拆分

null母函数及其应用 “拆分”母函数及其应用 “拆分”研究以下等式：研究以下等式： 可以看出： x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2， …an中取两个组合的全体；同理x3项系数包含了从n个元素a1，a2， …an中取3个元素组合的全体。以此类推。 null 若令a1=a2= …=an=1，在（2-1-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：母函数定义：母函数定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：  称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数 For example: For example: (1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。       如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。 反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。       序列a0，a1，a2，…可记为{an} 。 例一、若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能？ 例一、若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？ 如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。 如果用x的指数表示称出的重量，则： 1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示， 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示， 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 从上面的函数知道，可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1  例二、求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。 例二、求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。 因邮票允许重复，故母函数为 以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4，即 ： 4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2概念：整数拆分 概念：整数拆分 所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和，相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。 如n=5 n=5 n=4+1 n=3+2=3+1+1 n=2+2+1=2+1+1+1 n=1+1+1+1+1 拆分数： 7 练习：练习：例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚，问能称出哪几种重量？各有几种方案？ 例4: 整数n拆分成1，2，3，…，m的和，求其母函数。如若其中m至少出现一次，其母函数又如何？ 请自己写出以上两个问题的母函数。如何编写程序 实现母函数的应用呢？ 关键：对多项式展开如何编写程序 实现母函数的应用呢？ 关键：对多项式展开以整数拆分为例：以整数拆分为例：观察以下的母函数： 给定一个整数n，要找出n能拆分成多少种不同的若干个数的和与乘积的形式。比如：     4=4                   12=1*12     4=1+3               12=2*6     4=2+2               12=3*4     4=1+1+2          12=2*2*3 4=1+1+1+1 4的加分拆分数位5，乘法拆分数位4给定一个整数n，要找出n能拆分成多少种不同的若干个数的和与乘积的形式。比如：     4=4                   12=1*12     4=1+3               12=2*6     4=2+2               12=3*4     4=1+1+2          12=2*2*3 4=1+1+1+1 4的加分拆分数位5，乘法拆分数位4#include using namespace std; const int lmax=10000; int c1[lmax+1],c2[lmax+1]; int main() {int n,i,j,k; while (cin>>n) { for (i=0;i<=n;i++) { c2[i]=0;} for (i=0;i<=n;i++) c1[i]=1; for (i=2;i<=n;i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n;k+=i) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout< using namespace std; const int lmax=10000; int c1[lmax+1],c2[lmax+1]; int main() {int n,i,j,k; while (cin>>n) { for (i=0;i<=n;i++) { c2[i]=0;} for (i=0;i<=n;i++) c1[i]=1; for (i=2;i<=n;i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n;k+=i) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout<规划

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