巧用向量法求空间距离

2004年第12期 中学 17 霸方法技巧 与 思 维 巧用向量法求空间距离 101400 北京市怀柔区红螺寺中学 白春元 432500 湖北省云梦县曲阳高中 徐青云 向量法是将几何 问题代数化，用代数的 方法研究和解决几何 问题．由于 向量法是将 空间元素的位置关系转化为数量关系，将形 式逻辑证明转化为数值计算，因此用 向量解 题有时不仅不会增加解题难度，相反在一定 程度上还能降低思维强度，增强可操作性．这 对于丰富学生的思维结构 ，消除学生由于学 习立体几何而产生的心理压力，培养学生从 多角度、多方面思考和探索问题的能力，无疑 将有着非常重要的意义．同时这也有利于落 实新课改、新理念、新教材的教学实验． 用向量法求空间距离重在“转化”上，即 将空间距离转化为平面距离，并进一步转化 为 向量的长度 问题． 1 求点与点之间的距离 点与点之间的距离可以直接转化为向量 的长度问题求解． 例1 在三棱锥S—ABC中，面SAC上面 ABC，SA 上 AC，BC 上 AC。SA = 6。AC = 1。 BC=8，求 SB的长． 如 图 1，本题可以用几何法求出 SB，但需要证明．若用 向量法，注意到 SA，AC， BC之间的关系，建立以A为原点的空间直角 坐标系，则无须证明就有如下巧解． 解 如图1，建立以A为原点的空间直角 坐标系，则A(0，0，0)，B(8， 1，0)， Is(0，0，6)， ． ． ． }：I I = ~／(0—8) +(0一√ 丁) +(6—0) = 11． 图1 图2 评注 本题用 向量法巧妙地把与 SB有 关元素的位置关系转化为相应向量Is 的数量 关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数 值计算将问题加以解决．本题也可由Is=占f=s-X +A矗=(8， 1，一6)或由自由向量 =s-X +a---d+商 求解． 2 求点与线之间的距离 点与线之间的距离可以转化为向量的数 量积，并进一步转化为向量的长度 问题求解． 例 2 正方形ABCD的边长为 2，E，F分 别是AB和 CD的中点，将正方形沿 EF折成直 二面角A—EF—B(如图2)， 是矩形AEFD 内一点，如果 ／_MBE = ／_MBC，MB和 平面 BCFE所成的角的正切值为÷，那么点 到直 线 EF的距离为一 (2002年北京市春招卷第15题) 分析 欲求点 到直线EF的距离，可以 分两种途径思考，一种是取 在EF上的射影 JⅣ用几何法求 MN的长，这显然有困难．另一 种是用向量法，将 ／_MBE = C转化为相 应向量的交角问题求解． 解 如图2，建立空间直角坐标系，作 MN上EF于JⅣ，则MN上平面BCFE，连结BJⅣ， 则 ／_MBN为MB与平面BCFE所成的角，所以 tan／_MBN = JI． ． 设 (0，)，，=)， (0<)，<2，0< <1)，则 JⅣ(0，)，，0)， E(O，0，0)， B(1，0，0)， C(1，2，0)． ． · ． c。s<8-；f， = 】 c。。< ，8--& ： — ． ．．．．．．．．．．．．．．．．】 ．．．．．．．．一 一 、 · ． · <8-；f， 、<8-；f，8--& 是锐角， ． ’ ． MBE= 又 MBE = MBC． ． · ． 。。< ，赢>： 。。< ，8--&． 故 )，=1· 一 又tan／_MBN= =南 =丢， ． 一 ‘ ‘ ‘ —。 2‘ 因此，点 到直线EF的距离为 评注 本题是将几何上的交角关系巧妙 地转化为相应 向量的交角关系，并构造 出相 应向量的数量积模型来加以解决的。这也是 维普资讯 http://www.cqvip.com 18 中学数学 2004年第12期 应用 向量法求空间距离的一种重要方法． 3 求异面直线之间的距离 异面直线问的距离可以由定义求二者之 间公垂线段 的长，也可 以转化为过两条异面 直线的某一向量，在一个与两条异面直线都 垂直的向量上的射影f*-1题来解决． 如图3，口、b是两条异面直线，C、D分别是 口、b上任一点，若n是与口、b都垂直的某一向 异 面直线 口、b之 间的距离为 d = (d为 在—I_方向上万的射影)． 謦 图3 图4 例 3 如 图 4，已知 正四棱柱 ABCD — AIBICIDI中，AB = 1，AAl=2，求异面直 线 BD，与 CC。之问的距离． 分析 这是求两条异面直线BD。与 CC。 之 间的距离问题，有两种思考途径 ，一是按定 义求二者之 间公垂线段 的长，另一个是用 向 量的射影．设 n是与BD。、CC．都垂直的向量， 则 BD。与 CCl之间的距离 d= ． 解法 1 (用定义)如图4，建立以D为原 点的空间直角坐标系，设 、F分别为 CC．与 BD，的中点，则 B(0，1，0)， D。(1，0，2)， C(0，0，0)， cl(0，0，2)， (0，0，1)，F(÷，÷，1)． ． ’ E ·CC =0， E，·BD =0， ． ‘ ． F 上 CCl， EF 上 BD．， ． ’ ． F是 CC。与 BD．的公垂线， ． ． ． F：I云 I 即 BD 与 cc 之间的距离为 解法2 (用 向量的射影)设 n =( ，y， )是 与BD。、CC，都垂直的向量，则 n tn： CC 0呈’即 t2z 0 2一。’ ‘ ．= ． = ． o ~ o n=( ， ，0)．又百 ：(0，一1，2)． d = o ~ o BD。与 CC。之间的距离为 I ．n I 一 — 。 2’ 即 BD。与 cc。之间的距离为 ． 评注 本题给出了用向量法求异面直线 距离的两种方法，前者用定义，后者用射影， 解题时可根据情况选择． 4 求点到平面的距离 点到平面的距离可以通过定义求点到平 面正射影的距离，也可 以转化为过这 一点的 某一向量在这个平面法向量上的射影问题来 解决． 如图5，P是平面 Ot外一点，A是平面 Ot上 一 点，若n是平面ot的法向量，则点P到平面ot 的距离为d=L n (d为 在广 n 方 I I I I 向上 n的射影)． 图5 图6 例4 如图6，在直三棱柱ABC—AIB。cl 中，底面是等腰直角三角形，／_ACB =90。，侧 棱AA。=2，D、E分别为 CCl与A。B的中点，点 E在平面ABD上的射影是 △ABD的重心G，求 点A．到平面AED的距离． (2003年全国高考卷第18题) 分析 如图6，本题有两种思考途径，一 种是通过定义求点到平面正射影 的距离；另 一 种考虑用法向量 ，利用线段AA．与平面AED 的关系，将点A．到平面AED的距离转化为向 量AA． 在平面AED的法向量n上的射影长d= L 来解决 ． 解法 1 (用定义)如图6，建立以C为原 点的空间直角坐标系，设 CA =2a，则 A( ，0，O)， B(O，2a，0)， D(O，0，1)， E(a，口，1)，A。( ，0，2)，G(譬， 2a，÷)． ． ． ． ． 蔚 ：一 + 2：0 ， ． ‘ ． 口 = 1． 叉 DE·AE =0。 DE·AAl=0。 ． ’ ． D 上 平面AAIE ‘ ． ‘ D C 平面 ADE。 ． ’ ． 平 面 ADE 上 平面 AA。E， 而平面 AD n 平面 AA。E =AE， ． ’ ． 点A 在平面ADE上的射影在AE上， 取F为A。在AE上的射影，则A F为点A。到平 面ADE的距离．设A =A A ，则 条 ● 两 拜 维普资讯 http://www.cqvip.com 2004年第l2期 中学数学 l9 平面区域与其它知识硇交融 由2004年江苏卷第1 9．题所想到的 226611 江苏省海安县立发中学 冯 俊 ， +Y ≤ 10， 1 0．3x+0．1y≤1．8， 1 ≥0， v ≥ 0． 目标

函数

excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载

= + 0．5y，画出上述不等式 表示的平 面 区域如 图 l，然后平 移直线： + 0．5y=0。据图 l可知 当直 线 经 过 点 (4，6) 时， = +0．5y取得最 大值 ，即当 =4，Y=6 时能使可能的盈利最大． ＼ 18 。| 。 。 4期 0 t |、 J 0．3x4-0 ly=1 ．8 图1 本题是一道产品分配类型的简单线性规 划问题 ，从它的解答过程可 以看出：先 由不等 式组组成约束条件，然后再去作 出平 面区域； 这一步骤在整个解题过程中占有极其重要的 地位 ，它决定着最优化

方案

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．但我们往往也只 注意到最后的最优解而相对忽视 了平面区域 的重要性．由于平面区域是 由不等式(组)来 表示的，所以它必然与不等式、函数、方程、解 析几何有着千丝万缕 的联系．下面笔者就举 例

说明

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平面区域在与其它知识交融 中所起 的 独特作用． 1 二元一次不等式(组)表示的平面区 域与解析几何的结合 例 1 双 曲线 一Y =1左支上一点 (口，b)到其渐近线Y= 的距离为 ，则口+b 的值为一 分析 已知点(口，b)是双曲线 一Y = 1上一点，能得到口 一b =1，而问题是求口+ b的值，则只要求出口一b即可．再由点(口，b) 到其渐近线 Y= 的距离为 ，得 ： I口 一 b I： 2， V● 一 一 -_， ’ √l2 现在面对的问题是 口一b的符号，这时就要考 虑到点(口，b)在左支上这一条件． 解 由于双曲线 一Y =1的左支在直 线 Y= 的上方区域，而直线 Y= 上方区域 的点使得 一Y<0，所以口一b<0，即由上述 1 分析可知口一b=一2，故口+b的值为一÷． 二 例2 抛物线C的顶点在坐标原点，对称 轴为Y轴，C上的动点P到直线 Z：3x+4y一12 = 0的最短距离为 1，求 C的方程． 分析 由条件可知抛物线 C的开 口向 下，因而可设它的方程是 =一2py(p>0)． A7 = + =(一A，A，A一2)． · ． · ． A---g=0， 即 A+A +A一2=0。 ． · ． A= ，A7 =(一丁2，丁2，一丁4)， A．F ：I I： 即点A．到平面AED的距离为 解法 2 (用向量的射影)(接解法 1) 、 ．‘ =(2，0，一1)，DE =(1，1，0)， A At=(0，0，2)． 设平面AED的法向量为 n=( ，Y， )， 则 f，1． 。。，即 f2一一o， L n·DE =0、 tx+v=0． 、 ‘ ． n=( ，一 ，2x)． 即点A．到平面 AED的距离为 ， I AAl·n I d —TiT-．一 一 !Q： ±Q：(二 2± ： !一 一 T _ 一 3‘ (收稿Et期：20041013) 维普资讯 http://www.cqvip.com