有理函数的积分

有理函数的积分 1.有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为 其中都是常数， 为非负整数。 我们只需考虑真分式 的积分，先来考虑两种特殊类型: (?) 这种类型是容易积出来的， (?) 作适当换元(令 ), 可化为 上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为: 对第二个不定积分，记 用分部积分法可导出递推公式: 整理得 重复使用递推公式，最终归结为计算 而 可积出来为 这样就可完成对不定积分(?)的计算。 对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分 问已经解决，下面主要考虑有理真分式 (不妨设 )的积分问题。 为叙述简便，不妨设(其是将化成许多简单分式(即类型(?)、(?)) 的代数和然后逐项积分。由于类型(?)、(?)总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以 “积出来”。下面简述分解有理真分式()的步骤: 第一步 按代数学的结论，将分母 分解成实系数的一次因式与二 次因式的乘幂之积。 其中 均为自然数。 第二步 根据因式分解结构，写出 的部分分式的待定形式: 对于每个形如 的因式，所对应的部分分式为 对于每个形如 的因式，所对应的部分分式为 把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。 第三步确定待定系数:通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系 数的线性方程组，由此 解得待定系数的值。 例8.13 求 2.三角函数有理式和积分 由 及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于 的有理式(或 三角函数有理式)。用 表示对于这种函数的不定积分 我们总可通 过代换 ，化为以 为变量的有理函数的积分。理由是 ，， ， 又 ，故从而 上面的讨论说明:三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具 体问题而言，用上述方 法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。 (1) 如果是的奇函数时，即 则设即可。 例如 求(1);(2)( (2) 如果是的奇函数时，即 则设即可。 例如 求( (3) 如果是关于与的偶函数时，即 则设即可。 例如 求(1);(2)( (4) 请研究被积函数为(为自然数)时的情况。可以考虑同为偶数与 至少有一个为奇函数时这两种情况。 3.某些无理根式的不定积分 型不定积分()，对此只需令 ，就可以化成有 理函数的不定积分。 至此，我们看到有理函数或三角函数有理式总是可以“积出来”，亦即其不定积分(或原函 数)总是可以用初等函数表示出来。但要注意的是，并非每个初等函数的原函数还是初等函数。 如下面的一些看似简单的不定积分 虽然存在，但却无法用初等函数表示，这已被刘维尔(Liouville)于1835年。