[word格式] n维单形外接球半径两个几何不等式

[word格式] n维单形外接球半径两个几何不等式 n维单形外接球半径两个几何不等式 第27卷第1期太原科技大学v01.27Nol 2006年2月JOURNALOFTAIYUANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLO GYFeb.2006 文章编号:1673—2057(2006)01—0039—03 rt维单形外接球半径两个几何不等式 杨世国 (安徽教育学院数学系,合肥230061) 摘要:应用距离几何理论和解析方法,研究了It雏单形与其外心有关的It个单形外 接球半径之间的关系,建立了相关的两个几何不等式,推广了已有的一些结果. 关键词:单形.1夕f?心;外接球半径,不等式 中图分类号:O186文献标识码:A 1引言及主要结果 -—--+-+一+一+-+-+--?4-*+*+-+-+-+-+-+? 文中约定It维欧氏空间中It维Or(It)的顶点 集为{Po,P一,P},外心为O,外接球半径为,内 切球半径为r,单形Or(n)的体积为,顶点P所对 的侧面=Po…PP…P的面积为(=0,1, … ,n),棱长=IPPjl(i?;0,1,…,n).设It维 单形Or(It)=Po…PHOP…P的外接球半径为 (i=0,1,…,凡).最近文献[1]中获得如下一个 重要结果.如果单形Or(It)的外心在其内部,则有: (fIRn~l(1) 等号成立当且仅当Or(It)为正则单形. 单形Or(It)不过同一顶点的两条棱称为一对对 棱,设n维单形Or(n)的各对对棱所成角的算术平 均值为0本文研究了单形的类似问题.获得涉及 单形外心的两个更强的几何不等式. 定理1如果n维单形Or(凡)的外心O在其内 部,则有: (sin0)川)(„兀Ri?R(2) 收稿日期:2005-07-26 基金项目:安徽省教育厅科研基金资助项目(2005kj210) 作者简介:杨世国(1952一),男,教授.主要从事度量几何研究. 等号成立当且仅当Or(n)为正则单形. 定理2如果n维单形Or(n)的外心O在其内 部,则有: ()?一.()f: l. Rn~l(3) 等号成立当且仅当Or(n)为正则单形 由ngfl~Euler不等式?nr可知(箦)? ?1,且当单形or(n)的外接球半径R固定时,内切 球半径r~t:2/gcg/J,,因此()?可以足够小. 因此不等式(3)对不等式(1)作出实质性推广,同 样不等式(2)对不等式(1)也作出实质性推广. 2引理与定理的证明 为了证明定理1,定理2,我们需要引用下面几 个引理. 引理1对凡维单形or(n),有: 兀? 太原科技大学2006年 (escO)n(n+1)/4()”„(nI(4) 等号成立当且仅当(n)为正则单形. 引理2对n维单形(n),有 兀F?(ese0)?i=0 证因为点P在单形(n)内部,所以?diFi= n即塞=l,利用算术一几何平均不等式,得: 廷等?()”„= 两1)/(5)1-I . dil/(,) 等号成立当且仅当or(n)为正则单形. 不等式(5)推广了文献[4]中结果. ?) 证用文献[5]中结果: jlF?[—:—】???一? “??n?”?(7) 等号成立当且仅当(n)为正则单形. 引理3对维单形(),有: ?/n - ,(8) n!nJ, 等号成立当且仅当(n)为正则单形. 由Euler不等式R?凡r可知不等式(8)改进了 文[6]中结果: ?Rn(9) 凡! 等号成立当且仅当(n)为it!N单形. 证由单形体积公式及幂平均不等式],有: n 1 --?-r2( i=0 )?虹i=0 (?o) 利用文献[6]中两个不等式: 塞F;?两(??)0?(? ??;<(n+1)2R0?i(J? (11) (12) (11)中等号成立当且仅当(n)为正则单形,(12) 中等号成立当且仅当()的外心与重心重合,由 不等式(1O),(11),(12)便得不等式(8). 引理4设n维单形(n)内部一点P到(n) 的侧面之距离为d(=0,1,…,n)则: IId?(sin)n+1)/2(—lf旦)(13) 等号成立当且仅当(n)为正则单形且P为其内心. 由不等式(14),(5)得: /?(csc)/2(—I)!::({:d)/(n+I) (15) 由不等式(15),(9)便得不等式(13). 引理5在引理4所设条件下,有: i=0?(( 等号成立当且仅当(n)为正则单形且P为其内心. 不等式(13),(16)推广了着名的Gerber不等 式: ?((17)f=0,n 等号成立当且仅当(n)为正则单形且P为其内心. 证利用文献[5]中结果: (】i [=0F)一?——i—;.一n一 (18) 等号成立当且仅当(n)为正则单形. 由(14),(18)两式得: ( i=0 广?(19) 由不等式(8),有: 去?[()】(2o) 由(19),(20)两式得: ((【 ?一)(211 利用不等式(21),(9)便得不等式(16),由证明过 程可知(16)中等号成立当且仅当()正则单形 且P为其内心. 引理6l8对n维单形(n),有: 俨RD(Po,…,P)(22) 第27卷第1期杨世国:n维单形外接球半径两个几何不等式 其中D(Po,P,…,P)=I(a)n;.I为点集的距离 平方阵的行列式. 定理1,定理2的证明设n维单形or.(n)= OP.P…P的体积为,由引理6有:? 赫D(OPP,…,Pn)(23) 其中D(0,P.,P1,…,P)= 0 0 o2 2 1 o: 2 口1 2 o2n ? : 0 由单形体积公式,有: 01 ? 10 1o22 1 _? :: Io2 参考 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] : 011 10口22 1o2210 1o2o,|22 1 2 01n 2 o2n ? : 0 (24) = (一1),2一(n一1)! (25) 由式(23)_(25)得瑶=,即YoRoatn =. n 设单形(凡)的外心0到它的侧面之距离为 (=.,1,…,n),则有.:1Fo= 譬?1,其 中是n维单形P.,P?OP川…P的体积.同弛可 得=譬?丢(=l,2,…,凡).由此得: 血((d)(26)i=0,? 由(26),(13)两式便得不等式(2),由(27),(16)两 式便得不等式(3),易知(2),(3)两式中等号成立 当且仅当or(n)为正则单形. 文献: 苏化明.与单形外心有关的一个不等式[J].数学季 刊,1992,7(2):49—53. 冷岗松.En中Euler不等式的一个加强[J].数学实践与认 识,1995,(2):94-96. KLAMKINMS.Thecircumradius-inadiusinequalityforasimplex[J].Math Mag,1979,52:20-22. 张景中,杨路.关于质点组的一类几何不等式[J].中国科技大 学,1981,11(2):1-8. 苏化明,一个涉及单形体积,棱长与侧面面积的不等式[J].数学杂 志,1993,13(4):453-455. MITPdNOVICDS,PECARICJE,VOLENCEE.RecentAdvancesinGeometricInequalities[M].Dordrecht:KluwerAcadPub, 1989.472-540. GERBERL.Theorthocentricsimplexasanextremesimplex[J].PacificJMat h,1975,56:97.111. 苏化明.共球有限点集的一类几何不等式[J].数学年 刊,1994,15A(1):4649, TwoGeometricInequalitiesfortheCireumradiusofSimplexes YANGShi-guo (DepartmentofMathematics,AnhuiInstituteofEducation,Hefei230061,China) Abstract:Therelationsamongcircumradiiofn-simplexandnsimplexesrelatedtoitscircumcenterarestudiedby theoryofdistancegeometryandanalyticmethod.Relatedtwogeometricinequalitiesareestablishedandsome knownresultsarepromoted. Keywords:simplex,circumcenter,circumradius,inequality O; ?: %;0 ?O;