高三同步测控优化训练数学A：导数的应用A卷（附答案）

第二单元 导数的应用 ●知识网络 ●范精讲 【例1】 设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1,x=－1处有极值且f(1)=－1,求a、b、c的值及函数f(x)的极值. ：此题是考查利用导数求函数的极值的题目.思维的方向属于逆向思维.需注意极值点与导数之间的关系:对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是这点的导数为零，也就是说,极值点为f′(x)=0的根.利用这种关系，列a、b、c的方程组求a、b、c的值，确定函数f(x)的解析式,再进一步利用导数求f(x)的极值. 解：∵f(x)=ax3+bx2+cx，∴f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=1,x=－1为方程f′(x)=0的根， ∴ 又f(1)=－1,∴a+b+c=－1. 由①②③得a= ,b=0,c=－ . ∴f(x)= x3－ x,f′(x)= x2－ . 令f′(x)=0,即 x2－ =0,解得x=±1. 当x的值变化时，y、y′的变化情况如下： x (－∞,－1) －1 (－1,1) 1 (1,+∞) y′ + 0 － 0 + y ↗ 极大值1 ↘ 极小值－1 ↗ 因此,当x=1时，f(x)有极小值，并且f(x)极小值=－1; 当x=－1时，f(x)有极大值，并且f(x)极大值=1. 评注：本题是先利用待定系数法求函数解析式,再进一步求其极值.若题目告诉了曲线的种类和方程的具体形式,可先设出它的方程,再进一步确定方程中的.一般说来,要求几个未知数的值，就需根据题设条件构造含有该未知数的几个方程即可.这就是方程思想的重要应用. 【例2】 已知函数f(x)=x2eax,其中a≤0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间［0,1］上的最大值. 分析:本题主要考查复合函数的导数的运算法则、导数的应用等知识.利用f′(x)>0确定函数的单调增区间,f′(x)<0确定函数的单调减区间,利用函数的单调性求最值.特别地,对于形如f(x)=ax2+bx+c的函数要对a进行讨论,因为a=0时,它是一次函数或常数函数;a≠0时,它是二次函数,即函数的性质不同. 解:(1)f′(x)=(x2)′eax+x2(eax)′=2xeax+x2eax(ax)′=2xeax+ax2eax=x(ax+2)eax. 由于eax>0恒成立,所以 (ⅰ)当a=0时,令f′(x)=0,得x=0. 若x>0,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若x<0,则f′(x)<0,从而f(x)在(－∞,0)上单调递减. (ⅱ)当a<0时,令f′(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=－ . 若x<0,则f′(x)<0,从而f(x)在(－∞,0)上单调递减; 若00,从而f(x)在(0,－ )上单调递增; 若x>－ ,则f′(x)<0,从而f(x)在(－ ,+∞)上单调递减. (2)(ⅰ)当a=0时,由于f(x)在区间［0,1］上单调递增,所以它的最大值是f(1)=1. (ⅱ)当a<0时,令－ =1,得a=－2. 当－20恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间. 答案：A 2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是 分析:本题主要考查二次函数及导数的基础知识. 解:利用导数公式求出导函数,从而确定图象. ∵f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限, ∴－ >0,即b<0. ∵f′(x)=2x+b(b<0),∴图象A为所求. 答案:A 3.下图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是 A.在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数 C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时,f(x)取到极小值 分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导函数的关系. 解:在(－2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x=2的左侧,函数在(－ ,2)上是增函数,在x=2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x=2时,f(x)取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数. 答案:C 4.下列说法正确的是 A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|< ,则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 分析:本题主要考查函数的最值与极值的关系,加深对最值与极值概念的理解. 解:函数在闭区间上的极大值与极小值的大小关系不确定;最大值并不一定是极大值,最大值有可能在区间端点处取得;函数在开区间上不一定存在最值;对C选项,f′(x)=3x2+2px+2,其中Δ=4p2－24=4(p2－6),当|p|< 时,Δ<0,所以方程f′(x)=0无实根,即不存在导数为零的点.所以函数f(x)无极值. 答案:C 5.若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是 A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.01.∴ex－1>0.∴y′>0. 答案：A 9.函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为 A.1－e B.－1 C.－e D.0 分析：本题考查利用求导的方法求函数在闭区间上的最大值. 解：y′= －1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下： x (0,1) 1 (1,e) e y′ + 0 － y 增函数 极大值－1 减函数 1－e 由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,从而y最大=f(1)=－1. 答案：B 10.函数y=x5－x3－2x，则下列判断正确的是 A.在区间(－1，1)内函数为增函数 B.在区间(－∞,－1)内函数为减函数 C.在区间(－∞,1)内函数为减函数 D.在区间(1,+∞)内函数为增函数 分析：本题考查利用导数求函数单调区间的方法，以及一元高次不等式的解法. 解：y′=5x4－3x2－2=(5x2+2)(x2－1)=(5x2+2)(x+1)(x－1). ∵5x2+2>0恒成立, ∴当x∈(－1,1)时，y′<0,则f(x)为减函数; 当x∈(－∞,－1)或x∈(1,+∞)时 ，y′>0,则f(x)为增函数.故选D. 答案：D 第Ⅱ卷(非选择题 共70分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上) 11.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值是__________. 分析：本题考查利用求导的方法求函数的极值. 解：f′(x)=3x2－6x. 令f′(x)=0,得x=0或x=2. 作出函数f′(x)=3x2－6x的图象. 因为当x∈(－∞,0)时，f(x)是增函数；当x∈(0,2)时，f(x)是减函数.所以函数在x=0处有极大值f(0)=7. 答案：7 12.函数y=4x2+ 的单调增区间为__________. 分析:本题考查利用求导的方法求比较复杂的函数的单调区间.对于非常规函数,求导不失为一种好方法. 解:y′=8x－ .要求增区间,只需y′>0,即8x－ >0. 解得x> .所以函数的单调增区间为( ,+∞). 答案:( ,+∞) 13.曲线y= x2－2x在点(1,－ )处的切线的倾斜角为__________. 分析：本题考查导数的几何意义. 解：y′=x－2, ∴y′|x=1=1－2=－1.由tanα=－1,0°≤α<180°,得α=135°. 答案：135° 14.函数y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值为__________. 分析：本题考查函数在闭区间上的最大值. 解法一：在y=(x2－4)2－14中把x2视为一个整体. ∵－1≤x≤3,∴0≤x2≤9.∴y最大=(9－4)2－14=11. 解法二：y′=4x3－16x,令y′=0, 即4x3－16x=0. 解得x=0或x=±2,列表如下： x (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) y′ + 0 － 0 + y 增函数 极大值2 减函数 极小值－14 增函数 又∵f(－1)=－5,f(3)=11,故函数在区间［－1，3］上的最大值为11. 答案：11 三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)确定函数f(x)=2x3－6x2－2在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数. 分析：本题主要考查用导数来求函数的单调区间.特别注意当单调区间是两部分或两部分以上时应如何

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写. 解：f′(x)=6x2－12x. 3分 令f′(x)>0,即6x2－12x>0,得x<0或x>2. 5分 因此，函数y=f(x)在区间(－∞,0)上是增函数，在区间(2,+∞)上也是增函数. 7分 再令f′(x)<0,即6x2－12x<0,得00，得x<－ 或x>1; f′(x)<0，得－ 4时，y′>0. ∴x=4是函数的极小值点. 10分 ∴ymin=y|x=4=128, 即当两个数都为4时，其立方和最小. 12分 19.(本小题10分)某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元? 分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行. 解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 2分 依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］ 4分 =－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10), 8分 显然,当x=9时,ymax=864(元), 即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分 解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378. 求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0, 解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元. ①②③ _1170246803.unknown _1170247096.unknown _1170247694.unknown _1170248437.unknown _1170248894.unknown _1170248941.unknown _1170248973.unknown _1170249128.unknown _1170249127.unknown _1170248960.unknown _1170248930.unknown _1170248648.unknown _1170248663.unknown _1170248463.unknown _1170248390.unknown _1170248416.unknown _1170248428.unknown _1170248409.unknown _1170247997.unknown _1170248241.unknown _1170247776.unknown _1170247122.unknown _1170247632.unknown _1170247693.unknown _1170247399.unknown _1170247097.unknown _1170247098.unknown _1170246934.unknown _1170247014.unknown _1170247052.unknown _1170247082.unknown _1170247088.unknown _1170247027.unknown _1170246972.unknown _1170246992.unknown _1170246950.unknown _1170246955.unknown _1170246936.unknown _1170246829.unknown _1170246863.unknown _1170246817.unknown _1170246762.unknown _1170246800.unknown _1170246747.unknown _1170246383.unknown _1170246506.unknown _1170246513.unknown _1170246434.unknown _1170246452.unknown _1170246460.unknown _1170246384.unknown _1170246315.unknown _1170246325.unknown _1170245701.unknown