高数经一考点

高数经一考点(重修班) 目录 2第一部分 2011-2012 考 2选择题 2填空题 2计算题 3应用题 3证明题 4第二部分 拟定考点 4函数 4极限与连续[见总习题2:p.81] 5导数与微分[见总习题3:p.136] 5导数应用[见总习题4:p.176] 6不定积分[见总习题5:p.213] 6定积分[见总习题6:p.275] 8第三部分 最终考点 (B) 80. 综合题目 81. 函数 82. 极限 83. 导数 94. 积分 第一部分 2011-2012 考题分析 选择题 1. 奇偶性 2. 分段函数在某点处的极限 3. 间断点处的性态 4. 等价无穷小量 (的性态) 5. 复合函数求导: 注意记号 和 的区别 6. 导数与切线斜率的关系 7. 满足 Rolle 定理的函数 8. 积分与导数的相互运算 填空题 1. 函数的定义域 2. 求极限: 等价无穷小量, 有界函数乘以无穷小量, e 3. 求参数, 使得分段函数连续 4. 给定某点的导数值, 求相关的极限 5. 积分符号与导数的相互运算 6. 求定积分: 第一类换元积分法, 基本积分 计算题 [一] 求极限 1. 等价无穷小量 2. Taylor , 或 L’H 法则 [二] 求导数 1. 初等函数求导, 包含链式法则 2. 幂指函数求导 (可考虑用隐函数的求导法则) 3. 参数方程求导 [三] 不定积分与定积分 1. 构造一个乘子, 才能继续积分, 是否太难? 如 2. 根号下的部分设为 3. 分部积分 应用题 1. 单调区间, 极值 (凹凸区间和拐点不作要求) 2. 求平面图形的面积和旋转体的体积 证明题 零点存在定理 第二部分 拟定考点 注: 参考题目大多数在各章总习题中, A表示A卷. 函数 1. [填] 观察函数的定义域: 首先需要记忆基本初等函数的定义域 2. [选] 奇偶性的判断 (1) 基本函数的奇偶性 (通过图象记忆) (2) 奇偶函数的四则运算后的奇偶性 (3) 奇偶函数的复合函数的奇偶性 (4) 注意定义域或给定区间是否关于 对称 极限与连续[见总习题2:p.81] 1. [选][A.2(2)] 分段函数在某点处的极限.判断:左右极限相等,但不一定与函数值相等. 2. [填,计] 分段函数在某点处的连续性 (1) 判断方法: 左右极限和该点处的函数值相等 (2) [A.1(2)] 求参数, 使连续 3. [选][A.1(4),2(3),7(5)] 间断点处的性态: 左右极限是否存在, 是否相等 (1) 第一类间断点, 第二类间断点的区别方式: 左右极限是否都存在 (2) 可去, 跳跃, 无穷, 震荡间断点分别属于哪一类, 如何区分 4. 常用等价无穷小量 ( 时) (1) (2) 注: 此式可由二倍角公式得到: 5. [选][A.2(1)] 等价 (或同阶, 低阶, 高阶) 无穷小量的判断: 找出选项中哪个函数是 (或不是) 给定函数的等价 (或同阶, 低阶, 高阶) 无穷小量. 判断方法: (1) 两个函数的商求极限 (2) 通过常用等价无穷小量化得 6. [填,计] 求极限的技巧 (1) [A.3(3)] 利用等价无穷小量. 注意只能在乘除的地位才能替换 (2) [去年考题] 有界函数乘以无穷小量为无穷小量, 极限为 0 (3) [A.3(4-6)] 利用两个重要极限: , , 但不能乱用, 需注意自变量趋近于什么 (4) L’H 法则 (见后面的导数部分) 7. [证][A.8] 零点存在定理. 思路: (1) 根据问题构造函数 (2) 判断 在端点处的符号之积 的符号 (3) 若为负, 直接利用零点存在定理; 若为非正, 需先讨论等于0的情况 导数与微分[见总习题3:p.136] 1. [计][p.95:8] 求参数, 使得分段函数可导 2. [填][A.1(2)] 给定某点的导数值, 求相关的极限 3. [计] 求导数 · [p.124] 基本初等函数导数表 · [A.8(3,5,6)] 四则运算求导 · 复合函数求导 · [A.9(1)] 具体函数的求导: 链式法则 · [A.9(4)] 抽象函数的求导: 注意记号 和 的区别 · [A.10(1)] 隐函数的求导 · [B.5(4)] 幂指函数求导 (可考虑用隐函数的求导法则) · [A.1(1)] 参数方程 (决定的函数) 求导 4. [计] 导数与切线斜率的关系, 求切线法线方程 导数应用[见总习题4:p.176] 1. [选] Rolle定理和Lagrange中值定理的条件 2. [计][A.3(1,3)] L’H 法则求极限 (乘除情况下可利用等价无穷小量替换) 3. [计][p.166:1(8),6(1)] 单调区间, 极值. 首先需判断定义域; 不需要用二阶导数判断 4. [证][A.5] 利用单调性证明不等式 不定积分[见总习题5:p.213] 1. [选] 积分与导数的相互运算: 的导数的积分是 , 积分的导数是 , 即 2. [选][A.1(1,2,3)] 若已知 的一个原函数为 , 或 , 需知 3. [填,计] 求不定积分 (1) [p.184] 基本积分表 (2) [A.2(3), B.1(3)] 注意: 分子上有 或 时, 用二倍角公式降次; 分母上有 时用二倍角公式去掉 变成单项 (3) [A.2(1,2,4,5),B.2(4)] 第一类换元积分法: 凑微分. 常用: 注: 先将导数表背熟, 第一类换元积分才有可能实现 (4) 第二类换元积分法. 要求掌握该方法的两种使用情况: (a) [这种情况比较难]“根号下面有平方项”的情况. 利用常用三角函数的一些平方关系, 如 注意: 并非所有这种情况都用第二类换元积分法, 需视情况而定. (b) [A.2(14), B.1(3)]“根号是一次多项式”的情况. 将根号 (或整个被积函数中的最小公倍次方根设为 ) (5) 要求掌握p.195的积分表的求法 (无需记住公式) (掌握这些积分公式的求法, 应该就可掌握换元积分法) (6) [A.2(14), B.1(3)] 分部积分法. 须有“将哪部分放入微分算子中”的思路: 记住“反对幂指三”, 优先级高的留到微分号外面 定积分[见总习题6:p.275] 1. [填,计]关于积分上下限的函数求导: 结合L’H法则求极限 2. [填,计] 求定积分 (1) 换元积分法 (第二类). 注意积分上下限的变换 (2) 分部积分法 (3) 注意有些定积分可利用函数的对称性简化 第三部分 最终考点 (B) 0. 综合题目 (1) 在某点处连续和可导的判断方法. 连续: 左右极限是否存在且与该点的函数值相等; 可导: 在连续的基础上, 左右导数是否存在相等. (2) 导数和积分的相互运算: (a) (b) 给定 的原函数, 求 (3) 求极限 (a) 利用 (b) 利用 (即 ) (c) 常用等价无穷小量 (i) 的等价无穷小量, 如 , (ii) (d) 连续函数在其定义域中的的极限: 直接代入 (e) L’H 法则: 型 1. 函数 (1) 定义域 (2) 奇偶性 (3) 零点存在定理: 若需证 , 只需令 , 再判断 , 即可利用零点存在定理证明所需结论 2. 极限 (1) 等价无穷小量的判断: 将两个函数的商求极限 3. 导数 (1) 利用导数定义式的变形: (2) 抽象复合函数的导数的表达方式: 表示 关于其自变量 , 而不是关于最终的自变量 求导, 因此 (3) 给定曲线方程, 求某点处的切线斜率 (4) 基本求导 (a) 基本初等函数的导数 (b) 四则运算的导数 (c) 链式法则 (5) 幂指函数的求导 (6) 参数方程决定的函数的求导 (7) 利用导数的符号来判断单调区间和单调性, 再判断极值点, 求极值 4. 积分 (1) 利用函数的对称性简化定积分 (2) 第一类换元积分法 (凑微分) (3) 第二类换元积分法. 至少需要掌握令 , 得到 , (4) 分部积分法: “反对幂指三”, 优先级越高, 则越留在微分号外面 PAGE 第 1 页 共 9 页 _1417255540.unknown _1417263232.unknown _1417366077.unknown _1417366254.unknown _1417366868.unknown _1417367063.unknown _1417367488.unknown _1417367493.unknown _1417366929.unknown _1417366950.unknown _1417366623.unknown _1417366629.unknown _1417366437.unknown _1417366489.unknown _1417366267.unknown _1417366173.unknown _1417366221.unknown _1417366118.unknown _1417365654.unknown _1417365684.unknown _1417365915.unknown _1417365701.unknown _1417365670.unknown _1417266214.unknown _1417365616.unknown _1417263980.unknown _1417262172.unknown _1417263162.unknown _1417263201.unknown _1417263154.unknown _1417262114.unknown _1417262146.unknown _1417259962.unknown _1417260044.unknown _1417260518.unknown _1417258468.unknown _1416220913.unknown _1416901602.unknown _1416902186.unknown _1417254313.unknown _1416902173.unknown _1416222391.unknown _1416222507.unknown _1416222377.unknown _1416215433.unknown _1416220806.unknown _1416220821.unknown _1416219911.unknown _1416220669.unknown _1416219894.unknown _1416215316.unknown _1416215319.unknown _1070605155.unknown