角动量和角动量守恒

nullnull*5 角动量 角动量守恒定律5.1 质点的角动量 角动量定理定义: ----- 质点对参考点O的质点角动量 或 质点动量矩大小：5.1.1、质点的角动量null只有动量横向分量具有角动量，说明角动量是描述旋转强弱的物理量nullnull例：自由下落质点的角动量任意时刻 t， 有 （1） 对 A 点的角动量（2） 对 O 点的角动量null* 一 力矩 5.1.2、质点的角动量定理null*刚体内作用力和反作用力的力矩O（一对内力）互相抵消null*2）合力矩等于各分力矩的矢量和null*质点的角动量定理质点对某固定点所受的合外力矩 等于它对该点角动量的时间变化率二、质点的角动量定理或冲量矩对同一参考点O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。null*5.1.3、质点角动量守恒定律及其应用则或若对某一固定点，质点所受合外力矩为零, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若质点做匀速直线运动中，对O点角动量是否守恒？例：质点的角动量定理null*证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线, 在相等的时间内扫过的面积 相等, 即掠面速度不变.1)行星对太阳O的角动量的大小为其中是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.表示时间内行星所走过的弧长, 则有若用表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有用[证明]null*其中 d /dt 称为掠面速度. 由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.null(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构null*当木块静止于A 处时, 弹簧保持原长, 设一质量为 m 的子弹以初速 v0 水平射向 M 并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧的长度为L. 求木块在B点的速度 vB 的大小和方向.解:m和M相撞时,系统的动量守恒例. 光滑水平桌面上放着一质量为M的木块, 木块与一原长为L0, 劲度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另一端固定于O点. null*解: AB, 只有弹力作功, 机械能守恒 AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒null例：用轻质细绳将小球P拴于铅直细杆AB上的B点。给小球以初速度v0，v0的方向垂直于AB平面，小球运动使细线逐渐缠绕于AB杆上。初始时，小球与杆的距离为q0，求距离为q1时小球的速率。解：Z 轴方向上角动量守恒 5.2 质点系角动量5.2.1、质点系角动量 选原点 O 0C质心以上两式先后代入前式质心相对于 c 的位矢=0 质心在 cnull自旋角动量 也叫固有角动量例,地球绕太阳转 . 电子绕原子核转轨道角动量null分离出系统; 代表系统内的质点, 代表系统外的质点.0质点系的角动量定理对应5.2.2、质点系的角动量定理null5.2.3、质点系的角动量守恒定律;讨论; 1)不要求系统孤立,只要求 2)矢量式有3个分量式,即 的某个分量=0,则相应角动量的分量守恒 3) 系统守恒条件;null5-3.刚体的定轴转动ABA’B’B”A”1.平动: 在运动过程中若刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行, 任意质元运动都代表整体运动2. 转动、定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线做圆周运动, 该固定直线称为刚体定轴, 这种运动称为刚体的定轴转动 5.3.1 刚体的平动和定轴转动null5.3.2 刚体定轴转动的角量描述1. 角位移 θ : 在 t 时间内刚体转动角度2.角速度  : 3.角加速度 α:θz刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定null切向分量 法向分量 zO4. 线量与角量关系匀变速定轴转动null刚体到转轴的转动惯量5.4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒5.4.1 对定轴的力矩和角动量null质点系的角动量定理Z轴分量质元对O点的力矩（垂直z轴）（垂直z轴）null5.4.2 定轴转动刚体的角动量守恒角动量定理1 质点由微分式积分式2 质点系由微分式积分式3 定轴转动刚体积分这里定轴转动刚体角动量守恒null*null 被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用 应用: 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶 等. 它们的转子速度达万转每分; 若转子稍不对称, 就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏, 所以设计转子精度要高.null角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产生了季节变化.null直升飞机后面的螺旋浆双浆直升飞机null*5.5.1 刚体的转动定律2）刚体外力矩内力矩5.5 定轴转动刚体的转动定律，转动中的功和能null* 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .转动惯量null* 转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度2. 转动惯量与刚体的质量有关3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关4. J 与转轴的位置有关　5.5.2、转动惯量的计算对质量连续分布刚体线分布 面分布体分布转动惯性的计算方法： 质量离散分布刚体null*例: 一均匀细棒长 l 质量为 m1) 轴 Z1 过棒的中心且垂直于棒2) 轴 Z2 过棒一端且垂直于棒求: 上述两种情况下的转动惯量 oZ 1解: 棒质量的线密度所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义lnull*例:匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:解:圆盘半径为 R, 总质量为 m .设质量面密度例:匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:ZRdm解:zRrdrdmdSmnull例 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：Znull均匀圆盘绕直径的转动惯量均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴均匀球绕直径的转动惯量均匀薄球壳绕直径的转动惯量均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴null有关转动惯量计算的几个定理· 平行轴定理zh式中: 是通过 质心 轴的转动惯量m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离是平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量· 垂直轴定理0对于薄板刚体, C薄板刚体对 z 轴的转动惯量等于对 x 轴的转动惯量与对 y 轴的转动惯量之和null· 转动惯量叠加, 如图z式中: 是A球对z轴的转动惯量是B棒对z轴的转动惯量是C球对z轴的转动惯量· 回转半径任意刚体的回转半径式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量,m 是刚体的质量B例:G 不是质心CGnull 刚体定轴转动定律的应用已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R物体 m1 m2求：a =?am1gm2gT解：对否？T1T2T否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2转动定律线量与角量关系M1.null例：有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦 系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 ω0 开始旋 转，它将在旋转几圈后停止？解：1）求圆盘的摩擦力矩。该圆环所受摩擦力矩：圆盘受摩擦力矩在圆形平板上取一细圆环2）求角加速度：3）求转过圈数：null已知：2.匀质杆m长下落到θ时求：解：C转动定律质心运动定理null质心运动定理null例：质量为M，半径为 R 的水平均匀圆盘，可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动，盘上有一质量为m的昆虫。 解:(1) 角动量守恒 (1)初始时，昆虫与盘均静止，问昆虫沿盘的边缘爬动一周时，盘相对地面转过的角度有多大？ (2)初始时，昆虫位于盘中心，盘以角速度w0转动,昆虫沿盘的一条直径以恒定的速率u向盘的边缘爬去，问昆虫爬到盘的边缘时，盘相对地面转过的角度有多大null(2)null*例：一匀质细棒长为2L, 质量为m,以与棒长方向相垂直的速度V0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰橦,碰橦点位于棒中心的一方(1/2)L处,如图所示,求棒在碰撞后的瞬间绕O点转动的角速度.解： 碰撞前瞬间,杆对O点的角动量为式中为杆的线密度,碰撞后瞬间,杆对 O点的角动量为碰撞前后角动量守恒null*一 力矩作功 二 力矩的功率5.5.3 转动的功和能null*三 转动动能四 刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体 所作的功等于刚体转动动能的 增量 .null*五. 刚体的重力势能刚体的重力势能就是它的各质元重力势能之和。根据质心定义，刚体质心的高度应为所以刚体势能写成 一个不太大刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时具有的势能一样。六. 机械能守恒定律 对于定轴转动刚体，只有保守力做功时，机械能 保持不变。即null*应该：【答】null*应该【答】null利用质点系对 固定点的角动量定理 在陀螺的自转轴有一倾角时,陀螺受的重力 产生的对o点的力矩为 5.6 刚体的进动null如连续画下去，可以看 到角动量矢量的端点， 绕竖直轴作圆周运动， 这就表现出进动现象。所以，进动现象正是自旋 的物体在外力矩的作用下 沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果。null设角动量矢量的端点 dt 时间内、在水平面内转过dΘ角，则有进动的角速度计算进动的角速度Ω：null讨论：ω↓……Ω↑，与实际符合。以上只是近似讨论， 因为当进动发生后：刚体的角动量应该是注意此处，M外是重力矩：null解：受力分析如图。