[指南]一类二阶常系数线性非齐次方程的特解公式

[指南]一类二阶常系数线性非齐次方程的特解 ,x,,,y，py，qy,e(Acos,x，Bsin,x)方程的一个特解公式 邢进喜 黑龙江农业经济职业学院基础部～黑龙江～牡丹江～157041 ,x,,,摘要 本文给出了方程的一个特解公式，并y，py，qy,e(Acos,x，Bsin,x)举例说明了该公式在求某些微分方程特解时的方便快捷之功效。 关键词 微分方程 特解公式 对于微分方程 ,x,,,， (1) y，py，qy,e(Acos,x，Bsin,x) 其中均为常数，且，记 p,q,A,B,,,,,,0 22，， (2) ,,(2,，p),,,,，p,，q,, 则有 22引理 是方程(1)的特征根且.,,,i,,,,0p,,2,,,q,,，, 证 是方程(1)的特征根 ,,,i 2 (,,,i)，p(,,,i)，q,0, 22 (,，p,，q,,),[(2,，p),]i,0, ,,,,0, 22且 2,，p,0,，p,，q,,,0, 22且. p,,2,q,,，,, 定理 方程(1)在不是其特征根时有一特解为 ,,,i ,,,,,,A,BB，A,x,,*cos,sin,y,ex，x， (3)2222,,，，,,,,,, 在是其特征根时有一特解为 ,,,i ,,BA,x,,y,xe,x，x. (4) *cos,sin,,,22,,,, 公式(3)与(4)可运用我们熟知的待定系数法并结合引理推得，也可将(3)(4)式 直接代入方程(1)并利用引理验证其正确性. 2x,,,例1 求微分方程的一个特解.y，5y，6y,e(4cos3x，7sin3x) 解 运用公式(3)， 22,,2，5，2，6,3,11，， ,,(2，2，5)，3,27 ，,，，，，411727711427,,2x y*,ecos3x，sin3x,,2222，，11271127,, 2937,,2x. ,e,cos3x，sin3x,,170170,, 3x,,,例2 求微分方程的一个特解.y,6y，25y,e(5cos4x，8sin4x) 解 因为 2222,2,,,2，3,,6,p，， ,，,,3，4,25,q所以由公式(4)得 855,,,,3x3x.y*,xe,cos4x，sin4x,xe,cos4x，sin4x,,,,2，42，48,,,, 下面针对方程(1)的两种常见特殊情形给出定理的两个推论. ,,0B,0在定理中令，，可得 ,,,推论1 方程在不是其特征根时有一特解为y，py，qy,Acos,x,,i ,,,,2,,(其中，)， (5)y*,Acos,x，sin,x,,p,,,q,,2222,,，，,,,,,, 2在是其特征根时(此时，)有一特解为 p,0,,iq,, A. (6) y*,xsin,x2, 特别地，当时，公式(5)(6)分别变为 ,,1 ,,q,1p/,,， (5)y*,Acosx，sinx2222,,(q,1)，p(q,1)，p,, A/y*,xsinx. (6) 2 ,,,例3 求微分方程的一个特解. y，5y，6y,4cos3x 解 运用公式(5)， 2,,6,3,,3，， ,,5，3,15 ，，,315210,,cos3x，sin3x.y*,4cos3x，sin3x,,22223939(,3)，15(,3)，15，， ,,例4 求微分方程的一个特解. y，36y,5cos6x ,6i解 显然是特征根，故由公式(6)得 55y*,xsin6x,xsin6x. 2，612 ,,0A,0与推论1类似，在定理中令，，可得 ,,,推论2 方程在不是其特征根时有一特解为y，py，qy,Bsin,x,,i ,,,,,2,,*cos,sin,y,Bx，x(其中，)， (7),,p,,,q,,2222,,，，,,,,,, 在是其特征根时有一特解为 ,,i B. (8) y*,,xcos,x2, 特别地，当时，公式(7)(8)分别变为 ,,1 ，，,pq,1/y*,Bcosx，sinx， (7),,2222(q,1)，p(q,1)，p，， B/y*,,xcosx. (8) 2 ,,,例5 求微分方程的一个特解. y，6y，4y,7sinx /,i解 显然不是特征根，故由公式(7)得 ,63147,,. y*,7cosx，sinx,,cosx，sinx,,222215153，63，6,, ,,例6 求微分方程y，y,8sinx的一个特解. /,i解 显然是特征根，故由公式(8)得 y*,,4xcosx.