求不定积分

求不定积分 2002 pure maths 2 p.1 3,x1. 求不定積分. dx2,(1，x)(1，x) ,3,x由此計算廣義積分 (6分) dx2,(1，x)(1，x)0 ,,,ax當x,2,2. 設f(x) = , ,,bxesinxi當x,,2, b,,a,2若f於x = 連續, 證明 = . e22 ,再者, 若f 於可微, 求a 及 b的值. (5分) 2 3. 設f : R , R 為一連續函數且滿足以下條件: fx(),1(i) =1; limx,0x (ii) f(x+y) = f(x)f(y) for all x 及 y. (a) 證明對每一x,R, f’(x)存在且f’(x) = f(x). f(x)x(b) 藉考慮的導數, 證明 f(x) = e. (5分) xe 34. 在R中, 直線L的方程為 ,x,t3 , , t, R. x,t3, ,x,3,t2, 設A 及 B 為L上的兩點, OA= OB = r, 其中 O 為原點. (a) 以rA 與B之間的距離. (b) 若,OAB為等邊三角形, 求r的值. (5分) 5. (a) 若函數 g: R?R 為偶函數, 亦為奇函數, 證明對任意x,R , g(x)=0. (b) 對任意函數f: R?R, 定義 11F(x) = [f(x)+f(-x)] 及 G(x) = [f(x)-f(-x)], 22 (i) 證明 F為偶函數, G為奇函數. (ii) 對任意x,R, f(x) = M(x) + N(x) , 其中 M為偶函數而N為奇函數, 證明對任 2002 pure maths 2 p.2 意x,R, M(x)=F(x) 和N(x) = G(x). (6分) sinx1,,6. (a) 求 lim,,，,x0x,, sint,,當t,0,(b) 設f(x) = ,t ,1當t,0., x f(t)dt,x,0求 (6分) lim3,0xx 7. 設曲線 , 的極方程為r =1-cos 4,, 0 , , ,2,. (a) 求,上所有離極點O最遠的點的極坐標. (b) 描繪曲線 ,. (c) 求,所圍的面積. (7分) 828. 設 f(x) = x - (x,1) x,1 (a) 求 f’ (x) 及 f "(x) . (b) 分別滿足下列各條件的x的取值範圍 : (i) f’ (x) > 0 , (ii) f’ (x)< 0 , (iii) f "(x) > 0 , (iv) f "(x) < 0 (c) 求f(x)的相對極值點及拐點. (d) 求f(x)圖像的漸近線. (e) 描繪f(x)的圖像. (f) 設g(x) = f(|x|) (|x| , 1). (i) g(x)在x = 0處是否可微?為什麼? (ii) 描繪g(x)的圖像. (2+3+2+1+2+5分) ,xesinxdx9. (a) 求 , (b) 設f : R , [0, ,] 為週期函數, 其週期為 T. b，kTb,x,kT,x(i) 證明對所有正整數k, . ef(x)dx,eef(x)dx,,a，kTa 2002 pure maths 2 p.3 nT,x(ii) 設I = . ef(x)dxn,0 ,nT1,e證明對所有正整數n, I = I. n1,1,eT (iii) 若L 為一正數及n為一正整數使得nT , L , (n+1)T, 證明 L(1),nT,n，T1,e1,e,xI,,I ef(x)dx11,,,1,eT1,eT0 ,x,由此求廣義積分, 答案以I 及 T表示. ef(x)dx1,0 ,x,(c) 利用(a)及(b)(iii)的結果, 求. (3+9+3分) e|sinx|dx,0 10. 設f 及 g 是定義於[0,1]上的連續函數, 其中f為遞減, 而對所有x,[0,1], 0 , g(x) , 1. 對 G(x)xxx,[0,1], 定義 G(x) =及 f(x) =- g(t)dtf(t)dtf(t)g(t)dt,,,000 (a) (i)證明 G(x) , x. 由此證明對所有x,(0,1), ,'(x) , 0. G(1)1 (ii)計算 ,(0) 及由此證明 , f(t)g(t)dtf(t)dt,,00 x (b) 對所有x,[0,1], 設H(x) = . [1,g(t)]dt,0 (i) 證明 G(1)+H(1)=1. 11 (ii) 利用(a)(ii),證明 ,. f(t)dtf(t)g(t)dt,,1,G(1)0 111n，1n(c) 利用(a)(ii)及(b)(ii)的結果, 證明f(t)dt,,, 其中 n 為正整數. f(t)tdtf(t)dt,,,n00n，1 1n由此證明 (7+5+3分) limf(t)tdt,,,n0 2002 pure maths 2 p.4 2 211. 考慮拋物線C:y= 4(x + 1) 及 C:y=4x. 12 222設P(p-1,2p) 為上的一點, 由P至C的兩切線與C相切於點S(s,2s) 及 T(t,2t). 22 2(a) 求PS 及 PT 的方程, 並由此證明 s + t = 2p, st = p-l. 2(b) Q(q,2q)為C弧ST上的一點.證明 ,SQT 的面積為極大當且僅當q=p. 2 (c) 設Q為題(b)中的點, 使得,SQT的面積為極大.若直線PQ與弦ST交於M, 當P沿C1 移動, 求M的軌跡的方程. (4+6+5分) 12. (a) 設函數g(x) 在[a, b]上連續, 在(a, b)內可微, g’(x) 在(a, b)上遞減且g(a) = g(b) = 0. 利用中值定理, 證明存在c,(a,b)使得g 在(a, c)上遞增及在(c, b)上遞減. 由此證明對所有x,[a, b], g(x) , 0. (b) 設f為某開區間I上二次可微函數且f”(x) , 0. 假定a, b, x , I 且a < x < b. 藉考慮 函數g(x) = (b – x)f(a) + (x – a)f(b) – (b – a)f(x) 或其他方法, 證明 b,xx,af(x) ,f(a) + f(b). b,ab,a 由此或用其他方法, 證明對所有x, x , I及,, , , 0 且 , + , = 1, 121212 f(,x + ,x) , ,f(x) + ,f(x). 11121122 (c) 設x 及 x 為正數. 12 ,,12(i) 若,, , , 0 且 , + , = 1, 證明 ,x + ,x , . xx1212112212 ,，,12,,,,x，x,,112212,,(ii) 若,, , 為正數, 證明 , (5+5+5分) xx1212,,,,，12,, ,,,n13. (a) (i) 設I(,) = , 其中 n 為非負的整數且-< ,<. tanudun,220 2n,tan1,證明對所有n , 1, I(,) =- I(,). 2n2n-22n,1 (ii) 利用代換t = tanu 或其他方法, 證明對任意正整數n, x2n,12n,32nxxxtn,1n,1= ,，...，(,1)，(,1)tanxdt2,2n,12n,311，t0 x22n，121n，nxxt(b) (i) 設x , 0 及 n 正整數. 證明 , ,. dt22,2n，1(2n，1)(1，x)1，t0 ,1p1(,1)1,n(ii) 利用(a)或其他方法, 證明,,, ,,1p2(2n，1)2n，142p,1 2002 pure maths 2 p.5 11,1,,,,,1,14tantan(iii) 假設tan, =. 計算 tan 2, 及 tan4,, 並證明= . ,,,,,523954,,,, ,1p141(1)41,,n,,,,由此證明 , ，,,,,,,,2n，12n，12,12,1pp,1pn(21)p，52394215239,,,,, (5+10分)