顺义数学

顺义区2013届初三第一次统一练习 数学试卷 学校 　　　 姓名 准考证号 考生须知 1．本试卷共5页，共五道大，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 的倒数是 A． B． C． D．3 2．据2013年4月1日《CCTV—10讲述》栏目报道，2012年7月11日，一位26岁的北京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的旅游梦，历时93天，行程3 359公里．请把3 359用科学记数法表示应为[来源:学科网ZXXK] A． B． C． D． 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．我区某一周的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 13 15 17 18 天 数 1 1 2 3 则这组数据的中位数与众数分别是（　　） A．17，17 B． 17，18 C．18，17 D．18，18 5．下列计算正确的是 A． B． C. D. 6．如图， ∥ ，点 在 上， ， ，则 的度数为 A． B． C． D． 7．若 为实数，且 ，则 的值为 A．1 B． C． 2 D． 8．如图，AB为半圆的直径， 点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为 ，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为 A． B． C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式： = ． 10．袋子中装有3个红球和4个黄球，这些球除颜色外均相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，则摸出红球的概率是_____________． 11．如图，扇形的半径为6，圆心角为 ，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ． 12．如图，边长为1的菱形 中， ，则菱形 的面积是 ，连结对角线 ，以 为边作第二个菱形 ，使 ；连结 ，再以 为边作第三个菱形 ，使 ；……，按此规律所作的第 个菱形的面积为___________． [来源:学科网] 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： ． 14．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来． 15．已知：如图， 平分 , 点 在 上， ， ． 求证： ． 16．已知 ，求代数式 的值． 17．如图，已知 ， 是一次函数 的图象和反比例函数 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 的面积. 18．某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为2000元，4月份该商店对这种纪念品打8折销售，结果销售量增加30件，营业额增加800元，求该种纪念品3月份每件的销售价格是多少？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E， ， ， ， ，求AC和BD的长. 20．如图，已知 ，以 为直径的 交 于点 ，点 为 EMBED Equation.DSMT4的中点，连结 交 于点 ，且 . （1）判断直线 与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若 的半为2, ,求 的长. 21．某课外实践小组的同学们为了解2012年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理， 月均用水量 (t) 频数(户) 频率 6 0.12 0.24 16 0.32 10 0.20 4 2 0.04 请解答以下问题： （1）表中 ， ； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比； （4）若该小区有1500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？ 22． 如图1，在四边形 中， ， 分别是 的中点，连结 并延长，分别与 的延长线交于点 ，则 （不需证明）． 小明的思路是：在图1中，连结 ，取 的中点 ，连结 ，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得 ． 问题：如图2，在 中， ， 点在 上， ， 分别是 的中点，连结 并延长，与 的延长线交于点 ，若 ，连结 ，判断 的形状并证明． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于 的方程 （1）求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于 的二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标均为正整数，且 为整数，求抛物线的解析式. 24．如图1，将三角板放在正方形 上，使三角板的直角顶点 与正方形 的顶点 重合．三角板的一边交 于点 ，另一边交 的延长线于点 （1）求证： ； （2）如图2，移动三角板，使顶点 始终在正方形 的对角线 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过点 ，其他条件不变，若 ， ，求 的值． 25．如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，且经过 两点，点 是抛物线顶点， 是对称轴与直线 的交点， 与 关于点 对称． （1）求抛物线的解析式； （2）求证： ； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 与 相似．若有，请求出所有符合条件的点 的坐标；若没有，请说明理由． 顺义区2013届初三第一次统一练习 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B D A B D 二、填空题 题号 9 10 11 12[来源:学科网] 答案 ， 三、解答题 13．解：原式= …………………………………………4分 = ……………………………………………… 5分 14． 解：解不等式，得． ………………………………… 1分 解不等式，得． ………………………………… 2分 ∴不等式组的解集为． ………………………………… 4分 在数轴上表示其解集为如图所示 …………………………………5分 15．证明：∵ 平分 ∴ ……………………………………………1分 在 和 中 ∵ ……………………………………………3分 ∴ ≌ …………………………………………… 4分 ∴ ……………………………………………5分 16．解：原式= ………………………2分 = ………………………………………… 3分 = = ……………………………………………… 4分 ∵ ∴ ∴原式= ………………………………………………5分 17．解：（1）将 代入中，得． ∴． …………………………………………………………………1分 将 代入中，得． ………………………………2分 将 ， 代入 中，得 ………3分 解得 ∴． ……………………………………………4分 （2）设直线AB与y轴交于点C 当时，． ∴． ∴ ………………………5分 18．解：设该种纪念品3月份每件的销售价格为 元， ……………………………1分 根据题意，列方程得 ………………………………………………3分 解之得 ． …………………………………………………………4分 经检验 是所得方程的解． 答：该种纪念品3月份每件的销售价格是50元． …………………………5分 解法二：设3月份销售这种纪念品 件，则4月份销售（ +30）件 …………1分 根据题意，列方程得 ……………………………………………3分 解之得 ． ………………………………………………4分 经检验 是所得方程的解 答：该种纪念品3月份每件的销售价格是 （元）…………5分 19解：∵ ∴ ∵ ， ， ∴ ∴ ， …………………………………………1分 ∴ ……………………………………………………… 2分- ∴ ………………………………………………3分 过点 作 ,垂足为 ∵ ∴ ………………………………………………4分 ∵ ∴ ∴ …………………………5分 20．⑴ 与⊙O相切 证明：连接 ， ∵ 是 的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∵ 为 的中点 ∴ …………………………1分 ∴ 即 又∵ 是直径 ∴ 是 的切线 …………………………2分 （2）∵ 的半为2 ∴ , ∵ 由（1）知， ， ∴ , ∴ , ………………………… 3分 ∵ , ∴ ∽ ， ∴ ∴ ， …………………………4分 设 由勾股定理 ， （舍负） ∴ …………………………5分 21． 解：（1）表中填 ； . …………………………2分 (2）补全的图形如下图. - …………………………3分 （3） . 即月均用水量不超过15t的家庭占被调查的家庭总数的68%. …………………………4分 （4） . 所以，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有180户. ………………5分 22．判断 是直角三角形 证明：如图连结 ，取 的中点 ，连结 ，……………………1分 是 的中点， ∴ ， ，………………… 2分 ∴ ． 同理， ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． …………………………………………3分 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形．………………………………4分 ， ∴ ， ∴ ∴ 即 是直角三角形．…………………………… 5分 23．（1）证明：①当 时，方程为 ，所以 ，方程有实数根.…… 1分 ②当 时, = = = ………………………………2分 所以,方程有实数根 综①②所述，无论 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分 （2）令 ，则 解关于 的一元二次方程，得 ， ……………………5分 二次函数的图象与 轴两个交点的横坐标均为正整数，且 为整数， 所以 只能取1，2 所以抛物线的解析式为 或 ………………7分 24． （1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ………………………………………………………2分 （2）成立. 证明：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 则 ∵ ∴ ∴ ∴ …………………………………4分 （3）解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 ∴ ∴ …………………………………5分 ∴ ∴ ∴ ∴ …………………………………7分 25．解：（1）将点 代入 得 ……………………1分 解之得 ， 所以抛物线的解析式为 ……………………2分 （2）由（1）可得抛物线顶点 [来源:学*科*网] ……………………3分 直线 的解析式为 由 是对称轴与直线 的交点，则 由 与 关于点 对称 ，则 ……………………4分 证法一： 从点 分别向对称轴作垂线 ，交对称轴于 在 和 中 ， 所以 ∽ 所以 …………………………………5分 证法二：直线 的解析式为 点 关于对称轴的对称点是 将点 代入 可知点 在直线 所以 （3）在 中，三内角不等，且 为钝角 10 若点 在点 下方时， 在 中， 为钝角 因为 ， 所以 和 不相等 所以，点 在点 下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分 20 若点 在点 上方时， 由 ，要使 与 相似 只需 （点 在 之间）或 （点 在 的延长线上） 解得点 的坐标为 或 ………………………………………8分 A B C D C1 D1 D2 C2 D C A B 图 �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� 0 1 2 3 4 5 �EMBED Equation.DSMT4��� A B C D F G H E 1 2 3 _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568241.unknown _1234568257.unknown _1234568265.unknown _1234568269.unknown _1234568273.unknown _1234568275.unknown _1234568276.unknown _1234568277.unknown _1234568274.unknown _1234568271.unknown _1234568272.unknown _1234568270.unknown _1234568267.unknown _1234568268.unknown _1234568266.unknown _1234568261.unknown _1234568263.unknown _1234568264.unknown _1234568262.unknown _1234568259.unknown _1234568260.unknown _1234568258.unknown _1234568249.unknown _1234568253.unknown _1234568255.unknown _1234568256.unknown _1234568254.unknown _1234568251.unknown _1234568252.unknown _1234568250.unknown _1234568245.unknown _1234568247.unknown _1234568248.unknown _1234568246.unknown _1234568243.unknown _1234568244.unknown _1234568242.unknown _1234568225.unknown _1234568233.unknown _1234568237.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568238.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568217.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568177.unknown _1234568193.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown 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