复杂直流电路

复杂直流电路 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 复杂直流电路 《电工基础》 2(掌握叠加定理及其应用。 3(掌握戴维宁定理及其应用。 4(掌握两种实际电源模型之间的等效变换方法并应 用于解决复杂电路问题。 第一节 基尔霍夫定律 一、常用电路名词 以图3-1所示电路为例说明常用电路名词。 1. 支路:电路中具有两个端钮且通过同一电流的无分支电路。如图3-1电路中的ED、AB、FC均为支路，该电路的支路数目为b = 3。 2. 节点:电路中三条或三条以上支路的联接点。如图3-1电路的节点为A、B两点，该电路的节点数目为n = 2。 3. 回路:电路中任一闭合的路径。如图3-1电路中的CDEFC、AFCBA、EABDE路径均为回路，该电路的回路数目为l = 3。 4. 网孔:不含有分支的闭合回路。如图3-1电路中的AFCBA、EABDE回路均为网孔， 22 《电工基础》 该电路的网孔数目为m = 2。 图3-1 常用电路名词的说明 5. 网络:在电路分析范围内网络是指包含较多元件的电路。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 二、基尔霍夫电流定律(节点电流定律) 1(电流定律(KCL) 电流定律的第一种述:在任何时刻，电路中流入任一节点中的电流之和，恒等于从该节点流出的电流之和，即 ?I流入??I流出 例如图3-2中，在节点A上:I1 ? I3 = I2 ? I4 ? I5 图3-2 电流定律的举例说明 电流定律的第二种表述:在任何时刻，电路中任一节点上的各支路电流代数和恒等于零，即 ?I?0 一般可在流入节点的电流前面取“+”号，在流出节点的电流前面取“?”号，反之亦可。例如图3-2中，在节点A上:I1 ? I2 + I3 ? I4 ? I5 = 0。 在使用电流定律时，必须注意: (1) 对于含有n个节点的电路，只能列出(n ? 1)个独立的电流方程。 (2) 列节点电流方程时，只需考虑电流的参考方向，然后再带入电流的数值。 为分析电路的方便，通常需要在所研究的一段电路中事先选定(即假定)电流流动的方向，叫做电流的参考方向，通常用“?”号表示。 电流的实际方向可根据数值的正、负来判断，当I > 0时，表—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 明电流的实际方向与所标定的参考方向一致;当I < 0时，则表明电流的实际方向与所标定的参考方向相反。 2(KCL的应用举例 (1) 对于电路中任意假设的封闭面来说，电流定律仍然成立。如图3-3 中，对于封闭 23 《电工基础》 面S来说，有I1 + I2 = I3。 (2) 对于网络 (电路)之间的电流关系，仍然可由电流定律判定。如图3-4中，流入电路B中的电流必等于从该电路中流出的电流。 (3) 若两个网络之间只有一根导线相连，那么这根导线中一定没有电流通过。 (4) 若一个网络只有一根导线与地相连，那么这根导线中一定没有电流通过。 图3-4 电流定律的应用举例(2) 图3-3 电流定律的应用举例(1) 【例3-1】如图3-5所示电桥电路，已知I1 = 25 mA， I3 = 16 mA，I4 = 12 A，试求其余电阻中的电流I2、I5、I6。 解:在节点a上: I1 = I2 + I3，则I2 = I1? I3 = 25 ? 16 = 9 mA 在节点d上: I1 = I4 + I5，则I5 = I1 ? I4 = 25 ? 12 = 13 mA —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 在节点b上: I2 = I6 + I5，则I6 = I2 ? I5 = 9 ? 13 = ?4 mA 电流I2与I5均为正数，表明它们的实际方向与图中所标定的参 考方向相同，I6为负数，表明它的实际方向与图中所标定的参考方向 相反。 图3-5 例题3-1 图3-6 电压定律的举例说明 三、基夫尔霍电压定律(回路电压定律) 1. 电压定律(KVL)内容 在任何时刻，沿着电路中的任一回路绕行方向，回路中各段电压 的代数和恒等于零，即 ?U?0 以图3-6电路说明基夫尔霍电压定律。沿着回路abcdea绕行方 向，有 Uac = Uab + Ubc = R1I1 + E1， Uce = Ucd + Ude = ?R2I2 ? E2， Uea = R3I3 则 Uac + Uce + Uea = 0 即 R1I1 + E1 ? R2I2 ? E2 + R3I3 = 0 24 《电工基础》 上式也可写成 R1I1 ? R2I2 + R3I3 = ? E1 + E2 对于电阻电路来说，任何时刻，在任一闭合回路中，各段电阻上 的电压降代数和等于各电源电动势的代数和，即。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ ?RI??E 2(利用?RI = ?E 列回路电压方程的原则 (1) 标出各支路电流的参考方向并选择回路绕行方向(既可沿着顺时针方向绕行，也可沿着反时针方向绕行); (2) 电阻元件的端电压为?RI，当电流I的参考方向与回路绕行方向一致时，选取“+”号;反之，选取“?”号; (3) 电源电动势为 ?E，当电源电动势的标定方向与回路绕行方向一致时，选取“+”号，反之应选取“?”号。 第二节 支路电流法 以各支路电流为未知量，应用基尔霍夫定律列出节点电流方程和回路电压方程，解出各支路电流，从而可确定各支路(或各元件)的电压及功率，这种解决电路问题的方法叫做支路电流法。对于具有b条支路、n个节点的电路，可列出(n ? 1)个独立的电流方程和b ? (n ? 1) 个独立的电压方程。 【例3-2】 如图3-7所示电路，已知E1 = 42 V，E2 = 21 V，R1 = 12 ?，R2 = 3 ?，R3 = 6 ?，试求:各支路电流I1、 I2、I3 。 解:该电路支路数b = 3、节点数n = 2，所以应列出1 个节点电流方程和2个回路电压方程，并按照 ?RI = ?E 列回路电压方程的方法: (1) I1 = I2 + I3 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ (任一节点) (2) R1I1 + R2I2 = E1 + E2 (网孔1) (3) R3I3 ?R2I2 = ?E2 (网孔2) 代入已知数据，解得:I1 = 4 A，I2 = 5 A，I3 = ?1 A。 电流I1与I2均为正数，表明它们的实际方向与 图中所标定的参考方向相同，I3为负数，表明它们 的实际方向与图中所标定的参考方向相反。 图3-7 例题3-2 25 《电工基础》 第三节 叠加定理 一、叠加定理的内容 当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。 在使用叠加定理分析计算电路应注意以下几点: (1) 叠加定理只能用于计算线性电路(即电路中的元件均为线性元件)的支路电流或电压(不能直接进行功率的叠加计算); (2) 电压源不作用时应视为短路，电流源不作用时应视为开路; (3) 叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号。 二、应用举例 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 【例3-3】如图3-8(a)所示电路，已知E1 = 17 V，E2 = 17 V，R1 = 2 ?，R2 = 1 ?，R3 = 5 ?，试应用叠加定理求 各支路电流I1、I2、I3 。 解:(1) 当电源E1单独作用时，将E2视为短路，设 R23 = R2?R3 = 0.83 ? E117I1'???6AR1?R232.83 R3则 I2'?I1'?5 A R2?R3 R2I3'?I1'?1 AR2?R3 (2) 当电源E2单独作用时，将E1视为短路，设 R13 =R1?R3 = 1.43 ? E217I2''???7AR2?R132.43 R3则 I1''?I2''?5A R1?R3 R1I3''?I2''?2AR1?R3图3-8 例题3-3 (3) 当电源E1、E2共同作用时(叠加)，若各电流分量与原电路电流参考方向相同时，在电流分量前面选取“+”号，反之，则选取“?”号: 26 《电工基础》 I1 = I1′? I1″ = 1 A， I2 = ? I2′ + I2″ = 1 A， I3 = I3′ + I3″ = 3 A 第四节 戴维宁定理 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、二端网络的有关概念 1. 二端网络:具有两个引出端与外电路相联的网络。 又叫做一端口网络。 2. 无源二端网络:内部不含有电源的二端网络。 3. 有源二端网络:内部含有电源的二端网络。 图3-9 二端网络 二、戴维宁定理 任何一个线性有源二端电阻网络，对外电路来说，总可以用一个电压源E0与一个电阻r0相串联的模型来替代。电压源的电动势E0等于该二端网络的开路电压，电阻r0等于该二端网络中所有电源不作用时(即令电压源短路、电流源开路)的等效电阻(叫做该二端网络的等效内阻)。该定理又叫做等效电压源定理。 【例3-4】如图3-10所示电路，已知E1 = 7 V，E2 = 6.2 V，R1 = R2 = 0.2 ?，R = 3.2 ?，试应用戴维宁定理求 电阻R中的电流I 。 图3-11 求开路电压Uab 图3-10 例题3-4 解:(1) 将R所在支路开路去掉，如图3-11所示，求开路电压Uab: E?E20.8I1?1 ??2A， Uab = E2 + R2I1 = 6.2 + 0.4 = 6.6 V = E0 R1?R20.4 (2) 将电压源短路去掉，如图3-12所示，求等效电阻Rab: 图3-12 求等效电阻Rab 图 3-13 求电阻R中的电流I —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ Rab = R1?R2 = 0.1 ? = r0 27 《电工基础》 (3)画出戴维宁等效电路，如图3-13所示，求电阻R中的电流I : E06.6I???2A r0?R3.3 【例3-5】如图3-14所示的电路，已知E = 8 V，R1= 3 ?，R2 = 5 ?，R3 = R4 = 4 ?，R5 = 0.125 ?，试应用戴维宁定理求电阻R5中的电流I 。 图3-15 求开路电压Uab 图 3-14 例题 3-5 解:(1) 将R5所在支路开路去掉，如图 3-15所示，求开路电压Uab: EEI1?I2??1A， I3?I4??1 A R1?R2R3?R4 Uab = R2I2 ?R4I4 = 5 ? 4 = 1 V = E0 (2) 将电压源短路去掉，如图3-16所示，求等效电阻Rab: 图3-17 求电阻R中的电流I 图3-16 求等效电阻Rab Rab = (R1?R2) + (R3?R4) = 1.875 + 2 = 3.875 ? = r0 (3) 根据戴维宁定理画出等效电路，如图3-17所示，求电阻R5中的电流 E01I5???0.25A r0?R54 第五节 两种电源模型的等效变换 一、电压源 通常所说的电压源一般是指理想电压源，其基本特性是其电动势 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ (或两端电压)保持固定不变E或是一定的时间函数e(t)，但电压源输出的电流却与外电路有关。 实际电压源是含有一定内阻r0的电压源。 28 《电工基础》 二、电流源 图3-18 电压源模型 通常所说的电流源一般是指理想电流源，其基本特性是所发出的电流固定不变(Is)或是一定的时间函数is(t)，但电流源的两端电压却与外电路有关。 实际电流源是含有一定内阻rS的电流源。 图3-19 电流源模型 三、两种实际电源模型之间的等效变换 实际电源可用一个理想电压源E和一个电阻r0串联的电路模型表示，其输出电压U与输出电流I之间关系为 U = E ? r0I 实际电源也可用一个理想电流源IS和一个电阻rS并联的电路模型表示，其输出电压U与输出电流I之间关系为 U = rSIS ? rSI 对外电路来说，实际电压源和实际电流源是相互等效的，等效变换条件是 r0 = rS ， E = rSIS 或 IS = E/r0 【例3-6】如图3-18所示的电路，已知电源电动势 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ E = 6 V，内阻r0 = 0.2 ?，当接上R = 5.8 ? 负载时，分 别用电压源模型和电流源模型计算负载消耗的功率和 内阻消耗的功率。 29 《电工基础》 图3-18 例题3-6 解:(1) 用电压源模型计算: EI??1A，负载消耗的功率PL = I2R = 5.8 W，内阻的功率Pr = I2r0 = 0.2 W r0?R (2) 用电流源模型计算: 电流源的电流IS = E/r0 = 30 A，内阻rS = r0 = 0.2 ? rSIS?1A，负载消耗的功率 PL= I2R = 5.8 W， 负载中的电流 I?rS?R 内阻中的电流 Ir?RIS?29A，内阻的功率 Pr = Ir2r0 = 168.2 W rS?R 两种计算方法对负载是等效的，对电源内部是不等效的。 【例3-7】如图3-19所示的电路，已知:E1 = 12 V， E2 = 6 V，R1 = 3 ?，R2 = 6 ?，R3 = 10 ?，试应用电源等效 变换法求电阻R3中的电流。 图3-19 例题3-7 图3-20 例题3-7的两个电压源等效成两个电流源 解:(1) 先将两个电压源等效变换成两个电流源， 如图3-20所示，两个电流源的电流分别为 IS1 = E1/R1 = 4 A， IS2 = E2/R2 = 1 A (2) 将两个电流源合并为一个电流源，得到最简等效 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 电路，如图3-21 所示。等效电流源的电流 IS = IS1 ? IS2 = 3 A 其等效内阻为 R = R1?R2 = 2 ? (3) 求出R3中的电流为 图3-21 例题3-7的最简等效电路 30 《电工基础》 I3?RIS?0.5A R3?R 本 章 小 结 一、基夫尔霍定律 1(电流定律 电流定律的第一种表述:在任何时刻，电路中流入任一节点中的电流之和，恒等于 从该节点流出的电流之和，即 ?I流入= ?I流出 。 电流定律的第二种表述:在任何时刻，电路中任一节点上的各支路电流代数和恒等于 零，即 ?I = 0。 在使用电流定律时，必须注意: (1) 对于含有n个节点的电路，只能列出(n ? 1)个独立的电流方程。 (2) 列节点电流方程时，只需考虑电流的参考方向，然后再带入电流的数值。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2(电压定律 在任何时刻，沿着电路中的任一回路绕行方向，回路中各段电压的代数和恒等于零， 即 ?U = 0。 对于电阻电路来说，任何时刻，在任一闭合回路中，各段电阻上的电压降代数和等于 各电源电动势的代数和，即 ?RI = ?E。 二、支路电流法 以各支路电流为未知量，应用基尔霍夫定律列出节点电流方程和回路电压方程，解出各支路电流，从而可确定各支路(或各元件)的电压及功率，这种解决电路问题的方法叫做支路电流法。 对于具有b条支路、n个节点的电路，可列出(n ? 1)个独立的电流方程和b ? (n ?1)个独立的电压方程。 三、叠加定理 当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。 四、戴维宁定理 任何一个线性有源二端电阻网络，对外电路来说，总可以用一个电压源E0与一个电阻r0相串联的模型来替代。 电压源的电动势E0等于该二端网络的开路电压，电阻r0等于该二端网络中所有电源不作用时(即令电压源短路、电流源开路)的等效电阻。 五、两种实际电源模型的等效变换 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 实际电源可用一个理想电压源E和一个电阻r0串联的电路模型 表示，也可用一个理想电流源IS和一个电阻rS并联的电路模型表示， 对外电路来说，二者是相互等效的，等效变换条件是 r0 = rS ， E = rSIS 或 IS = E/r0 31 ——————————————————————————————————————