高三数学高考总复习：概率∵

高三数学高考总复习：概率∵ 数学高考总复习:概率 知识网络 目标认知 考试大纲要求: 1(了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. 2(了解两个互斥事件的概率加法公式. 3(理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 4(了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义。 5(了解条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题. 重点: 理解互斥事件的概率加法公式，古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率;求简单的几何概型的概率问题;条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题. 难点: 古典概型及其概率计算公式;几何概型的意义，用条件概率和两个事件相互独立的概念，解决一些简单的实际问题. 知识要点梳理 知识点一:事件及有关概念 1(事件: 在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能: ?必然事件:在一定条件下，一定会发生的事件; ?不可能事件:在一定条件下，一定不会发生的事件; ?随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件; 必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母A、B、C„„示。 2. 基本事件: 一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个，那么这个试验由n个基本事件组成。 3(基本事件的特点: (1)不能或不必分解为更小的随机事件; (2)不同的基本事件不可能同时发生; (3)一次试验中的基本事件是彼此互斥的; (4)试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘. 知识点二:频率与概率 1(频数与频率: 在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。 2(概率: 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A的概率，记作。 概率的基本性质 ?任何事件的概率的取值范围:。 ?P(必然事件),1，P(不可能事件),0; 3(频率与概率的区别与联系: ?频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数; ?随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近 摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率。 ?概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 知识点三:古典概型 1(定义: 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 注意:古典概型也称等可能性事件的概率。 2(古典概型的基本特征: (1)有限性:即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事 件。 (2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的。 3(古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。 所以古典概型计算事件A的概率计算公式为: 4(求古典概型的概率的一般步骤: (1)算出基本事件的总个数; (2)计算事件A包含的基本事件的个数; (3)应用公式求值。 5(古典概型中求基本事件数的方法: (1)穷举法; (2)树形图; (3)排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。 知识点四:几何概型 1(定义: 事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2(几何概型的两个特点: (1)无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的; (2)等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3(几何概型的概率计算公式: 随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与 “试验的基本事件所占总面积(体积、长度)”之比来表示。 所以几何概型计算事件A的概率计算公式为: 其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。 注意:用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 知识点五:互斥事件 1(互斥事件的概念: 不可能同时发生的事件叫做互斥事件一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥 2(互斥事件有一个发生的概率: 对于事件A和事件B，用A+B表示事件A、B中有一个发生。 如果A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，则: 。 一般地，如果彼此互斥，则: 。 3(对立事件的概念: 其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作。 4(对立事件的概率: 如果A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生，则: 。 一般地，，。 注意:当计算事件A的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些。涉及“至少一个”多转化为求对立事件的概率。 5(对立事件与互斥事件的区别和联系: ?互斥事件研究的是两个事件之间的关系，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的， 两个事件互斥是 从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件 所含结果组成的集合的交集是空集。 ?立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立 事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补 集。 ?对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 知识点六:相互独立事件 1(相互独立事件的定义: 事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立 注意: ?相互独立是研究两个事件的关系; ?所研究的两个事件是在两次试验中得到的; ?两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的 2(相互独立事件同时发生的概率: 对于事件A和事件B，用表示事件A、B同时发生。 与是相互独立事件，则 一般地，事件相互独立，则: 3(互斥事件与相互独立事件的区别: 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念。两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立，是指一个事件的发生与否，对另一事件发生的概率没有影响。前者是指同一次试验中的两事件不能同时发生，后者是指在不同试验下二者互相不影响。两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。 4(独立重复试验的概率公式: 如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为: 。 令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为 令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为 。 : (1)独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验 中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的 概率都是一样的。 n (2)正好是二项式[(1,P)+P]的展开式的第k+1项，很自然联想到二项式定 理，因此这个概率分布也叫二项分布。 (3)n次独立重复试验常见实例: ?反复抛掷一枚均匀硬币 ?已知产品率的抽样 ?有放回的抽样 ?射手射击目标命中率已知的若干次射击 知识点七:条件概率 1(条件概率的概念: 设、为两个事件，且，则称是在事件发生的条件下事件B发生的概率。把读作:发生的条件下B发生的概率。 2(条件概率的性质: (1); (2)若B、C为互斥事件，则 规律方法指导 1(求概率问题的一般步骤: ?确定事件的性质:古典概型、几何概型、互斥事件、对立事件、独立事件、独立重复实验、条件概 率; ?判定事件的运算:和事件还是积事件、至少一个发生还是同时发生，分别应用相加或 相乘概率公式; ?正确应用相应的公式求解。 ?可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。 2(对于事件A、B ?当A、B互斥时，事件A+B的概率有:P(A+B)=P(A)+P(B)， ?当A、B对立时，事件A+B的概率有:P(A+B)=P(A)+P(B)=1。 ?当A、B是任何两个事件时，事件A+B的概率有P(A+B)=P(A)+P(B),P(A?B)。