第7讲 物以类聚——话说同类项

第7讲 物以类聚——话说同类项 新课标七年级数学竞赛讲座 第七讲 物以类聚——话说同类项 俗话说“物以类聚，人以群分”(在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项(整式的加减实质就是去括号合并同类项( 整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点: 理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则( 解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化( 例题 的取值范围为 时，式子的值恒为 【例1】 当,4x，4,7x,1,3x，4x 一个常数，这个值是 ( (北京市“迎春杯”竞赛题) 思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“”的项，由此得出的xx取值范围( 注:数学概念是容的基础(是数学推理和论证的基础(科学研究明，概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段: (1)辨别不同的事物; (2)抽象一类事物的共同属性; (3)用简洁的语言符号给概念下定义、定名称( 在概念学习中，应注意以下策略: (1)关键字词理解的策略; (2)正、反例对比策略; (3)相似概念比较策略;(4)概念系统化策略( ba【例2】已知则化简得( )( a，b,0,a,b,(a，1)，(b，1)ab A(2a B(2b C(十2 D(一2 (江苏省竞赛题) 思路点拨 由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键( 113x,,4,y,, 【例3】 已知x,2，y=一4时，代数式，求当ax，by，5,199722 3时，代数式的值( 3ax,24by，4986 思路点拨 一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的(为什么?)解本例的关键是:将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值( 3223 【例4】已知关于;的二次多项式，当 x=2时a(x,x，3x)，b(2x，x)，x,5的值为一17，求当x=一2时，该多项式的值( (“希望杯”邀请赛培训题) 思路点拨 设法求出a，b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式( 【例4】(1)已知:5?(x+9y)(x，y为整数)，求证:5?(8x十7y) ( (2)试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和( (全国初中数学联赛) www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 新课标七年级数学竞赛讲座 思路点拨 (1)尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式，(2)逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论( 注:解代数式化简求值问题的基本方法有:将字母的值代入或字母间的关系整体代入等(关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一 种常用工具( “回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示( 欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换，充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题( 数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式(教学中的许多结论就是通过类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法( 学力训练 xn,122mx是同类项，那么= ( 1(已知2ab与,3ab(2m,n) (江苏省竞赛题) 222(已知代数式(2x+ax-y+6),(2bx-3x+5y-1)( (1)当a= ，b= 时，此代数式的值与字母x的取值无关; 22(2)在(1)的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)一(4a+ab+b)的值为 ( 32323(已知a=1999，则= ( 3a,2a，4a,1,3a,3a，3a,2001 334(已知当x=一2时，代数式的值为6，那么当 x=2时，代数式的ax，bx，1ax，bx，1值是 ( (安徽省中考题) 5(火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为( )( A( 4x+4y+10z B(x+2y+3z C( 2x+4y+6z D( 6x+8y+6z (太原节中考题) 6(同时都含有字母，且系数为1的7次单项式共有( ) ( a、b、c A (4个 B(12个 C( 15个 D(25个 (北京市竞赛题) a,a，b，c,a，b,c7(有理数在数轴上的位置如图所示:则代数式化简后a、b、c 的结果是( )( A(2一a B(2a一2b C(2c—a D(a 28(已知，那么的值为( )( ,m，2n,255(m,2n)，6n,3m,60 A(80 S(10 C(210 D(40 9(把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如图所示，已知: 12222， ， ，，若正方体A,x,4xy，3yC,3x,2xy,yE,B,2CB,(C,A)2 相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F( www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 新课标七年级数学竞赛讲座 bcm2n,1nm10(已知单项式与单项式的和为，求abc的值( 0.25xy,0.125xy0.625xy 543211(对于整式6x+5x+4x+3x+2x+2002，给定x的一个数值后，如果小颖按四则运算的计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法(小明说:“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5 次”(小明同学的说法是 的((填“对”或“错”) ( “希望杯”邀请赛试题) 12(若，则, ( a,b,2,b,c,,3,c,d,5(a,c)(b,d),(a,d) 313(当x,2时，代数式的值等于一17，那么当x,一1时，代数式 ax,bx，1 3 12ax—3bx—5的值等于 ( (北京市“迎春杯”竞赛题) 14(将1，2，3，„„，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两 1个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其(a,b，a，b)2 结果，50组数代人后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是 ( 15(计算1+2—3—4+5+6一7一8+9+10—1l一12„„+1993+1994—1995一 1996+1997+1998—1999—2000，最后结果是( )( A(0 B(一1 C(1999 D(一2000 a16(已知，则a,b，a，b，ab等于( )( a,,b且,0b A(2a+2b+ab B(一ab C(一2a一2b+ab D(一2a+ab 253x(ax，bx，cx)17(已知代数式，当x,l时，值为l，那么该代数式当x,一l时的值42x，dx 是( )( A(1 B(一l C(0 D(2 ( “希望杯”邀请赛试题) 18(如果对于某一特定范围内x的任意允许值的p,1,2x，1,3x，？，1,9x，1,10x值恒为一常数，则此值为( ) A(2 B(3 C(4 D( 5 (安徽省竞赛题) 19((1)已知a、b为整数，且n,l0a+b，如果17?a一5b，请你证明:17?n( (2)已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数( 证明:这个三位数也是11的倍数( 20(在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数(依次是这个数的百位、a、b、cabc 十位、个位数字)，并请这个人算出5个数、、、与的和N，把N告cabacbbacbcacba诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数( abc 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数而来( abc www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 新课标七年级数学竞赛讲座 21(x、y、z均为整数，且11 ?7x+2y—5z，求证:1l?3x一7y十12z( (北京市竞赛题) 3222(计算多项式的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次ax，bx，cx，d 数( 32时共有3十2+l,6(次)乘法; ?直接计算:ax，bx，cx，d 3232?利用已有幂运算结果:，计算时共有2+2+1= 5(次)乘法; x,x,xax，bx，cx，d 32?逐项迭代:，其中等式右端运算中含有3次乘,,ax，bx，cx，d,(ax，b)x，cx，d 法( 请问:(1)分别使用以上3种算法，统计算式 1098 中乘法的次数，并比较3种算法的优劣( ax，ax，ax，？，ax，a012910 nn,1n,2 (2)对n次多项式(其中为系数，a,a,a,？,aax，ax，ax，？，ax，a012n012n,1n n>1)，分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣( www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 新课标七年级数学竞赛讲座 参考答案 www.1230.org 初中数学资源网 收集整理