形成三星星座的小推力变轨的时间最短控制

形成三星星座的小推力变轨的时间最短控制 宇航学报第 22 卷 第 6 期V o .l 22 N o. 6 2001 年 11 月. 2001JOU RN A L O F A ST RON A U T IC S N o v 形成三星星座的小推力变轨的时间最短控制 1231 王志刚陈士橹李人厚李卿 ( )11 上海航天技术研究院, 上海 200233; 21 西北工业大学, 西安 710072; 31 西安交通大学, 西安 710049 摘 要: 在研究和发展星座技术中, 星座的发射是一项关键技术。本文针对形成三星星座,利用最优控制中的极小值原理, 解算了用恒值、连续工作、牛顿级小推力变轨的时间最短控制 问。文中建立了最优小推力变轨的数学模型, 求得了最优变轨的解析解, 并通过牛顿下山法 求解了三星星座变轨的小推力工作最优时间、最优方向和最优变轨轨迹。最后对星座变轨小推 力最优控制实现的途径进行了探讨。为工程应用和研究提供参考。 关键词: 三星星座; 小推力变轨; 极小值原理; 时间最短控制 () 文章编号: 100021328 20010620035205 中图分类号: 44812 文献标识码: V A - O PT IM AL T IM E CO NTROL O F LOW THRUST O RB IT - TRA NSFER FO R M A K ING THREESTA TELL ITE CO NSTELL A T IO N 1 1 2 3W an g Zh igan gL i Q in gC h en Sh ilu L i R en ho u ( 11, . 222 , 200233;Sh angh a i A cadem y o f Sp acef ligh t T ech no lo gyN oC ao x i Ro adSh angh a 21, 710072;N o r thw e ste rn Po ly tech n ica l U n ive r sityX i’an )31, 710049X i’an J iao to ng U n ive r sityX i’an A bstrac t: In re sea rch and deve lop o f sa te llite co n ste lla t io n, th e launch ing is o ne o f th e k ey . , 2, tech no lo g ie sIn th e p ap e rco n side r ing th reesa te llite co n ste lla t io nop t im a l t im e co n t ro l o f o rb it , , t ran sfe r w ith co n stan t va lueco n t inue w o rk ing and N ew to n g rade th ru st is stud iedby m ean s . o f M in im um P r inc ip le in op t im a l co n t ro l th eo ryT h e m a th em a t ica l m o de l o f op t im a l t im e 2, , , co n t ro l o f low th ru st o rb it t ran sfe r is fo undedth e op t im a l ana ly t ic so lu t io n s a re go tin fu r th e r 2th e op t im a l t im e and d irec to ry o f o rb it t ran sfe r low th ru st and th e op t im a l t ran sfe r t ra jec to r ie s . , a re so lved w ith N ew to n ite ra ted m e tho dIn add it io neng inee r ing m e tho d o f op t im a l co n t ro l o f . o rb it t ran sfe r th ru st is d iscu ssedA ll o f abo ve g ive th e refe rence s fo r eng inee r ing and study .app lica t io n : 2; ; ; Key wordsT h reesa te llite Co n ste lla t io nL ow th ru st o rb it t ran sfe rM in im um p r inc ip leO p t im a l t im e co n t ro l 收稿日期: 2000203227, 修回日期: 2001203215 ( ) 作者简介: 王志刚19682, 男, 付教授, 博士后, 飞行器动力学与控制专业, 从事飞行器总体、轨道姿态与控制研究。 的发射技术中, 由于火箭发射入轨精度的限制, 一般很难用火箭直接发射卫星而形成星座,因此, 需要采用变轨技术。本文针对三星异轨星座, 利用最优控制中的极小值原理, 进行星座 的最优变轨技术研究。 在三星星座中, 典型的构型是: 一颗星作为参考星, 一颗星机动到同轨, 另一颗星机动到 异轨。拟采用一箭三星发射, 然后变轨, 使卫星按星座布局入轨。为了提高控制精度, 用恒值、 1, 2 连续工作、牛顿级小推力进行变轨。为了使卫星携带的燃料最少, 需要对变轨小推力进行2, 3 最优控制研究。 2 数学模型 假设: 地心中心引力场, 地球为球形, 不计大气阻力, 变轨推力加速度为常值。 定义 0坐标系为: 原点 为主星质心, 方向沿主星位置矢量, 即由地心指向主星u vw O u 方向, 方向沿主星飞行方向, 、、 轴组成右手坐标系。v uvw 2. 1 运动方程 4() 两个飞行器的近距离相对运动方程, 可采用 22方程 , C lo h e ssyW ilt sh ire C W rrrx , x , x=x=5 x= x ,4 1 2 3 6 ()1 2 rrr2 2Ξx + 3Ξx + a e,= x = - 2Ξx + a e, 5 1 u x = - Ξx + a ex4 5 4 v 6 3 w T T 其中, , = u , v , w ]= [ u , v , w ]为推力加速度矢量, 为 为主星轨道旋转角速度= Ξ a a a aa ea eeee 其单位矢量。 状态向量包括相对位置和速度, 控制向量取推力方向, 分别为 , , ,= x x 1 x 2 x 3 T T T T x 4 , x 5 , x 6 ], U= e= eu , ev , ew ], 其中, 相对位置和速度为 r= x 1 , x 2 , x 3 ], V= x 4 , x 5 , x 6 ]。2. 2 性能指标 在变轨中, 优化设计的目的是使变轨发动机消耗燃料最少。对恒值连续工作小推力发动 机, 燃料消耗量和工作时间成正比。 因此, 可选性能指标为: 使小推力工作时间最小, 即 t f()2 t = m in1d tm in J = f ?t 0 2. 3 边界条件 ( ) () () () () () () ()初始条件: 3 X t0 = x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 终止条件: ()4 X tf = x 1 tf , x 2 tf , x 3 tf , x 4 tf , x 5 tf , x 6 tf ] 2. 4 控制量约束 ()5 e? 1, j = u , v , w|| j 2. 5 应用极小值原理求最优小推力变轨控制方程 T T 引入 = , , ], = , , ]为 的共轭矢量, 则哈米尔顿函数为Κr Κ1 Κ2 Κ3 ΚV Κ4 Κ5 Κ6 X r r r r r r T T T T ()H = 1 + Κ[ x, x, x]+Κ[ x, x, x]=H + H 6 r 1 2 3 V 4 5 6 0 1 2 T T 2 ()- , = 2其中, = 1+ r + 3- V 7 + 2ΞΚ5 x 4 ΞΚ6 x 3 H 1 a Κe H 0 ΚVΞΚ4 x 5 ΞΚ4 x 1 因为 中不显含控制变量 , 在 中显含 , 根据极小值原理, 只需讨论显含控制量的 H 0 eH 1 eH 1 取极小值即可。 当 与 反向时, 取极小值。 此时,ΚV e H 1 第 6 期王志刚等: 形成三星星座的小推力变轨的时间最短控制37 3 3 3 222ΚΚΚΚV 4 5 6 33333 3 3 3 ()= 8 4 5 Κ6 = - , 或, e= - , e= - , e= - , Κeu v w V Κ+ Κ+ 3 3 3 3 ΚΚΚ V VVVΚ 故, 只要解出了 ΚV , 也就确定了最佳推力方向。另外, 由极小值原理可得: 若哈米尔顿函数不 3 3 3( ) ( ) ( ) = 显 含时间 , 则, 哈米尔顿函数沿最优轨迹保持常数, 即, [, , , ? ttH X tU tΚct 3 3 3 ( ) ( ) ( ) [ , ]如果终端时刻自由, 则 [, , = 0, ?[ , ] 那么, t0 tf H X tU tΚttt0 tf 3 3 3 32 3 33 33 T 3 2 3 3 T()1 + - = 0 r + 2ΞΚ4 x 5 + 3ΞΚ4 x 1 - 2ΞΚ5 x 4 6 3 V e9 ΚVΞΚx + a Κ 的条件: () () 由式 8, 9可得求解终止时刻 tf 3 3 32 3 33 33T 3 2 3 3 ()1 + + - = 0 10 2ΞΚ4 x 5 + 3ΞΚ4 x 1 - 2ΞΚ5 x 4 6 3 - a Κ ΚVΞΚx T V 2. 6 正则方程 5H 5H 5H rrr x=x , x=x , x=x , = = = 1 4 2 5 3 6 5Κ5Κ5Κ 123 5H 5H 5H r r r 2 2 2 2 2 a Κ 2Ξx + 2Ξx + x=3Ξx +a Κ,x=a Κ,x=Ξx +6 5 = - 4 = - = 4 1 4 5 5 6 3 5Κ45Κ55Κ6 ()11 r rr5H 5H 5H 2 2 3ΞΚ, = ΞΚ Κ1 = - = - = 0, 4 Κ2 = - Κ3 = - 6 5 5x 5x 123x ()12 r rr5H 5H 5H 2ΞΚ, = - Κ + Κ = - = - Κ - 2ΞΚ, Κ = - = - Κ Κ4 = - 1 5 5 2 4 6 3 5 45x 55x 6x 3 最优问题的解算 5 ()( ) () ( ) () 13 对正则方程求解, 易得, 6 : Κi t= Κi [ Κi 0, t , x i t= x i [ Κi 0, t , i= 1, 2, () () , 6。( ) () 把终端条件 , = 代入式 13, 并整理成方程14, 即可求解 0, = 1, 2, tf x tf x f Κi i ()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ bt0 0 ctctctct1 01 f 11 f 12 f 14 f 15 f ( )( )( )( )ctctctct()0 ( ) 21 f 22 f 24 f 25 f Κ 0 bt2 02 f ( )() ct0 Κ0( ) 0 0 0 ( ) 33 f 3 btct3 f 36 f ()14 = () ( )( )( )( )Κ0( ) ctct0 ctct0 4 bt41 f 42 f 44 f 45 f 4 f ()( )( )( )( )Κ0ctctctct5 ( ) 51 f 52 f 0 54 f 55 f bt0 5 f ( )( ) ()( )bt0 0 0 0 ct6 f 0c66 tf Κ6 63 f 5 () ( ) ( ) 其中, 容易推得 , 是含 的表达式。 这里的 尚未知, 而 利用条件 10, 即cij tf bi tf tftf tf 3 3T 3 2 3 3 3 32 3 33 3()( ) - F t= 1 + + 2ΞΚx + 3ΞΚx - 2ΞΚx - a Κ ΚV5 4 ΞΚ6 x 3V = 0 15 f r 4 5 4 1 ?( ) ( ) 用迭代法求得。 可采用牛顿下山法, f k + 1 = f k - f k f k , = 0, 1, 2, 其中, ƒ为下山 ttΡF tF tk Ρ 3 3( ) 因子。 通过以上迭代过程, 求出最优终止时刻 , 随之求出最优伴随向量初值 tf Κ0 , = 1, i i 333 ( ) ( ) , 6、最优轨迹 , 6 和最优控制 , 2, , 6、最优伴随向量 1, 2, x ej jΚi t , i= 1, 2, i t , i= = , , 。 u v w 4 算例 4. 1 计算条件和计算结果 以图 1 所示三星星座为例, 假设第 1 颗星为主星, 第 2、3 颗星为副星。 计算条件和计算 - 2 变轨小推力选牛顿级推力。变轨加速度 23是 1推力产生的加速度。作为比较, 选 = 4a em sN - 2 用了 20推力, 其产生加速度为 22。= 8N a em s 表 1 小推力变轨的时间最短控制的条件和计算结果 参 数星 2星 3 () 0. 0 0. 0 tt t sff ()- 1. 015 - 411. 008 - 4. 576 - 410. 948 x 1 m 端 () - 31. 979 - 13563. 620 - 67. 794 - 77998. 917 x 2 m 点 () 0. 000 76816. 343 0. 000 0. 000 x 3 m 条 - 1() - 0. 063 - 0. 134 0. 000 - 0. 724- 3 件 x 4 m se- 1() 0. 002 0. 395 0. 009 0. 000 x 5 m s- 1() 0. 000 0. 140 0. 000 0. 000 x 6 m s - 2 )(4. 000- 3 8. 000- 2 4. 000- 3 8. 000- 2 eeeea m s计算条件 ( ) 初值 100. 000 100. 000 100. 000 100. 000 tf 0 s3 ( ) 计算结果最优值 3 1. 2613 2. 7903 2. 6373 3. 166tseeeef 第 6 期王志刚等: 形成三星星座的小推力变轨的时间最短控制39 4. 2 计算结果 从表 1 可见, 对同一颗卫星而言, 较小推力变轨时间比较大推力变轨时间长, 而且, 对变 轨到异轨的卫星, 这个结论更加明显。 因此, 从时间方面考虑, 较大推力变轨好。 另外, 星座 小推力变轨时间远小于双脉冲变轨时间, 因此, 需要较快地进行星座变轨时, 最好选择小推 力变轨。 对变轨到异轨的星 2, 由图 2、4 所示的控制曲线可见, 、方向的推力分量有变化, 但 uw 方向不反向, 而 方向的推力分量有反向, 推力越大, 反向越明显。 这随推力的增大, 过v 控问题越明显。 因此, 较小推力变轨好。 对变轨到同轨的星 3, 由图 6、8 可见, 、方向的推 uv 力分量方向均有变化, 但不反向。 因此, 较小推力变轨好。 从仿真曲线图 2—9 可见, 通过对变轨小推力实施所设计的最优控制, 使推力工作时间 最短, 并沿最优轨迹变轨, 落点准确。可见, 本文对星座小推力变轨的时间最短控制的优化设 计是十分有效的, 而且计算速度较快, 精度较高。 另外, 所选三星星座的变轨, 既有同轨变轨, 也有异轨变轨。 因此, 所取得的结论普遍适 用于星座变轨的一般情况。 4. 3 小推力变轨的工程实现探讨 由于推力大小恒定, 对推力的控制是控制其方向。 从各条推力控制理论曲线可见, 整个 变轨过程中, 推力方向变化较大。 实际中, 卫星变轨发动机固定安装, 对一台发动机, 要使推 力方向作较大变化, 必须使卫星姿态作较大机动, 这种情况只有在卫星姿控为零动量或喷气 三轴控制的情况下才有可能, 并且对姿控精度要求较高。 然而, 从图 2、4、6、8 所示变轨推力 最优控制理论曲线可见, 最优变轨推力控制曲线可分段, 在各段, 推力控制曲线近似为直线, 即推力方向恒定。这样, 在各控制段分别用一台发动机, 就容易实现对变轨的准最优控制, 而 且, 变轨过程除要求姿控系统保证一定控制精度外, 没有其它要求。从图 2、4、6、8 可见, 三星 星座变轨的推力控制曲线, 可分三段, 分别用直线逼近, 这样每颗变轨卫星在由三段控制直 线所确定的三个方向装上发动机, 就可实现准最优变轨。 [ 参 考 文 献 ] . 22, , . . , 1 Sch ee l W A et a lO p t im iza t io n o f V e ryL ow T h ru stM any R evo lu t io n Sp acec raf t T ra jec to r ie sJGu idanceCo n t ro l ( ), 1994, 17 6and D ynam ic s . , . 22942017. AM a r ine scu et a lO p t im a l L ow T h ru st R endezvo u s o n E llip t ica l O rb it sIA F 2 2ƒ29623788. 1210. . . Sh inW h a r L iuT a run ra j S inghF ue lT im e O p t im a l Co n t ro l o f Sp acec raf t M aneuve r sA IA A 3 4 Ю. 5. A вДeeв ц дp. ПO ЛE T KO C МИЦEC KИХ АППАРАТОВ: ПРИМЕРЫ И ЗАДАЦИ. Издателъство 《》, 1980; , 1990 Мащиностроениеc изменениями 王志刚. 空间站伴随卫星控制与航天器优化技术研究[ 博士. 西安: 西北工业大学. 1998. 9 5