4.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

null4.3 线性非齐次常系数方程4.3 线性非齐次常系数方程 线性非齐次常系数方程的待定系数法本节我们将研究线性非齐次常系数方程，在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法.null考虑常系数非齐次线性方程 (4.3.1)当 是一些特殊函数，如指数函数，正余弦函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。 null一、非齐次项是多项式（4.3.2） 可取特解形式为（4.3.3） 其中 是待定常数. 把 代入方程（4.3.2）左端为考虑方程 null比较方程 （4.3.4）可以从（3.4.4）得出. 两边t 的同次幂的系数得到方程组null当 时, 零为方程的特征根，令 代入（3.4.2）比较 (4.3.6)null当 时, 对上面的方程直接积分可得出方程的特解: (4.3.6) 中的待定常数可以从上面的方程组得出惟一解, 从而得出方程的特解.当 时, (4.3.2) 变为null综上, 我们得到 (4.3.2) 有下面形式的特解:其中是 待定的常数, 可以通过上面介绍的比较系数法惟一的来确定.null例1 求方程 的一个特解.解: 对应的齐次方程的特征根为因此, 该方程特解的形式为将 代入方程得比较上式两端的系数, 可得null因此, 原方程的一个特解为因此, 齐次方程通解为再求非齐次方程的一个特解, 这里因为 是特征方程的单根, 故特解形式为null将 代入方程得因此, 原方程的特解为因此, 原方程的通解为null二、非齐次项是多项式与指数函数之积（4.3.7） 做变换则方程（4.3.7）变为 由方程（4.3.2）的结果, 我们有(4.3.8) 有如下的考虑方程 特解.null又因为方程 (4.3.7) 对应的齐次方程的特征方程为因此方程 (4.3.7) 有关特解的结论如下:(4.3.9)null(1) 当 不是(4.3.9) 的根时, 方程 (4.3.7) 的特解形式为 (2) 当 是(4.3.9) 的单根时, 方程 (4.3.7) 的特解形式为 (3) 当 是(4.3.9) 的重根时, 方程 (4.3.7) 的特解形式为 null例3 求方程 的一个特解.解: 对应的齐次方程的特征根为二重根因此, 该方程特解的形式为将 代入方程,可得因此, 原方程的一个特解为null例4 求 的特解.解:对上面的方程积分得到一个特解因此, 原方程的特解为做变换则原方程变为 null三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积考虑： 由欧拉公式 （4.3.10）null则（4.3.10）变为 由解的叠加原理知 的解之和必为方程（4.3.10）的解. null又 ,从而若 是解，那么 也是解, 所以方程的特解 形式为 其中 为t 的m次多项式,null当 不是方程（4.3.10）对应齐次方程 的特征根时,取 .当 是方程（4.3.10）对应齐次方程 的特征根时,取 .null例5 求 的通解.解：先求对应齐次方程 的通解 特征方程 的根为 所以齐次方程的通解为 null不是特征根，故 代入原方程得到得 A=2，B=1，故原方程的特解为 于是通解为 再求非齐次方程的一个通解，因为 null例7 求方程的通解.解: 先求对应齐次方程的的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解. 因为方程的右端由两项组成, 根据解的叠加原理, 可先分别求下述null两个方程与的特解, 这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程, 有形如的特解,代入第一个方程得:对第二个方程, 有形如的特解,代入第二个方程得:null因而原方程的特解为原方程的通解为null作业：习题4.2：2(6,7,8,9,14,15,18,20)