第10次课、矩阵的初等变换

nullnullnull 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大. null●引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组：用消元法解下列方程组的过程．null这里我们对方程组(1)作了两种变形：这两种变形都不会改变原方程的解（集），称为同解变形。null这也是一种同解变形。null用“回代”的方法求出解：null于是解得null小结：1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．null3．上述三种变换都是可逆的．null　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．二、矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换null定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换null等价关系的性质：具有上述三条性质的关系统称为等价关系．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价关系null用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：nullnullnullnull特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台 阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．null注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成形．null例如：null特点：null初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。 i行 j行（1）对换矩阵 对换矩阵可逆。nullnull i行（2）倍法矩阵 倍法矩阵可逆。nullnullnull i行 j行（3）消法矩阵 消法矩阵可逆。nullnullnullnullnullnullnullnull例 解nullnull例null 全为零， A不可逆。解null四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组例null解用初等行变换求得：null例null法2 初等变换法 解 法1 先求A的逆，再求 null例 解线性方程组 null解 设方程的矩阵形式为 则nullnull所以三、小结三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质思考题思考题已知四元齐次方程组 及另一四元齐次方程组 的通解为思考题解答思考题解答解