行列式计算技巧

论行列式的计算方法 方法 1111 化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形 行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。因此，在许多情况下，总是 先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例 1111：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学第一大题第 2 小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值： 1 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 1 2 2 1 n n n n D n n n − = − − ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ []显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式 的性质。注意到从第 1列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1的，根据行列 式的性质，先从第 n-1 列开始乘以－1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以－1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以－1 加到第 2 列。然后把第 1行乘以－1加到各行去，再将其 化为三角形行列式，计算就简单多了。 解： 1 1 ( 2, , ) ( 2, , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 3 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 01 1 ( 1) 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ( 1) ( ) 2 i i n n i n r r i n r r n n n D n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n = = = + − − = − − − − − + + − − − − + = ⋅ − − − − − + = ⋅ ⋅ − ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ( ) ( 1)( 2) 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) 1 2 n n n n n n n − − − − − ⋅ − + = ⋅ ⋅ − [问题推广] 循环行列式 从而推广到一般，求下列行列式： 0 1 2 1 1 0 1 2 2 3 4 1 1 2 3 0 ( , 0,1, , 1) n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∈ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 解：令 0 1 2 1 1 0 1 2 2 3 4 1 1 2 3 0 n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 首先注意，若 u为 n 次单位根（即un=1），则有： 1 0 1 1 1 1 0 2 12 1 2 3 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 3 0 1 1 1 0 1 ( 1, n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a u a u u a a u a u A u u uu a a u a u u a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a − − − − − + − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤+ + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ = = ∴ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + + + + + + = + + + + ⋯ ⋯ ∵⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 这里 用到 等） 1 2 0 1 1 12 2 1 1 12 0 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a uu u − − −− − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + + ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = + + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ 其中 2 1 2 2 cos sin 1, 1(0 ) 1, , , , n k n k k w n n w w k n w w w π π − = ∴ = ≠ < < ⋯ 设 +i 为n次本原单位根 有: 于是： 互异且为单位根 ( ) 2 0 1 1 ( 1) 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 , ( 0,1, , 1) ( , , , ) ( , , , ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) ( ) ( , , , ) ( j j j n n j i j j n n n n n w w j n w w w ww w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ = ⋅ = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 记： 方阵 则由上述知： 故 ） 1 2 2( 1) 0 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 1 ( , , , ) 1 1 n n n n n n w w w w w w w w w w − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋯显然 为范德蒙行列式 1 1 0 A (1) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w − − ∴ ≠ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ∴ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋯ 从而有： 又例 1 中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例 1 与 0 1 1 1 2 0' 1 0 2 n n n n a a a a a a D a a a − − − = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 相对应 ( 1)( 2 ) ' 21 n n n n D D − − 而 与 只相差（－ ） 个符号 ( 1)( 2 ) ' 12 0 1, 1 2 1 ( 1) 2 (1) ( ) ( ) , , ) (1, 2, , ) 1, ( ) 1 2 3 (1) 1 2 n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n − − − − − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ≠ = + + + + = + + + = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 即得： =(-1) 从而当（ 时 对单位根 总有： 2 1( ) ( ) 1 ( ) 1 n f u uf u u u u n n n f u u −∴ − = + + + + − = − − ∴ = − ⋯ 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 , 1 1 (1 ) 1 1 1 n n k n k n k k x x w x x x x x w n − − = − = − = − = + + + + − = − = = ∏ ∏ ⋯ ⋯ 而又 令 则有： ＋ ＋ ＋ ( 1)( 2) ' 12 ( 1)( 2) 12 2 1 ( 1) 12 1 1 ( 1) 2 ( 1) 12 (1) ( ) ( ) ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 (1 ) 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 n n n n n n n n n n n n k k n n n n n n D f f w f w n n n w w w n n n w n n n n n − − − − − − − − − − = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − + − ⋅ ⋅ = − + − ⋅ ⋅ = + = − ⋅ ⋅ ∏ ⋯ ⋯ 从而有： (-1) (-1) 。 方法 2 按行（列）展开法（降阶法） 设 n ij D a= 为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有 ( )1 1 2 2 1, 2, ,n i i i i in inD a A a A a A i n= + + + =⋯ ⋯ 或 ( )1 1 2 2 1, 2, ,n j j j j nj njD a A a A a A j n= + + + =⋯ ⋯ 其中 ij A 为 n D 中的元素 ij a 的代数余子式 按行（列）展开法可以将一个 n阶行列式化为 n个 n-1 阶行列式计算。若继续 使用按行（列）展开法，可以将 n阶行列式降阶直至化为许多个 2 阶行列式计算， 这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算 量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此， 应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元 素，再按该行（列）展开。 例 2，计算 20阶行列式 20 1 2 3 18 19 20 2 1 2 17 18 19 3 2 1 16 17 18 20 19 18 3 2 1 D = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ [分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至 化许许多多个 2阶行列式计算，需进行 20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本 是无法完成的，更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则 很快就可算出结果。 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计 算： 解： 1 1 20 20 1 18 ( 1, ( 2, , 20) 19) 1 1 1 1 1 1 1 2 3 18 19 20 2 1 1 1 1 1 2 1 2 17 18 19 3 1 1 1 1 1 3 2 1 16 17 18 19 1 1 1 1 1 20 19 18 3 2 1 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 2 2 2 2 4 0 0 2 2 2 21 ( 1) 2 21 20 0 0 0 0 2 21 0 0 0 0 0 i i i i i c c r r D + + = = − + − − − = − − − − − − − − − = × − × = − × ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 182 方法 3 递推法 应用行列式的性质，把一个 n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比 如，n-1 阶或 n-1 阶与 n-2 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根 据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求 得所给 n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。 例 3，2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10小题要证如下行列式 等式： 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n D α β αβ α β αβ α β α β + + = + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 , n n n D α β α β α β + +− = ≠ − 证明　： 其中 ［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余 的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看， 即知 Dn-1与 Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 证明：Dn按第 1 列展开，再将展开后的第二项中n-1 阶行列式按第一行展开有： 1 2n n nD D Dα β αβ= － －（ ＋ ） － 这是由 Dn-1 和 Dn-2表示 Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n阶逐阶往 低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为： 1 1 2 1 2n n n n n nD D D D D Dα β αβ β α－ － － － －－ ＝ － ＝（ － ） 或 1 1 2 1 2n n n n n nD D D D D Dβ α αβ α β－ － － － －－ ＝ － ＝（ － ） 现可反复用低阶代替高阶，有： 2 3 1 1 2 2 3 3 4 2 2 2 2 1 [( ) ( )] (1) n n n n n n n n n n n D D D D D D D D D D α β α β α β α β α β α β αβ α α β β − + − − + =⋯ ⋯⋯ － － － － － － － － － ＝（ － ）＝ （ － ）＝ （ － ） ＝ ＝ （ － ）= 同样有： 2 3 1 1 2 2 3 3 4 2 2 2 2 1 [( ) ( )] (2) n n n n n n n n n n n D D D D D D D D D D β α β α β α β α β α α β αβ β α β α − + − − + =⋯ ⋯⋯ － － － － － － － － － ＝（ － ）＝ （ － ）＝ （ － ） ＝ ＝ （ － ）= 因此当 α β≠ 时 由（1）（2）式可解得： 1 1n n n D α β α β + +− = − 方法 4444 加边法（升阶法） 有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的 方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易 计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相 同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。 加边法的一般做法是： 1 11 1 11 1 1 11 1 21 2 21 2 2 21 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n nn n nn n n nn a a a a a a b a a a a D a a b a a a a a a b a a = = = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 特殊情况取 1 2 1na a a= = = =⋯ 或 1 2 1nb b b= = = =⋯ 例 4444、计算 n 阶行列式： 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 n n x x x x x x x x x x D x x x x x + + = + [[[[分析]]]] 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与 x1,x2,…, xn相乘，第二行为 x2与 x1,x2,…, xn 相乘，……，第 n 行为 xn与 x1,x2,…, xn 相乘。这样就知 道了该行列式每行有相同的因子 x1,x2,…, xn，从而就可考虑此法。 解： 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 1, , ) ( 1, , ) 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 i i i i n n n n n n n n n n i n i n i i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = = + = − + = + − = + − + − + = + ∑ ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 方法 5555 拆行（列）法 由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列 式值，此法称为拆行（列）法。 由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可 拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素， 而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较 容易求得行列式的值。 例 5555、 南开大学 2004 年研究生入学第 1 大题，要求下列行列式的值： 设 n 阶行列式： 11 12 1 21 22 2 1 2 1 n n n n nn a a a a a a a a a = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 且满足 , , 1, 2, , , ij ji a a i j n= − = ⋯ 对任意数 b，求 n 阶行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 ? n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + = + + + ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ [[[[分析]]]]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是 b，显然用拆行 （列）法。 解： 11 12 1 11 12 1 12 1 21 22 2 21 22 2 22 2 1 2 1 2 2 n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b a a b a b b a b a b + + + + + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 11 12 1 11 1 12 1 21 22 2 21 2 22 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a b a a a b a b a b a a + + + + = + + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 11 12 1 11 1 12 1 21 22 2 21 2 22 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n nn n nn n nn a a a a a a a a a a a a a a b b a a a a a a a = + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 2 1 1 1 1 n n i i i i b A b A = = = + + +∑ ∑⋯ , 1 1 n ij i j b A = = + ∑ A又令 ＝ 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ , , 1, 2, , ij ji a a i j n= − = ⋯且 ': 1,A A A∴ = = −有 且 1 1 E A A A A A A A A ⋅ = ⋅ ＊ － － ＊ ＊由 ＝ 得： 即 ＝ 1 A A∴ ＊ －＝ ' 1 ' ' 1 1( ) ( ) ( )A A A A A− − −= = = − = −＊ ＊又（ ） * A∴ 也为反对称矩阵 又 ( , 1, 2, , ) ij A i j n= ⋯ 为 * A 的元素 1, 1 0 n ij i j A = = ∴ =∑有 从而知： 1, 1 1 1 n n ij i j D b A = = = + =∑ 方法 6666 数学归纳法 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。 因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难 的，所以是先给定其值，然后再去证明。 例 6666 .证明： 2cos 1 0 0 0 1 2cos 1 0 0 0 1 2cos 0 0 sin( 1) (sin 0) sin 0 0 0 2cos 1 0 0 0 1 2cos n n D θ θ θ θ θ θ θ θ + = = ≠ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 证：当 1, 2n = 时，有： 1 2 2 sin(1 1) 2cos sin 2cos 1 sin(2 1) 4cos 1 1 2cos sin D D θ θ θ θ θ θ θ θ + = = + = = − = 结论显然成立。 现假定结论对小于等于 1n− 时成立。 即有： 2 1 sin( 2 1) sin( 1 1) , sin sinn n n n D D θ θ θ θ − − − + − + = = 将 n D 按第 1 列展开，得： ( 1) ( 1) 1 2 2cos 1 0 0 2cos 0 0 0 1 2cos 0 0 1 2cos 0 0 0 0 2cos 1 0 0 2cos 1 0 0 1 2cos 0 0 1 2cos 2cos sin( 1 1) sin( 2 1) 2cos sin sin 2cos sin sin( 1) sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − = − = ⋅ − − + − + = ⋅ − ⋅ − − = ⋅ − ⋅ + = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ s sin sin sin cos cos sin sin sin( 1) sin n n n n θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⋅ ⋅ + ⋅ = + = 故当对 n 时，等式也成立。 得证。 方法 7777 析因法 如果行列式 D 中有一些元素是变数 x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式 D 当作一个多项式 f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出 f(x)的互素的一次因式，使得 f(x) 与这些因式的乘积 g(x)只相差一个常数因子 C，根据多项式相等的定义，比较 f(x)与 g(x)的 某一项的系数，求出 C 值，便可求得D=Cg(x) 。 那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数 x），若 x 等于某一数 a1 时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得 D=0。那么 x −a1 便是一个一次因式，再 找其他的互异数使得 D=0，即得到与 D 阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。 例 7777 .兰州大学 2004 招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。需求如下 行列式的值。 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 3 n n n n x a a a a x a a D a a a a a a a x + = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ [[[[分析]]]] 根据该行列式的特点，当 . 1,2, , i x a i n= = ⋯ 时，有 1 0nD + = 。但大家认真 看一下，该行列式 Dn+1 是一个 n+1 次多项式，而这时我们只找出了 n 个一次因式 . 1, 2, , i x a i n− = ⋯ ,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一 样的，为： 1 n i i a x = +∑ ，那么我们从第 2 列开始到第 n+1 列都加到第 1 列，现提出公因式 1 n i i a x = +∑ ，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。 解： 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 1 1 ( ) 1 1 n i n i n n i n i n n n i i n n i n i n i i a x a a a a a a a x x a a x a a D a x a a a a x a a a a a x a x a a x = = + = = = + + = = + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 令： 1 2 2 ' 1 2 3 2 3 1 1 1 1 n n n n a a a x a a D a a a a a x + = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 显然当： . 1,2, , i x a i n= = ⋯ 时， '1 0nD + = 。 又 '1nD + 为 n 次多项式。 ' 1 1 2( )( ) ( )n nD C x a x a x a+∴ = − − −⋯设 又 '1nD + 中 x的最高次项为 n x ，系数为 1，∴C=1 ' 1 1 2( )( ) ( )n nD x a x a x a+∴ = − − −⋯ 因此得： ' 1 1 1 1 2 1 ( ) ( )( )( ) ( ) n n i n i n i n i D a x D a x x a x a x a + + = = = + = + − − − ∑ ∑ ⋯ 方法 8888 ....辅助行列式法 辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。 解题程序： 1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素 x，使新行列式 *D 除主对角线外，其余 元素均为 0； 2）计算 *D 的主对角线各元素的代数余子式 ( 1, 2, )iiA i n= ⋯ ; 3) [1]* , 1 n ij i j D D x A = = − ∑ 例 8888 .大连理工大学 2004 年硕士生入学考试《高等代数》试题，第一大题填空题第 2 小题需求下列 n 阶行列式的值。 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 n n n D n − − = − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 解：在 n D 的各元素上加上 ( 1)− 后，则有： ( 1) 2 * 0 0 0 2 0 0 2 0 ( ) ( 1) (1 ) 2 0 0 0 n n n n n n D n n − − − = = − ⋅ − − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 又 ( 1) 12 1 2, 1 1 ( 1) (1 ) n n n n n n A A A n − − −= = = = − ⋅ −⋯ ，其余的为零。 ( 1) 2 * , 1 , 1 1 ( 1) ( 1) 12 2 ( 1) 12 ( ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) n n n n n n n ij i n i i j i n n n n n n n n n D D A n A n n n n − − + = = − − − − − ∴ = + = − ⋅ − + = − ⋅ − + − ⋅ ⋅ − = − ⋅ − ∑ ∑ 方法 9999 利用拉普拉斯定理 拉普拉斯定理的四种特殊情形：[1][5] 1） 0 nn nn mm mn mm A A B C B = ⋅ 2） 0 nn nm nn mm mm A C A B B = ⋅ 3） 0 ( 1)nn mn nn mm mm mn A A B B C = − ⋅ 4） ( 1) 0 nm nn mn nn mm mm C A A B B = − ⋅ 例 9999 计算 n 阶行列式：[1] n a a a a b D b b λ α β β β β α β β β β β α = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 解： 1 2 2 2 2 ( 2) ( 2) ( 2, , 1) 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 2) 0 0 0 0 0 0 0 0( 3, ) 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 ( 2) 0 0 [ ( 2) ( 1) i n i n n i n a a a a b D n a a a a b n C C i n n a b n n ab n λ λ λ α α β β β β α α α β λ α β β β β α β α β α β α β λ α β α β α β λα λ β + × − × − = − − − − − − + − + − −= − − − − ⋅ + − − = + − − − ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 利用拉普 拉斯定理 2] ( )nα β −⋅ − 方法 10101010 ....利用范德蒙行列式 范德蒙行列式： 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 ( ) n n i j j i n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ≤ < ≤ − − − − = −∏ 例 10101010 计算 n 阶行列式[9] 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a − − − − − − − − − + − + − − + − + − = − + − + − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a − − − − − − − − − + − + − − + − + − = − + − + − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把 它化为范德蒙行列式的类型。 先将的第 n 行依次与第 n-1 行，n-2 行，…,2行，1 行对换，再将得到到的新的行列式的 第 n 行与第 n-1 行，n-2 行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第 n 行与第 n-1 行对换， 这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到 ( 1) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a − − − − − − − − − − + − + − = − − + − + − − + − + − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得： n m n m E AB E BAλ λ λ −− = − ( 1) ( 1) 2 2 1 1 ( 1) [( ) ( )] ( 1) ( ) n n n n n j i n j i n D a n i a n j i j − − ≤ < ≤ ≤ < ≤ = − − + − − + = − −∏ ∏ 方法 11111111 利用矩阵行列式公式 引理：设 A 为n m× 型矩阵，B 为m n× 型矩阵， n E ， m E 分别表示 n 阶，m 阶单位矩阵， 则有det( ) det( ) n m E BA E BA=∓ ∓ [5] 先引入一个证明题：[1] 设 A，B 分别是 n m× 和m n× 矩阵， 0λ ≠ ，证明： n m n m E AB E BAλ λ λ −− = − 证明： 0 0 n n n m m m E A E E AB A B E B E E λ λ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∵ 两边取行列式得： 0 0 n n n n n m m m m m E A E E A E AB A E AB E B E B E B E E λ λ λ λ − = = = − − n E ABλ= − 又 1 0 1 0 n n n m m m E E A E A B E B BA E E λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 同 样 两 边 取 行 列 式 有 ： 1 0 1 0 n n nn m m m m E E A E A E A B E B E B BA E E λ λ λ λ λ − = = − + ( )1 1n n m n m m m E BA E E BA E BAλ λ λ λ λ λ λ −= − + = − = − 得证。 那么对于 ,,,,A B分别是 n m× 和m n× 矩阵， 0λ ≠ 能否得到： n m n m E AB E BAλ λ λ −+ = + 答案是肯定的。 证： 0 0 n n n m m m E A E E AB A B E B E E λ λ− + −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ 有： n n m E A E AB B E λ λ − = + 又 1 0 1 0 n n n m m m E E A E A B E B BA E E λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 n n m n m m m E A E BA E E BA B E λ λ λ λ λ −−∴ = + = + n m n m E AB E BAλ λ λ −∴ + = + 即得：对 ,,,,A B分别为 n m× 和m n× 矩阵， 0λ ≠ 时，有： n m n m E AB E BAλ λ λ −=∓ ∓ 则当 1λ = 时，有： n m E AB E BA=∓ ∓ ∴引理得证。 例 11．2003 年全国硕士研究生入学考试数学三第九题的解答中需要计算如下行列式的 值。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b + + = + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 解：令矩阵 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 n n n n a b a a a a a b a a A a a a b a a a a a a b + + = + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 则可得： ( ) 1 2 3 1 2 3 1 21 2 3 3 1 2 3 1 1 1 , , ,, , ,, , ,, , , n n n n nn n a a a a a a a a A bE bE a a aa a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1n n nbE B C× ×= + 其中 ( ) ( )1 1 1 21 1 1 , , , ,, , , ,, , , ,, , , , T n n n B C a a a × × = =⋯ ⋯ 那么根据上面所提到的引理可得： 1 1 1 n n n n n D bE BC b b C B − × ×= + = + 又 ( )1 1 1 2 1 1 1 1 , , ,, , ,, , ,, , , n n n n i i C B a a a a× × = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑⋯ ⋮ ∴可得： 1 1 ( )( )( )( ) n n n i i D b a b − = = +∑ 方法 12121212 利用方阵特征值与行列式的关系。 [ ]5 也以例 11 为例 解： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 n n n n n a b a a a a a b a a M a a a b a a a a a a b + + = + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 n n n n nn n a a a a a a a a bE bE Aa a a a a a a a a = + = + ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 显然 n bE 的n个特征值为 , , ,, , ,, , ,, , ,b b b⋯ 。 n A 的 n 个特征值为 1 0 0 0, , , ,, , , ,, , , ,, , , , n i i a = ∑ ⋯ 。 故 n M 的特征值为 1 1 , , , ,, , , ,, , , ,, , , , n i i n b a b b b = − +∑ ⋯����� 由矩阵特征值与对应行列式的关系知： 1 1 ( )( )( )( ) n n n n i i D M b a b − = = = +∑ [[[[注]]]] n M 的特征值也可由特征值的定义得到。 本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法一般不适用 问题的推广 例 11 中，主对角线上的元素为 ( )1 2, , ,, , ,, , ,, , , i a b i n+ = ⋯ ，那么我们使得主对角线上的元素为 1 2, ,, ,, ,, , nλ λ λ⋯ ， n个任意数，可得下列一般的行列式： [ ] 1 [ ]3 [ ]7 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n n n n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a λ λ λ λ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ［分析］上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子 1 2, , ,, , ,, , ,, , , na a a⋯ ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。) 解： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 0 0 0 0 ( )( )( )( ) n n n n n n n a a a a a a a a a a D a a a a a a a λ λ λ + = ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 1 2 3 1 1 2 2 1 1 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ( )( )( )( ) ( , , )( , , )( , , )( , , ) n i n n n a a a a a i n a r r a λ λ λ + − − = − − − − − − ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ 1 2 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )( )( )( ) ( , , )( , , )( , , )( , , ) n i n i i i i i i n n n a a a a a a a C C a a i n a λ λ λ λ λ = − + + − − + − − = − ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋯ ⋯ ⋯ 11 1 1 1( ). ( ) ( ) [ . ( )]( ). ( ) ( ) [ . ( )]( ). ( ) ( ) [ . ( )]( ). ( ) ( ) [ . ( )] n n nn i i i i i i j j j i i i i i j i a a a a a a λ λ λ λ == = = ≠ = + − = − + − −∑ ∏ ∏ ∏ 特别地，当 i i a bλ = + 时 1 2( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )i n= ⋯ 1 1 1 1 ( )( )( )( ) n n n n n n i i i i D a b b b b a − − = = = + = +∑ ∑ 与例 11 的答案一致。