聚焦正方形的探究

聚焦正方形的探究 在近几年的中考试题中，与正方形有关的探究题层出不穷，今举数例，供参考. 例1. 如图，四边形ABCD是正方形，CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线． （如果需要，还可以继续操作、实验与测量） ⑴操作实验：将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，完成下列表格（精确到0.1cm）． PA PQ 第一次 第二次 ⑵观测测量结果，猜测它们之间的关系： ； ⑶请证明你猜测的结论； ⑷当点P在BC的延长线上移动时，继续⑴的操作实验，试问：⑴中的猜测结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 解析：⑴略； ⑵猜测结论：PA＝PQ； ⑶证明：如图1，在BA上取BH＝BP，连结PH， ∵AB＝BC，∴AH＝PC，∠AHP＝∠PCQ＝135°， 且∠HAP＝∠CPQ（同为∠APB的余角）， ∴△AHP≌△PCQ，∴PA＝PQ； ⑷当点P在BC的延长线上时，如图2，仍有结论PA＝PQ， 证明：在BA的延长线上取AH＝CP，连结PH， 则有BH＝BP，∴∠AHP＝45°， 而∠PCQ＝45°，∴∠AHP＝∠PCQ， 又∵AD∥BP，∴∠DAP＝∠CPA，∠HAP＝∠CPQ， ∴△AHP≌△PCQ，∴PA＝PQ； 例2. 已知正方形ABCD． （1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．求证：BE=GH； （2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论； （3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H．试就该图形对你的结论加以证明． 解析：（1）证明：在图1中，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于O′．（1分） ∵ABCD是正方形， ∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°． ∵GH⊥BE，A′H∥GH， ∴AH′⊥BE． ∴∠H′AD+∠BEA=90°． ∴∠BEA=∠AH′D． 在△BAE和△ADH′中， ∴△BAE≌△ADH′． ∴BE=AH′=GH． （2）EF=GH． （3）相等． 证明：在图3中，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′． 由（1）可知，Rt△ABF′≌△DAG′，所以AF′=DG′． 从而可证明EF=GH． 例3. 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM BE，垂足为M，AM交BD于点F． (1)求证：OE=OF； (2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴ BOE= AOF＝90 ．OB＝OA. 又∵AM BE，∴ MEA+ MAE＝90 = AFO+ MAE ∴ MEA＝ AFO. ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF. ∴OE=OF. (2)OE＝OF成立 . 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ BOE= AOF＝90 ．OB＝OA. 又∵AM BE，∴ F+ MBF＝90 = B+ OBE 又∵ MBF＝ OBE ∴ F＝ E. ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF. ∴OE=OF . A B D C F E ⑴ A B D C F E （供操作用） A B D C F E （供操作用） A B D C F E 图1 P H Q 图2 A B D C F E P H Q PAGE 第 1 页 共 3 页 _1076363138.unknown _1076363146.unknown _1076363150.unknown _1076363152.unknown _1076363155.unknown _1076363157.unknown _1213001207.unknown _1076363156.unknown _1076363153.unknown _1076363151.unknown _1076363148.unknown _1076363149.unknown _1076363147.unknown _1076363142.unknown _1076363144.unknown _1076363145.unknown _1076363143.unknown _1076363140.unknown _1076363141.unknown _1076363139.unknown _1076363134.unknown _1076363136.unknown _1076363137.unknown _1076363135.unknown _1076363107.unknown _1076363133.unknown _1076363106.unknown