[优质文档]椭圆周长公式的推导

[优质文档]椭圆周长公式的推导 椭圆周长 椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。 在平面坐标系内 22xy ，,1a,0,b,0.椭圆的方程为 ，22ab ，，x,acos,,y,bsin,,0,,,2,参数方程为 a,b当时，椭圆图像为 微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。 若某条光滑曲线，能用参数方程表示 ，，，，x,Xty,Yt， ,,t,,当时，该段曲线的长度可表示为 L ,22 ，，，，,,,,L,X't，Y'tdt ,, 下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原 ,2222点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则2L,4a,sin，bcos,,d, 0 ,22222,4a1,cos,，bcos,,d, 0，， , 222,4a1,ecos,d,, 0 1„„„„„„„? 22a,bce,,其中，椭圆的离心率。 2aa 这个积分很难求出来，需要用一定的技巧:先用泰勒公 221,ecos,式把展开。 kk1k(k1)(k2),,,，，k231x1kxxx，，，,，，，，„„2!3! 1k,当时，可得 2 n1,n,x12n3!!x，，，，,, 1x1，,，，,n 22n!n2, 22x,,ecos,在此式中令可得 222n2n,ecos2n3!!ecos，，,,,221ecos1,,,,,, n22n!n2, 2„„„„„? ，，，，2n,1!!,1，3，5，,,,,,,,，2n,1其中 21把?式代入?式周长L的计算试中后，那个复杂的定积 分便能迎刃而解了，所以 ,nn2222,,,,ecos2n3!!ecos，，2,,,,L4a1d,n,022n!n,2 ,,n22,,,，，,,，，e2n3!!e,,n2222,,,4acos,,dcos,d,,,,,,n,,00222n!,,n,2，，,, 3„„„„„? 这个式子还是很复杂，需要把中括号部分进行化简变换 一下。先求出 ,,1352n1,n22，,,，cosd,，，，,,,,,,，，,02462n2 2n1!!，，,, ,，n22n! 4„„„„„„? 43把?式代入?式，周长L就能很快得出来了。于是 2n2,,,,,,，，，，，，，，e11,3,5,,,2n,32n,1e,,,,L,4a,，,，,,,,,,,2n22222,,n,2，，，，2n!2n,1,,,,，，,, 2n2,,,，，，，1,3,5,,,,2n,1e,,,,,,2a1,,,,,,,,2,4,6,,,,2n2n,1,,n,1,,,, ，，,, 2n2,,,，，，，,,2n,1!!e,,,,,2,a1,,,,,,,,，，2n!!2n1,n,1,,,,,,，，,, 这就是椭圆周长的公式，既著名的“项名达公式”，相当的复杂，这应该是最精确的了，另外还有很多的近似公式，不过误差太大，但可以满足上的应用。现在科技如此发达，有一些数学软件可以计算出椭圆周长，而且结果相当的准确。计算原理就是定积分的应用，但这个积分不容易求出来，需要有一定的数学能力，有一定的耐心，以及对泰勒公式的应用要求较高。对周长级数形式L进行展开得 22468，，1131351357eeee,,,,,,,,,21,,,,,,,,,,,,,,,,,La,,,,,,,,,,21243246524687,,,,,,,,,,，， 5„„„„„? 22a,b e,2a其中为半长轴，为椭圆的离心率。a 22xy ，,13a,5b,4e,例如,当椭圆方程为时，，，25165 则周长为 2222468，，113e135e1357e,,,,,,,,2L,2a1,e,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2243246524687,,,,,,,,,,，，,28.36 另外有些近似公式作的也很好，例如 3，， L,a，b,ab，，, ,, 2，， 5其实它是根据?式近似计算来的，计算精度还行，推导过程有点复杂。 椭圆周长的计算方法有很多，这只是其中一种而已，但得到的结果都不“完美”，任然需要科学爱好者努力攻克这个小小的问题。 当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值， 这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。