多元函数的积分

4、二元的极值、最值 10极值定义 P208 为极大值 为极小值 驻点 极值点，需判别 设 、 、 f < 0 A < 0 极大值 A > 0 极小值 > 0 非极值 =0 不定 例1、 求 的极值 解： ， ， ， ， 令 得驻点 ， 在 ， ∴ 非极值 ， ∴ 为 极值点 又 ∴ 为极小值 例2、求 在闭区域D： ， ， 的最大，最小值。 解： ， 令 （在D内） 在D的内部函数只有一个驻点 ， 在边界 ， 在 ， 在 ， 得： ，即 ， 为驻点 比较 ， ， 得最大值 ，最小值 在实际问中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。 例3、 求原点到曲线 的最大距离 此题即在条件 下求 的最小值问题 20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件 下, 的极值 令 称 为目标函数, 为拉格朗日常数 解得的 为可能的极值点 例1、求曲面 到平面 的最短距离 解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 ∴ 设 ∵ 驻点唯一 ∴ 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 平面x+y-4z=1的法矢量 当 ∥ 时，即 得： , ∵ 在 点处切平面平行已知平面 ∴ 点 到平面距离最短， 例2、在曲面 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 ∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为： 即 ， ∴ 四面体体积 故令 由 得： ∵ 驻点唯一 ∴ 为所求点。 例3、在第一象限内，过椭圆曲线 上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。 解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为： 切线与两坐标轴的截距分别为 若要使S最小，只要 最大 故设 由 得： ∵ 驻点唯一 ∴ 例4、P212 例5.32 5.33 第六章 多元函数的积分 10二重积分 1、定义 P225 2、性质 P226 其中 表示平面区域D的面积 , ， 表D的面积 3、几何意义 ， ，则 表示以 为顶，以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法 设 用 平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形 其面积 例1、计算二重积分 其中D由曲线 直线 及 轴所围成。 解：首先画出积分区域D 例2、将二重积分 化为累次积分，其中D为： (1) 抛物线 及 所围成 解： 交点 ═ (2) 圆 ， ， 所围 (3) ， ， 所围， 例3、计算 , 0≤y≤1 例4、P228，例6.1，6.2，6.3 例5、 ，则 解： 例6、 例7、交换积分次序 例8、 P231 例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.10 5、二重积分在极坐标下计算 例9、计算 D： 解： 例10、 D：由 ， ， ， 所围。 解： 例11、 D由 , 及 轴所围。 得交点 例12、P238 例6.13 6.14 6.15 例13、证明 证： EMBED Equation.3 又 例14、设f(x) 在 [a,b]上连续且单调增加，试证： 证：设 ∵ 单增 ∴ ∴ 即 得： �EMBED Equation.3��� �EMBED Unknown��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Unknown��� �EMBED Unknown��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� 1 �EMBED Equation.3��� 1 0 �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� 1 �EMBED Equation.3��� 0 �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� 2 �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� 0 �EMBED Unknown��� �EMBED Unknown��� D关于 y=x对称 _1055605135.unknown _1055605212.unknown _1055605284.unknown _1055605303.unknown _1055605312.unknown _1055605316.unknown _1055605320.unknown _1055605322.unknown _1055678073.unknown _1055678128.vsd _1055605321.unknown _1055605318.unknown _1055605319.unknown _1055605317.unknown _1055605314.unknown _1055605315.unknown _1055605313.unknown _1055605308.unknown _1055605310.unknown _1055605311.unknown _1055605309.unknown _1055605305.unknown _1055605306.unknown _1055605304.unknown _1055605295.unknown _1055605299.unknown _1055605301.unknown _1055605302.unknown _1055605300.unknown _1055605297.unknown _1055605298.unknown _1055605296.unknown _1055605288.unknown _1055605291.unknown _1055605292.unknown _1055605289.unknown _1055605286.unknown _1055605287.unknown _1055605285.unknown _1055605240.unknown _1055605268.unknown _1055605280.unknown _1055605282.unknown _1055605283.unknown _1055605281.unknown _1055605277.unknown _1055605279.unknown _1055605271.unknown _1055605273.unknown _1055605276.vsd _1055605270.unknown _1055605255.unknown _1055605259.unknown _1055605264.unknown _1055605267.unknown _1055605266.unknown _1055605261.unknown _1055605258.unknown _1055605257.unknown _1055605251.unknown _1055605252.unknown _1055605254.unknown _1055605243.unknown _1055605248.unknown _1055605249.unknown _1055605245.unknown _1055605242.unknown _1055605222.unknown _1055605227.unknown _1055605233.unknown _1055605236.unknown _1055605239.unknown _1055605234.unknown _1055605231.unknown _1055605232.unknown _1055605228.unknown _1055605225.unknown _1055605226.unknown _1055605223.unknown _1055605216.unknown _1055605220.unknown _1055605221.unknown _1055605219.unknown _1055605218.vsd _1055605214.unknown _1055605215.unknown _1055605213.unknown _1055605171.unknown _1055605188.unknown _1055605196.unknown _1055605203.unknown _1055605207.unknown _1055605210.unknown _1055605209.vsd _1055605206.unknown _1055605205.unknown _1055605201.unknown _1055605202.unknown _1055605200.unknown _1055605198.vsd _1055605192.unknown _1055605194.unknown _1055605195.unknown _1055605193.unknown _1055605190.unknown _1055605191.unknown _1055605189.unknown _1055605179.unknown _1055605184.unknown _1055605186.unknown _1055605187.unknown _1055605185.unknown _1055605181.unknown _1055605182.unknown _1055605180.unknown _1055605175.unknown _1055605177.unknown _1055605178.unknown _1055605176.unknown _1055605173.unknown _1055605174.unknown _1055605172.unknown _1055605154.unknown _1055605162.unknown _1055605167.unknown _1055605169.unknown _1055605170.unknown _1055605168.unknown _1055605165.unknown _1055605166.unknown _1055605163.unknown _1055605158.unknown _1055605160.unknown _1055605161.unknown _1055605159.unknown _1055605156.unknown _1055605157.unknown _1055605155.unknown _1055605143.unknown _1055605150.unknown _1055605152.unknown _1055605153.unknown _1055605151.unknown _1055605147.unknown _1055605149.unknown _1055605144.unknown _1055605146.unknown _1055605139.unknown _1055605141.unknown _1055605142.unknown _1055605140.unknown _1055605137.unknown _1055605138.unknown _1055605136.unknown _1055605101.unknown _1055605118.unknown _1055605126.unknown _1055605130.unknown _1055605133.unknown _1055605134.unknown _1055605131.unknown _1055605128.unknown _1055605129.unknown _1055605127.unknown _1055605122.unknown _1055605124.unknown _1055605125.unknown _1055605123.unknown _1055605120.unknown _1055605121.unknown _1055605119.unknown _1055605109.unknown _1055605114.unknown _1055605116.unknown _1055605117.unknown _1055605115.unknown _1055605112.unknown _1055605113.unknown _1055605110.unknown _1055605105.unknown _1055605107.unknown _1055605108.unknown _1055605106.unknown _1055605103.unknown _1055605104.unknown _1055605102.unknown _1055605084.unknown _1055605093.unknown _1055605097.unknown _1055605099.unknown _1055605100.unknown _1055605098.unknown _1055605095.unknown _1055605096.unknown _1055605094.unknown _1055605088.unknown _1055605090.unknown _1055605091.unknown _1055605089.unknown _1055605086.unknown _1055605087.unknown _1055605085.unknown _1055605076.unknown _1055605080.unknown _1055605082.unknown _1055605083.unknown _1055605081.unknown _1055605078.unknown _1055605079.unknown _1055605077.unknown _1055605071.unknown _1055605074.unknown _1055605075.unknown _1055605073.unknown _1055605069.unknown _1055605070.unknown _1055605068.unknown