：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组 zyx 、、 ， 使 .OCzOByOAxOP  6．数量积 （1）夹角：已知两个非零向量a  、b  ，在空间任取一点 O，作 aOA   ， bOB   ，则角∠AOB 叫做向量a  与b  的夹角，记作  ba  ， 说明：⑴规定 0≤  ba  ， ≤ ,因而  ba  ， =  ab  ， ； ⑵如果  ba  ， = 2  ，则称a  与b  互相垂直，记作a  ⊥b  ； ⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点 重 合，注意 图 （1）、（2）中的两个向量的夹角不同， 图（1）中∠AOB=  OBOA, ， 图（2）中∠AOB=   OBAO, , 从而有  OBOA, =  OBOA, =   OBOA, . （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 （3）向量的数量积：  baba  ,cos 叫做向量a  、b  的数量积，记作 ba   。 即 ba   =  baba  ,cos ， 向量 AB 方向上的正射影在e  : BAeaABea   ,cos|| （4）性质与运算率 ⑴  eaea  ,cos 。 ⑴ ( ) ( )a b a b       ⑵ a  ⊥b   ba   =0 ⑵ ba   =b a   ⑶ 2| | .a a a     ⑶ ( )a b c a b a c            （三）．典例解析 题型 1：空间向量的概念及性质 例 1、有以下命题：①如果向量 ,a b   与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 ,a b   的关系是不共 线；② , , ,O A B C 为空间四点，且向量 , ,OA OB OC    不构成空间的一个基底，那么点 , , ,O A B C 一定共面； ③已知向量 , ,a b c    是空间的一个基底，则向量 , ,a b a b c       ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是 A B O （2） A B O （1） A B A B e  l 5 （ ）。 ( )A ①② ( )B ①③ ( )C ②③ ( )D ①②③ 解析：对于①“如果向量 ,a b   与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 ,a b   的关系一定共线”； 所以①错误。②③正确。 题型 2：空间向量的基本运算 例 2、如图：在平行六面体 1111 DCBAABCD  中，M 为 11CA 与 11DB 的交点。若 AB a   ，AD b   ， 1AA c   ，则 下列向量中与 BM 相等的向量是（ ） ( )A 1 1 2 2 a b c     ( )B 1 1 2 2 a b c    ( )C 1 1 2 2 a b c     ( )D cba  2 1 2 1 解析：显然  111 )( 2 1 AAABADMBBBBM 1 1 2 2 a b c     ；答案为 A。 点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几 何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空 间想象能力。 例 3、已知： ,28)1(,0423 pynmxbpnma   且 pnm  ,, 不共面.若a  ∥b  ,求 yx, 的值. 解： a  ∥b  ,,且 ,,0 aba   即 .42328)1( pnmpynmx    又 pnm   ,, 不共面, .8,13, 4 2 2 8 3 1        yx yx 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。 例 4、底面为正三角形的斜棱柱 ABC－A1B1C1中，D为 AC 的中点，求证：AB1∥平面 C1BD. 证明：记 ,,, 1 cAAbACaAB  则 cbCCDCDCbaADABDBcaAB  2 1 , 2 1 , 111 ∴ 11 ABcaDCDB  ,∴ 11 ,, DCDBAB 共面. ∵B1平面 C1BD, AB1//平面 C1BD. （四）强化巩固导练 1、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1中，点 F是侧面 CDD1C1的中心，若 1AAyABxADAF  ，求 x－y的值. 解：易求得 0, 2 1  yxyx 2、 在平行六面体 1111 DCBAABCD 中，M为 AC 与 BD 的交点，若 11BA a， 11DA b， AA1 c，则下列向量 中与 MB1 相等的向量是 ( A )。 M C1 C B1 D1 A1 A B D 6 A． 2 1 a＋ 2 1 b＋c B． 2 1 a＋ 2 1 b＋c C． 2 1 a 2 1 b＋c D． 2 1 a 2 1 b＋c 3、（2009 四川卷理）如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各条棱长都相等，M 是侧 棱 1CC 的中点， 则异面直线 1AB BM和 所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为 2，选择基 向量 },,{ 1 BCBBBA ，则 111 2 1 , BBBCBMBABBAB  0 522 0220 522 ) 2 1 ()( ,cos 11 1        BBBCBABB BMAB ，故填写 o90 。 （五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般 是利用 a⊥b a·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运 用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的 模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹 角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时 也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式 cosθ＝ ba ba  ． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 l1、l2，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l1、l2上的任意一点， n 为与 AB 共线的向量，则｜ AB ｜＝ || || n nCD  .5．设平面 α的一个法向量 为 n ，点 P是平面α外一点，且 Po∈α，则点 P到平面α的距离是 d＝ || || n nPPo  . （六）、作业布置：课本 P32 页 A 组中 2、3、4 B 组中 3 课外练习：课本 P39 页 A组中 8 ；B组中 3； 复资 P130 页变式训练中 1、2、3、5、6 五、#教学#： A B C D A C B 7 y k i A(x,y,z) O j x z 第二课时 空间向量的坐标运算 一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计 算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点 间的距离公式． 三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题） 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底， 用{ , , }i j k    表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{ , , }i j k    ，以 点O为原点，分别以 , ,i j k    的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz ，点O 叫原点，向量 , ,i j k    都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 面，分别称为 xOy 平面， yOz 平面， zOx平面； 2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数 组 ( , , )x y z ，使 kzjyixOA  ，有序实数组 ( , , )x y z 叫作向量 A在空间直角坐标系O xyz 中的 坐标，记作 ( , , )A x y z ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标． 3、设 a＝ ),,( 321 aaa ，b＝ ),,( 321 bbb (1) a±b＝ 。 (2)  a＝ ．(3) a·b＝ ． (4) a∥b ；a b ． （5）模长公式：若 1 2 3( , , )a a a a  ， 则 2 2 2 1 2 3| |a a a a a a        ． （6）夹角公式： 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos | | | | a b a b a ba b a b a b a a a b b b                 ． （7）两点间的距离公式：若 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )Bx y z ，则 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z         (8) 设 ),,(),,,( 222111 zyxBzyxA  则 AB ＝ ， AB ． AB 的中点 M的坐标为 ． 4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型 1：空间向量的坐标 8 例 1、（1）已知两个非零向量a =（a1，a2，a3），b =（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ） A. a ：|a |=b ：|b | B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数 k，使a =kb （2）已知向量a =（2，4，x），b =（2，y，2），若|a |=6， a ⊥b ，则 x+y 的值是（ ） A. －3 或 1 B.3 或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5) B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1) C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1) D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知； （2）A 点拨：由题知       0244 36164 2 xy x       3 ,4 y x 或      .1 ,4 y x ； （3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。 点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。 例 2、已知空间三点 A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a = AB ，b = AC ，（1）求a 和b 的夹角 ；（2）若向量 ka +b 与 ka －2b 互相垂直，求 k的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a = AB ，b = AC ， ∴a =(1，1，0)，b =（－1，0，2）. (1)cos = |||| ba ba  = 52 001   － 10 10 ，∴a 和b 的夹角为－ 10 10 。 (2)∵ka +b =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka －2b =（k+2，k，－4），且(ka +b )⊥（ka －2b ）， ∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k 2 －8=2k 2 +k－10=0。 则 k=－ 2 5 或 k=2。 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a +b ）(ka －2b )=k2 a 2－ka ·b －2b 2=2k2+k－ 10=0，解得 k=－ 2 5 ，或 k=2。 题型 2：数量积 例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____. （2）设空间两个不同的单位向量a =(x1，y1，0)，b =(x2，y2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角都等于 4  。 (1)求 x1+y1和 x1y1的值；(2)求的大小(其中 0＜＜π ) 。 解析：（1）答案：13；解析：∵（2a －b ）·a =2a 2－b ·a =2|a |2－|a |·|b |·cos120°=2·4 9 －2·5（－ 2 1 ）=13。（2）解：(1)∵|a |=|b |=1，∴x 2 1 +y 2 1 =1，∴x 2 2 =y 2 2 =1. 又∵a 与 c的夹角为 4  ，∴a ·c =| a || c |cos 4  = 2 2 222 111  = 2 6 . 又∵a · c =x1+y1，∴x1+y1= 2 6 。 另外 x 2 1 +y 2 1 =(x1+y1) 2 -2x1y1=1，∴2x1y1=( 2 6 ) 2 －1= 2 1 .∴x1y1= 4 1 。 (2)cos= |||| ba ba  =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= 2 6 ，x1y1= 4 1 . ∴x1，y1是方程 x 2 － 2 6 x+ 4 1 =0 的解. ∴            , 4 26 , 4 26 1 1 y x 或            . 4 26 , 4 26 1 1 y x 同理可得            , 4 26 , 4 26 2 2 y x 或            . 4 26 , 4 26 2 2 y x ∵a ≠b ，∴            , 4 26 , 4 26 12 21 yx yx 或            . 4 26 , 4 26 12 21 yx yx ∴cos= 4 26  · 4 26  + 4 26  · 4 26  = 4 1 + 4 1 = 2 1 . ∵0≤< a ，b >≤π，∴< a ，b >= 3  。评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型 3：空间向量的应用 例 4、（1）已知 a、b、c为正数，且 a+b+c=1，求证： 113 a + 113 b + 113 c ≤4 3 。 （2）已知 F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若 F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点 M1（1，-2，1）移到点 M2(3，1，2)，求物体合力做的功。 解析：（1）设m =( 113 a ， 113 b ， 113 c )，n =(1，1，1)， 则|m |=4，|n |= 3 . ∵m ·n ≤|m |·|n |， ∴m ·n = 113 a + 113 b + 113 c ≤|m |·|n |=4 3 . 当 113 1 a = 113 1 b = 113 1 c 时，即 a=b=c= 3 1 时，取“=”号。 （2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)· 21MM =14。 点评：若m =(x，y，z)，n =(a，b，c)，则由m ·n ≤|m |·|n |，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2). 此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a |·|b |≥a ·b 的应用，解题时要先根据题设条件构造向 量 a ，b ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。 10 （三）、强化巩固训练 1、(07 天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a ·b ）c－（c·a ）b =0 ②|a |－|b |<| a －b | ③（b ·c）a －（ c·a ）b 不与 c垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9| a |2－4|b |2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D ②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”， 故②真； ③因为［（b ·c）a －（c·a ）b ］·c =（b ·c）a ·c－（c·a ）b ·c =0，所以垂直.故③假； ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9·a · a －4b ·b =9|a |2－4|b |2成立.故④真. 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。 2、已知O为原点，向量    3,0,1 , 1,1,2 , ,OA OB OC OA BC         ∥OA  ，求 AC  ． 解：设    , , , 1, 1, 2OC x y z BC x y z       ， ∵ ,OC OA BC    ∥OA  ，∴ 0OC OA    ，  BC OA R     ， ∴     3 0, 1, 1, 2 3,0,1 x z x y z         ，即 3 0, 1 3 , 1 0, 2 . x z x y z              解此方程组，得 7 21 1 , 1, , 10 10 10 x y z      。 （四）、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来 解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示， 本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行 向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到 解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． （五）、作业布置：课本 P56 页 A 组中 6、11、12、19 课外练习：限时训练 53中 2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思： 11 第三课时 空间向量及其运算强化训练 一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表 示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌 握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、基础自测（分组训练、共同交流） 1.有 4个命题： ①若 p=xa+yb，则 p 与 a、b 共面；②若 p与 a、b共面，则 p=xa+yb； ③若 MP =x MA +y MB ，则 P、M、A、B共面；④若 P、M、A、B共面，则 MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是（ B ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则 a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量 AB ，CD 满足| AB |＞|CD |，且 AB 与CD 同向，则 AB ＞CD D.若两个非零向量 AB 与CD 满足 AB +CD =0，则 AB ∥CD 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b，则（ C ）。 A.x=1,y=1 B.x= 2 1 ，y=- 2 1 C.x= 6 1 ，y=- 2 3 D.x=- 6 1 ，y= 2 3 4.已知 A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点 Q 在直线 OP 上运动，当QA·QB 取最小值时， 点 Q的坐标是 . 答案       3 8 , 3 4 , 3 4 5.在四面体 O-ABC 中，OA=a,OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E为 AD 的中点，则OE = (用 a,b,c 表示). 答案 2 1 a+ 4 1 b+ 4 1 c （二）、典例探析 例 1、如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设 1AA =a， AB =b， AD =c，M，N，P分别是 AA1，BC，C1D1的中点， 试用 a，b，c 表示以下各向量： （1） AP ；（2） NA1 ；（3） MP + 1NC . 12 解 （1）∵P是 C1D1的中点，∴ AP = 1AA + 11DA + PD1 =a+ AD + 2 1 11CD =a+c+ 2 1 AB =a+c+ 2 1 b. （2）∵N是 BC 的中点，∴ NA1 = AA1 + AB + BN =-a+b+ 2 1 BC =-a+b+ 2 1 AD =-a+b+ 2 1 c. （3）∵M是 AA1的中点，∴ MP = MA + AP = 2 1 AA1 + AP =- 2 1 a+(a+c+ 2 1 b)= 2 1 a+ 2 1 b+c， 又 1NC = NC + 1CC = 2 1 BC + 1AA = 2 1 AD + 1AA = 2 1 c+a，∴ MP + 1NC =( 2 1 a+ 2 1 b+c)+(a+ 2 1 c)= 2 3 a+ 2 1 b+ 2 3 c. 例 2、如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. （1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求 MN的长； （3）求异面直线 AN与 CM 夹角的余弦值. （1）证明 设 AB =p, AC =q， AD =r. 由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°. MN = AN - AM = 2 1 （ AC + AD ）- 2 1 AB = 2 1 （q+r-p）， ∴ MN · AB = 2 1 （q+r-p）·p= 2 1 （q·p+r·p-p 2 ）= 2 1 （a 2 ·cos60°+a 2 ·cos60°-a 2 ）=0. ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD. （2）解 由（1）可知MN = 2 1 （q+r-p）∴| MN | 2 = MN 2 = 4 1 （q+r-p） 2 = 4 1 ［q 2 +r 2 +p 2 +2（q·r-p·q-r·p）］= 4 1 [a 2 +a 2 +a 2 +2（ 2 2a - 2 2a - 2 2a ）] = 4 1 ×2a 2 = 2 2a . ∴| MN |= 2 2 a,∴MN 的长为 2 2 a. (3)解 设向量 AN 与 MC 的夹角为 . ∵ AN = 2 1 ( AC + AD )= 2 1 (q+r), MC = AC - AM =q- 2 1 p, ∴ AN · MC = 2 1 （q+r）·（q- 2 1 p）= 2 1 （q 2 - 2 1 q·p+r·q- 2 1 r·p） = 2 1 (a 2 - 2 1 a 2 ·cos60°+a 2 ·cos60°- 2 1 a 2 ·cos60°)= 2 1 （a 2 - 4 2a + 2 2a - 4 2a ）= 2 2a . 又∵| AN |=| MC |= a 2 3 ， ∴ AN · MC =| AN |·| MC |·cos = a 2 3 · a 2 3 ·cos = 2 2a . ∴cos = 3 2 ， ∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为 3 2 ，从而异面直线 AN与 CM 夹角的余弦值为 3 2 . 例 3、 （1）求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 a·x=-18 的向量 x 的坐标； （2）已知 A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点 P的坐标使得 AP = 2 1 （ AB - AC ）； （3）已知 a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与 b 夹角的余弦值； 13 ③确定 ，  的值使得 a+  b 与 z 轴垂直，且（  a+  b）·（a+b）=53. 解 （1）∵x 与 a 共线，故可设 x=ka， 由 a·x=-18 得 a·ka=k|a| 2 =k（ 414  ） 2 =9k，∴9k=-18，故 k=-2. ∴x=-2a=（-4，2，-4）. （2）设 P（x，y，z），则 AP =（x-2，y+1，z-2）， AB =（2，6，-3）， AC =（-4，3，1），∵ AP = 2 1 （ AB - AC ）. ∴（x-2，y+1，z-2）= 2 1 ［（2，6，-3）-（-4，3，1）］= 2 1 （6，3，-4）=(3， 2 3 ，-2) ∴           22 2 3 1 32 z y x ，解得           0 2 1 5 z y x ∴P点坐标为(5， 2 1 ，0). （3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|= 222 )4(53  =5 2 , |b|= 222 812  = 69 , ∴cos〈a,b〉= b b a a  = 6925 21   =- 230 1387 .∴a 与 b 夹角的余弦值为- 230 1387 . ③取 z轴上的单位向量 n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意           53 0 bb b aa aa   即             534,6,584,5,23 01,0,084,5,23   故      531829 084   解得        2 1 1   . （三）、强化训练：如图所示，正四面体 V—ABC 的高 VD的中点为 O，VC 的中点为 M. （1）求证：AO、BO、CO 两两垂直； （2）求〈 DM , AO 〉. (1)证明 设VA =a,VB =b, VC =c,正四面体的棱长为 1, 则VD = 3 1 (a+b+c), AO = 6 1 (b+c-5a), BO = 6 1 (a+c-5b), CO = 6 1 (a+b-5c) ∴ AO ·BO = 36 1 （b+c-5a）·（a+c-5b）= 36 1 （18a·b-9|a| 2 ） = 36 1 （18×1×1·cos60°-9）=0.∴ AO ⊥ BO，∴AO⊥BO，同理 AO⊥CO，BO⊥CO， ∴AO、BO、CO 两两垂直. （2）解 DM = DV +VM =- 3 1 （a+b+c）+ 2 1 c= 6 1 (-2a-2b+c).∴| DM |=   2 22 6 1        cba = 2 1 ， 14 | AO |=   2 5 6 1        acb = 2 2 ， DM · AO = 6 1 （-2a-2b+c）· 6 1 （b+c-5a）= 4 1 ， ∴cos〈 DM , AO 〉= 2 2 2 1 4 1  = 2 2 ，∵〈 DM , AO 〉∈(0, ),∴〈 DM , AO 〉=45°. （四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间 的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面 向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方 法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向 量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。 （五）、作业布置：复资 P129 页中 4、5、8、9 补充：1、已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、F分别是 BC、AD 的中点，则 AE ·AF 的值为（ C ）A.a 2 B. 2 2 1 a C. 2 4 1 a D. 2 4 3 a 2、已知 A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段 AB上一点，且 AB AC = 3 1 ，则 C点的坐标为( C ) A. ) 2 5 2 1 2 7 ( ，， B. )23 3 8 ( ，， C. ) 3 7 1 3 10 ( ，， D. ) 2 3 2 7 2 5 ( ，， 3、如图所示，平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长度都为 1，且两 两夹角为 60°. (1)求 AC1的长；（2）求 BD1与 AC 夹角的余弦值. 解 记 AB =a， AD =b， 1AA =c， 则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a·b=b·c=c·a= 2 1 . （1）| 1AC | 2 =（a+b+c） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2（a·b+b·c+c·a）=1+1+1+2×( 2 1 + 2 1 + 2 1 )=6, ∴| 1AC |= 6 ,即 AC1的长为 6 . (2) 1BD =b+c-a, AC =a+b,∴| 1BD |= 2 ,| AC |= 3 , 1BD · AC =（b+c-a）·（a+b）=b 2 -a 2 +a·c+b·c=1.∴cos〈 1BD , AC 〉= ACBD ACBD 1 1  = 6 6 . ∴AC 与 BD1夹角的余弦值为 6 6 . 五、教学反思： 15 D B A C  立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离 一．考纲要求： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作 用。 二．命题走向： 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本节的考查主要有以下情况：（1）空间的 夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测 2010 年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间 关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何 的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。 第一课时 空间夹角和距离 一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、 线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资 132 页，教师讲解，增强目标与参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资 P132 页填空题，教师准对问题讲评） 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是 ] 2 ,0(  。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移 动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在 特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。 （2）直线与平面所成的角的范围是 ] 2 ,0[  。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出 所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直 线所成的一 切角中的最小角，即若 θ 为线面角，α 为斜线与平面内任 何一条直线 所成的角，则有   ； （3）确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平 面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的 16 平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的 平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面 三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指 ],0(  ，解题时要注意图形的位置和题目的要求。 作二面角的平面角常有三种方法 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成 的角，就是二面角的平面角； ②