数学奥林匹克初中训练题（120）
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数学奥林匹克初中训练题（120）
中等数学
课外调练
教孥换貅匿窘劫审锄豫鍪(120)
第一试
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．已知正数n、b，且满足关系
123456789=(1llll+fi)(1llll一6)．
则o、b之间的大小关系是( )．
(A)fi>b(B)n=b(C)o
第一试
一、1．A 2．B3．C4．B5．A 6．A二、1．厕+厕+厕+厕
由题意设
200722=2008y2=2009zz=2OlOw2=k．
髫>0。Y>0，彳>0，埘>0．
则上+上+上+上
算 Y z 埘
=圭(以面+以丽+厕歹+2,／Y丽)--1．
故,／—2007x+2008y+—2009z+20lOw：厕再葡而历蒜i萄示而=厕+厩+厕+,，／2010．
2．300．
如图3．
又PA=PB，则
PA=PB=PC．
网3
从而，点A、B、C在以P为圆心、朋为半
径的网上．
不妨设么ACB=∞则
么APB=2a。么BPC=900一2a．
故么PAB=2么BPC=1800一40r．
1
又么PAB=么PBA=÷(1800一么APB)
二
=900—a，
贝01800一40r：900—a．
于是，a=30。=么ACB．
3．8．
依次将11,=1，2，3代入关系式
z。+32茹。+2(石。+l+2x。)．
得茹4=菇3(髫2+2x1)，
．11752札(石3+2x2)=X3(X2+2石1)(菇3+2x2)，
X6=戈32(娩+2石I)(菇3+2x2)(X2+2xl+2)．
又戈6=2288=24×11×13，且菇I、x2、名3
都是正整数，则
茗3+2x2t>3，菇2+2xII>3．
由于茗2+2xl+2比髫2+2xl大2，而且
24xll×13中只有13与11的差为2且自身
是不小于3的凶数，于是，
髫2+2戈I+2=13=’x2+2xl=11．
因此，只能是
茹；(z3+2x2)=24，戈3=1或2．
当髫3=1时，1+2x2=24，茗2不是整数；
万方数据
中等数学
当菇3=2时，得z2；1，舅l=5符合条件．
所以，戈I+戈2+戈328．
4．譬．．
由题意得
羔妇·+专=吾， ①
≥皂：cjl+丢：～2， ②丽2cjl+矿2了， ④
≠每=也；-+古=i2． ③
①+②+③得
(，一丢)2+(·一÷)2+(1-÷)2=。．
于是，·一丢=t一÷--一÷=o．
所以．口=b=c=1．
因此，．s幽=譬．
第兰试
一、(1)由题设知c、口一b+c、4a一2b+c
都是整数．因此，
口一b=(a—b+c)一c
与4n一2b=(4a一26+C)一c
都是整数．进而，
2a=(4a一2b)一2(口一6)
及2b=(4a一2b)一4(口一6)
都是整数．
所以，当z为偶数时(不妨设戈=2||})，
Y=4ak2—2bk+c为整数；
当z为奇数时(不妨设z=2k+1)，
Y=n(2k+1)2—6(2||}+1)+c
=4ak2+4ak一2bk+(口一b+c)
仍为整数．’
(2)因为当髫=0时，Y=c，所以，c必为
整数，但口、b不一定是整数．
姗微)，：导z+导+1：导(石+1)+l，
当戈为任何整数时，Y的值都是整数．但此函
数中的二次项、一次项的系数并不是整数．
二、因为朋、PC是00的切线，所以。
△朋Q∽△PAB，／xecq∽△PAC．
扮艘一丝盟一鲤
队AB—PA’AC—PA。
又船=Pc’贝lJ鬈=筹御差=器．
由于△ACD∽△B∞，
△coo∽△ADB，
从而，器=嚣，器=署．
两式相乘得
一CD一垡．盟一盟．丝一f盟＼。
BD—BQAB—BQAB—IBQJ
所以，器=劳
三、不能．理由如下．
把这十个数填入交点处计算每条边上的
数之和时，因为每个数都加了两次，要使每条
边上的四个数之和都相等，所以，每条边上的
数之和应为
1(2ool+2(I)2+⋯+20lO)×2=8022．
(1)若2010、2009填在同一条边上，贝lj
这条边上的另外两个数只能是2001、2002，
而和2010所在的另一边上的数只能是
2003、2004、2005．此时，剩下的数还有2006、
2007、2008，而这三个数又不能在同一条边
上，且两两又在同一条边上，故和
2008、2006两个数在同一条边上的另外两
个数只能填2005、2003，而2005、2003已
在2010、2003、2004、2005这条边上，因此，
这种填法是不可能的，即2010和2009不能
填在同一条边上．
(2)若2010、2008填在同一条边上，则
和2010、2008填在同一条边上只有2003、
2001，而另一条2010所在的边只能填
2010，2007，2004，2001；
2010，2007，2003，2002；
2010，2006，2005，2001；
2010，2006，2004，2002；
2010，2005，2004。2003．
万方数据
2009年第8期 37
。数孥象j诛臣兔客审锄缘踅(120)
第一试
一、填空题(每小题7分，共56分)
1．设以戈)=sin3x+(ZeO$3x的图像关于
直线戈=i”gx,t称．则口=——
2．给定正数n、b，对石>0、y>0，且戈2
009
+yZ009=1．则八菇，y)=去+去的最小值为
戈 ’，
3．设四面体ABCD是正四面体，E是边
BC的中点．则异面直线AE、CD间的距离
d=————．
4．设口、b为实数，且满足
tan(200％+2008)+aresin(200％+2008)
=一2007．
tan(2009b+2008)+aresin(2009b+2008)
=2007．则o+b=√
5．已知八z)在R上是单调递增函数，且
对任何的髫∈R，有f(f(f(z)))=戈．则
八2009)=一6．A、B两人进行乒乓球比赛，规定先净
胜3局者为胜．经过13局比赛后，A才以8
胜5负的成绩获胜．则这13局的胜负所有不
同情况的种数为——．
7．设正△ABC的边长为l，t为任意的实
数．则lAB+tACl的最小值为一8．两人约定：在某天一同去A地，早上
7点到8点之问在8地会合，但先到达B地
者最多在原地等待5rain分钟，如果没有见
到对方则自己先行．设两人到达曰地的时间
是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够
在当天一同去A地的概率是一二、解答题(共44分)
9．(14分)设存存厅个整数oI，17,2，一，a。，
使得IIoi=n，且∑Ⅱ．=o．求正整数凡的所
这些填法中与2010、2008、2003、200l
有两个相同数字的都不行，故只可能填
2010、2006、2004、2002(2010所在的另一
边是2010、2008、2003、2001)．剩下的i个
数是2009、2007、2005它们不能填在同一
条边上，而又须两两在同一条边上．因此，
2009、2007所在的边只能填2009、2007、
2005、2001(2009、2007、2005不能填在同
一条边上)或2009、2007、2004、2002(与
2010、2008、2004、2002有两个相同数字)，
故也不可能．
’
(3)2010与2009、2010与2008都不
能填在同一条边上，又凶每条边上的四个数
之和为8022，故和2010填在同一条边上的
其他三个数之和为6012．而所有填入的数中
和2010不在同一条边上的另i个数之和为
6021，因此，这专个数必是2009、2008、
2004．所以，与2010填在同一条边上的数是
2010、2007、2003、2002，另一条边是2010、
2006、2005、2001．而2009和2008两个数
在同一条边上的只能填2009、2008、2004、
2001或2009、2008、2003、2002，但2009、
2008、2004不能填在同一条边上，2009、
2008、2003、2002与2010、2007、2003。
2002有两个数相同，因此，这也是不可能的．
综上所述，题中的要求是办不到的．
(李耀文 山东省枣庄市第四十中学，
277200)
万方数据
数学奥林匹克初中训练题
作者： 李耀文， LI Yao-wen
作者单位： 山东省枣庄市第四十中学,277200
刊名： 中等数学
英文刊名： HIGH-SCHOOL MATHEMATICS
年，卷(期)： 2009(8)
本文读者也读过(10条)
1. 李明.尤登明.LI Ming.You Deng-ming 数学奥林匹克初中训练题(116)[期刊论文]-中等数学2009(3)
2. 宋强.SONG Qiang 数学奥林匹克初中训练题(117)[期刊论文]-中等数学2009(4)
3. 谢文晓.XIE Wen-xiao 数学奥林匹克初中训练题(118)[期刊论文]-中等数学2009(5)
4. 张翱 数学奥林匹克初中训练题(119)[期刊论文]-中等数学2009(7)
5. 周东庭.汪伟林.ZHOU Dong-ting.WANG Wei-lin 数学奥林匹克初中训练题(121)[期刊论文]-中等数学2009(9)
6. 周东庭.董媛媛.ZHOU Dong-ting.DONG Yuan-yuan 数学奥林匹克初中训练题(115)[期刊论文]-中等数学2009(2)
7. 邹守文 数学奥林匹克初中训练题(123)[期刊论文]-中等数学2009(11)
8. 孙彦.黄全福.SUN Yan.HUANG Quan-fu 数学奥林匹克初中训练题(122)[期刊论文]-中等数学2009(10)
9. 李明.邱泽胜.LI Ming.ZOU Ze-sheng 数学奥林匹克初中训练题(124)[期刊论文]-中等数学2009(12)
10. 李耀文.LI Yao-wen 数学奥林匹克初中训练题(21)[期刊论文]-中等数学2009(1)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200908010.aspx
第一试
一、1．A 2．B3．C4．B5．A 6．A二、1．厕+厕+厕+厕
由题意设
200722=2008y2=2009zz=2OlOw2=k．
髫>0。Y>0，彳>0，埘>0．
则上+上+上+上
算 Y z 埘
=圭(以面+以丽+厕歹+2,／Y丽)--1．
故,／—2007x+2008y+—2009z+20lOw：厕再葡而历蒜i萄示而=厕+厩+厕+,，／2010．
2．300．
如图3．
又PA=PB，则
PA=PB=PC．
网3
从而，点A、B、C在以P为圆心、朋为半
径的网上．
不妨设么ACB=∞则
么APB=2a。么BPC=900一2a．
故么PAB=2么BPC=1800一40r．
1
又么PAB=么PBA=÷(1800一么APB)
二
=900—a，
贝01800一40r：900—a．
于是，a=30。=么ACB．
3．8．
依次将11,=1，2，3代入关系式
z。+32茹。+2(石。+l+2x。)．
得茹4=菇3(髫2+2x1)，
．11752札(石3+2x2)=X3(X2+2石1)(菇3+2x2)，
X6=戈32(娩+2石I)(菇3+2x2)(X2+2xl+2)．
又戈6=2288=24×11×13，且菇I、x2、名3
都是正整数，则
茗3+2x2t>3，菇2+2xII>3．
由于茗2+2xl+2比髫2+2xl大2，而且
24xll×13中只有13与11的差为2且自身
是不小于3的凶数，于是，
髫2+2戈I+2=13=’x2+2xl=11．
因此，只能是
茹；(z3+2x2)=24，戈3=1或2．
当髫3=1时，1+2x2=24，茗2不是整数；
万方数据
中等数学
当菇3=2时，得z2；1，舅l=5符合条件．
所以，戈I+戈2+戈328．
4．譬．．
由题意得
羔妇·+专=吾， ①
≥皂：cjl+丢：～2， ②丽2cjl+矿2了， ④
≠每=也；-+古=i2． ③
①+②+③得
(，一丢)2+(·一÷)2+(1-÷)2=。．
于是，·一丢=t一÷--一÷=o．
所以．口=b=c=1．
因此，．s幽=譬．
第兰试
一、(1)由题设知c、口一b+c、4a一2b+c
都是整数．因此，
口一b=(a—b+c)一c
与4n一2b=(4a一26+C)一c
都是整数．进而，
2a=(4a一2b)一2(口一6)
及2b=(4a一2b)一4(口一6)
都是整数．
所以，当z为偶数时(不妨设戈=2||})，
Y=4ak2—2bk+c为整数；
当z为奇数时(不妨设z=2k+1)，
Y=n(2k+1)2—6(2||}+1)+c
=4ak2+4ak一2bk+(口一b+c)
仍为整数．’
(2)因为当髫=0时，Y=c，所以，c必为
整数，但口、b不一定是整数．
姗微)，：导z+导+1：导(石+1)+l，
当戈为任何整数时，Y的值都是整数．但此函
数中的二次项、一次项的系数并不是整数．
二、因为朋、PC是00的切线，所以。
△朋Q∽△PAB，／xecq∽△PAC．
扮艘一丝盟一鲤
队AB—PA’AC—PA。
又船=Pc’贝lJ鬈=筹御差=器．
由于△ACD∽△B∞，
△coo∽△ADB，
从而，器=嚣，器=署．
两式相乘得
一CD一垡．盟一盟．丝一f盟＼。
BD—BQAB—BQAB—IBQJ
所以，器=劳
三、不能．理由如下．
把这十个数填入交点处计算每条边上的
数之和时，因为每个数都加了两次，要使每条
边上的四个数之和都相等，所以，每条边上的
数之和应为
1(2ool+2(I)2+⋯+20lO)×2=8022．
(1)若2010、2009填在同一条边上，贝lj
这条边上的另外两个数只能是2001、2002，
而和2010所在的另一边上的数只能是
2003、2004、2005．此时，剩下的数还有2006、
2007、2008，而这三个数又不能在同一条边
上，且两两又在同一条边上，故和
2008、2006两个数在同一条边上的另外两
个数只能填2005、2003，而2005、2003已
在2010、2003、2004、2005这条边上，因此，
这种填法是不可能的，即2010和2009不能
填在同一条边上．
(2)若2010、2008填在同一条边上，则
和2010、2008填在同一条边上只有2003、
2001，而另一条2010所在的边只能填
2010，2007，2004，2001；
2010，2007，2003，2002；
2010，2006，2005，2001；
2010，2006，2004，2002；
2010，2005，2004。2003．
万方数据
2009年第8期 37
。数孥象j诛臣兔客审锄缘踅(120)
第一试
一、填空题(每小题7分，共56分)
1．设以戈)=sin3x+(ZeO$3x的图像关于
直线戈=i”gx,t称．则口=——
2．给定正数n、b，对石>0、y>0，且戈2
009
+yZ009=1．则八菇，y)=去+去的最小值为
戈 ’，
3．设四面体ABCD是正四面体，E是边
BC的中点．则异面直线AE、CD间的距离
d=————．
4．设口、b为实数，且满足
tan(200％+2008)+aresin(200％+2008)
=一2007．
tan(2009b+2008)+aresin(2009b+2008)
=2007．则o+b=√
5．已知八z)在R上是单调递增函数，且
对任何的髫∈R，有f(f(f(z)))=戈．则
八2009)=一6．A、B两人进行乒乓球比赛，规定先净
胜3局者为胜．经过13局比赛后，A才以8
胜5负的成绩获胜．则这13局的胜负所有不
同情况的种数为——．
7．设正△ABC的边长为l，t为任意的实
数．则lAB+tACl的最小值为一8．两人约定：在某天一同去A地，早上
7点到8点之问在8地会合，但先到达B地
者最多在原地等待5rain分钟，如果没有见
到对方则自己先行．设两人到达曰地的时间
是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够
在当天一同去A地的概率是一二、解答题(共44分)
9．(14分)设存存厅个整数oI，17,2，一，a。，
使得IIoi=n，且∑Ⅱ．=o．求正整数凡的所
这些填法中与2010、2008、2003、200l
有两个相同数字的都不行，故只可能填
2010、2006、2004、2002(2010所在的另一
边是2010、2008、2003、2001)．剩下的i个
数是2009、2007、2005它们不能填在同一
条边上，而又须两两在同一条边上．因此，
2009、2007所在的边只能填2009、2007、
2005、2001(2009、2007、2005不能填在同
一条边上)或2009、2007、2004、2002(与
2010、2008、2004、2002有两个相同数字)，
故也不可能．
’
(3)2010与2009、2010与2008都不
能填在同一条边上，又凶每条边上的四个数
之和为8022，故和2010填在同一条边上的
其他三个数之和为6012．而所有填入的数中
和2010不在同一条边上的另i个数之和为
6021，因此，这专个数必是2009、2008、
2004．所以，与2010填在同一条边上的数是
2010、2007、2003、2002，另一条边是2010、
2006、2005、2001．而2009和2008两个数
在同一条边上的只能填2009、2008、2004、
2001或2009、2008、2003、2002，但2009、
2008、2004不能填在同一条边上，2009、
2008、2003、2002与2010、2007、2003。
2002有两个数相同，因此，这也是不可能的．
综上所述，题中的要求是办不到的．
(李耀文 山东省枣庄市第四十中学，
277200)
万方数据
数学奥林匹克初中训练题
作者： 李耀文， LI Yao-wen
作者单位： 山东省枣庄市第四十中学,277200
刊名： 中等数学
英文刊名： HIGH-SCHOOL MATHEMATICS
年，卷(期)： 2009(8)
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