第三节定积分的换元积分法

第三节定积分的换元积分法 第四节 定积分的换元积分法 教学目的: 1、掌握定积分的换元积分法 教学重点: 1、定积分的换元积分公式应用。 教学难点: 1、定积分的换元积分公式。 教学内容: y,f(x),,x,,(t)a,b定理 设函数在区间上连续，函数满足: ,(,),a,(,),b(1)，， ,,x,,(t),,,,,a,b上变化时，的值在上变化， 则 (2) 当t在区间 b,,=. f(x)dxf(,(t)),(t)dt,,aa ,F(x)f(x)[a,b]F(x),f(x),x,[a,b]证明:设为在上的原函数, . d,,,t,[,,,]又 , ， F[,(t)]F[,(t)],(t)f[,(t)],(t),,dt ,F[,(t)]f[,(t)],(t)[,,,]从而 为在上的原函数,所以 b ,, f(x)dx,F(b),F(a),F[,(,)],F[,(,)]f[,(t)],(t)dt,,, a , 12例1 计算. 1,xdx, 0 ,,x:0,1x,sintdx,costdt0:0解:令,,那么,, .于是 t,,t,22 ,, 1 12222 1,xdx,costdt,(1，cos2t)dt,,, 0 0 02 ,2111,,(sin2)[(0)(00)]. ,t，t,，,，,222240 , 22例2 计算. sincosxxdx, 0 ,t:01,tx,sindtxdx,cos:0解:令 ,那么, , .于是 x,2 1,3 1t1222 . ,,,cossinxxdxtdt,, 0 0330 ,35 例3 计算. sinx,sinxdx, 0 335322解: 由于,所以 sinx,sinx,sinx(1,sinx),sinx|cosx| 33, , ,35222 sinx,sinxdx,sinxcosxdx,sinxcosxdx,,,, 0 0 2 ,,3355,2 ,2222222 ,sindsinx,sindsinx,sinx,sinx,,, 0 55,202224,,(,), . 555 22t,1t,1t,2x，1, x,，22 4 3 3x，2122例4 . dx,,,,,,,,,tdt,(t，3)dt,,, 0 1 1dx,tdtt22x，1 333113122t(3)[(9)(3)] ,，t,，,，,2323331 f(x)[,a,a]例5 设在上连续，证明: aa,f(x)f(x)dx2f(x)dx(1)若为偶函数，则有 ; ,,,a0af(x)f(x)dx(2)若为奇函数，则有= 0. ,,aa0a证 ， ,，f(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,,a,a00f(x)dx 对积分作代换，得 x,,t,,a00aaf(x)dx,,f(,t)dt,f(,t)dt,f(,x)dx， ,,,,,aa00 于是 aaaaf(x)dx,f(,x)dx，f(x)dx[f(,x)f(x)]dx=. ，,,,,,a000 f(x)f(x),f(,x)(1) 若为偶函数，即，则 aaaa,,，,,f(x)dx[f(x)f(x)]dx2f(x)dx2f(x)dx ; ,,,,,a000 f(x)f(x),,f(x)(2) 若为奇函数，即，则 aaa,,,f(x)dx,[f(,x)，f(x)]dx[f(x)f(x)]dx0. ,,,,00a f(x)[0,,]例6 设在上连续，证明 ,,,xfxdx(sin)= ， fxdx(sin),,020 ,xxsindx并利用此结果计算定积分. 2,，01cosx 证 令，则，且sinx,sin(,,x),sint， dx,,dtx,,,t t,0t,,当时;当时于是 x,0x,, ,,0,,,,,xf(sinx)dx(,t)f(sinx)dt(,t)f(sint)dt ,,,0,0 ,,,,,f(sint)dttf(sint)dt ， ,,00,,,,,f(sint)dtxf(sinx)dx ， ,,00将上式移项后两边同除以2，得 ,,,. xf(sinx)dx,f(sinx)dx,,002利用上述结论，有 ,,,xsinxsinx1,, ,,,dxdxdcosx,,,00022222，，，1cosx1cosx1cosx 2,,,. [arctancos],,x,042 2,x,, xe, x0, 4,例7 设 求. ,f(x)f(x,2)dx1,, 1,,,, 1x0.,，,1cosx x:1,4t:,1,2t,x,2dt,dx解: 令,,, .则 4 2 0 221,tf(x2)dxf(t)dtdttedt ,,,，,,,,,, 1 1 1 01cost， t02()d 0 22211t,t,t22 ()tan,,ed,t,,e,,, 1 0t2222,10cos2 211111,2,(0tan)(e1)tan . ,,,,,,，42222e2