[精彩]揣摸
数增减性
判断函数增减性
组合函数
增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减
复合函数
定义
一般地,对于两个函数和,当函数的值域()是,,,,,,y,fuu,gxu,gxRgRg,,
的定义域的子集时,通过变量,可以
示成的函数,那么称y,,ux,,,,y,fuy,fgxDf
这个函数为函数和的复合函数,其中称为自变量,为中间变量,为y,,,,xuy,fuu,gx
因变量。
生成条件 Rg,Df,Rg,,
定义域
若函数的定义域是,的定义域是Dg,则复合函数的定义域,,,,,,,,y,fuDfu,gxy,fgx
,即取两个函数定义域的交集。 ,,Dy,Df,Dg
备注:
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。
周期性
设函数的最小正周期为,的最小正周期为,则复合函数,,T,,T,,,,y,fuu,gxy,fgx12
,的最小正周期为,任一周期可表示为。 T*T,,k*T*Tk,R1212
增减性
,,,,根据y,fu,u,gx的单调性决定。 即“增增得增,减减得增,增减得减”,可以简化为“同增异减”
推导:
,,,,t,gxy,ft令,则
,,,,gxxgx是增函数,越大,越大,即越大 t
,,,,ftft若是增函数,则越大,即越大 (同增) y
,,,,ftft若是减函数,则越小,即越小 (异减) y
判断复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数定义域;
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指数、对数函数);
(3)判断每个常见函数的单调性; (4)将复合函数的定义域分段(每个常见函数在每段定义域上具有单调性);
(5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。 例如:
2x,4x,3讨论函数的单调性。 y,0.8
解:函数定义域为R
2u令 则 u,x,4x,3y,0.8
uR指数函数在定义域上是减函数 y,0.8
2二次函数u,x,4x,3在上是减函数,上是增函数 ,,,,,,,22,,,
2x,4x,3因此,函数在上是增函数,上是减函数 ,,,,,,,22,,,y,0.8
求导
复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,,,,,,,,y,fgxy,fuu,gx
,,,y,y,u xux