墨卡托投影分析

� � � � 年第 � 期 · 教 学 参 考 墨 卡 托 投 影 分 析 谭 德 隆 罗 寿 枚 摘 要 本文 阐述 了墨卡托投影的优越性 , 并 以 实例 为基础 , 对 “ 切 ” 与 “ 钊 ” 园柱 投影在我国海疆 图的应 用进行 了 。 一 、 引 言 墨卡托投影 〔�〕是德国制图学家墨卡托 �� � � � � � � � � � � � � � � � � , � � � �一 �弓� � � 刊弱 �年创制的 。 它不但满足了 当时欧洲资本主义发展而要求开辟新 的通商 航路的 迫切需要 , 即使在今天 , 墨卡托投影仍然在航海航空事业上起着重要的作用 。 墨卡托投影是一种建立在透视的园柱投影基础上 , 按等角 的条件 , 以数学 的方 法获得的 一种等角园柱投影 。 按等角的条件 , 便可推求得墨卡托投影的公式为 � � � � ��� � �一 � 八入 墨卡托投影也可采用电子计算机加 以解算 。 如果以 电子计算机与精密 的 自动坐 标展点仪联接使用 , 则将该投影的原程序输入到 电子计算机 , 就可 以通过 精 密坐标 展点仪得到所需要的投影 。 二 、 投 影 的 变 形 墨卡托投影是以等角的条件 决定 � 的 函数形式的 , 因而具有等角 �正 形 � 的 性 质 。 而长度与面积均随着纬度的变化而变化 。 其表现在投影 中的某一变形的等变形线 �等值线 � 是与纬线 方向相一致的直线 , 也就是说 , 同一条纬线上 的各变形 值均各 自相等 。 下表是切园柱投影时的变形值 。 耳耳下下⋯可歹⋯二不可于一�二口舀万纠缨⋯缨擎到些�哩里坚卜一翔燮�幽⋯缨⋯些尸州一二一犷�‘· 。� �⋯‘· 。� ��‘· � � ��‘· 。� �⋯� · ’“� ‘· �‘�一‘· “�“�‘· “� � �� · ““�� · � � �⋯� · “� � �� � · � � ⋯�� � 从表 中可见 , 投影 中的 赤道 印 。 无论长度 、 面积均保持与主 比 例尺相 符 , 是无变 华南师院学报自然科学 版 形的线 , 而随着远离赤道的 程度 , 变 形值也随之增大 , 到纬度� � “ 时 , 长度比增长了 两倍 , 而面积则增大了四 倍 � 当达纬度�� “ 时 , 长度比增大了 近六倍 , 面积却猛增了 近三十三倍 。 变形的特征是 以赤道为对称轴 , 南北同名纬线上的变 形大小相同 。 在投影 中 , 由于所有的纬线均表现为与赤道等长的直线 。 因此与实际相 比 , 除赤 道外 , 其余 纬度均以� � � 甲的倍数 向高纬增大 , 为了满足等角的条件 , 经线的长度以 同样的相应倍数 向高纬增 大, 这种现象便是均等扩张 , 反映在 图上 就是纬 线的间隔 自赤道向两极逐渐扩 大 。 从墨卡托投影的变 形分布规律来看 , 在面积的对比 上容易产生误解 。 例如 , 在地 球仪上 , 格陵兰岛的面积只为非洲的� � � � , 但在墨卡托投影图上二者 的面积 几乎相 等了 , 这点在使用地图时是必须加以注意的 。 �图 � � 踢踢踢 口口口口臀臀臀转转转转转转转转转转 �����臀臀����� � 丫广一一 ��� 地球仪 � �� 图 � 携 一�牙托投影图一儿 格险兰岛和非洲面积的 卜匕较 三 、 等 角 航 线 与 大 环 航 线 古老的墨卡托投影之所 以被广泛应用于航海图 、 宇航图 , 这除了它 具备等角 性 质和构成简单外 , 更重要的是等角航线在该投影 中被投影成直线 。 由于墨卡托投影的经线均表现为平行的直线 , 根据平行线同位角相等的定理 , 必 然使地面上的 等方位 曲线 , 即等角航线在本投影 中表现为一条直线了 。 这一特性 , 还 可用解析法得到证明。 等角航线对于航海 , 特别是领舫具有重要的 意义 。 然而 , 在航行时特别 是远航 时 , 沿等角航线航行是很不经济的 , 因为等角航线并非是最短的距离 。 数学上证明了球面三角的几何 性质 � 球面上两点间的最短距 离是通 过 这两点的 大园弧 。 而 这条 大园弧在海图中被称为大园航线 �亦称 大环航线 � 。 〔� 〕如 从非 洲南 端的好望角到澳洲南端的墨尔本 , 沿等角航线行的航程是� � � � 涅 , 而沿 大园航 线的 航程是 �� � 涅 , 两者相差� �� 涅 , 可见沿大园航线航行才是最经济的。 �图 � �妙 撇撇撇寺龙魄���� ���不不不不板�匀匀厂厂厂厂 厂厂厂厂〔〔〔〔〔〔豆二二【工二二阮「「区区区区区区区区区区区区区区区区区区区区区 �������盆盆厂下下「��� � , 阵爪爪仁仁��� ��� 团团’丫丫 � �� 一一一 叫 ���一一一一一一万万万 图 � 从好望角到墨尔本的 等角航线和大园航线 �据吴忠性 《 地图投影 》 � � � � 年第 � 期 但是 , 沿大园航线航行需要频频改变航向 , 甚为不便 。 因此 , 在实际航行中 , 通 常是在图上同时绘出大园航线 , 尔后将其分成若干段 , 每 一 段以直线连接 , 沿此直线 航行 , 走的是等角航线 , 但就总 的情况来说 , 又是接近于沿大园舫线航行的 。 这样 , 在航行 中既便于领航 , 又大大缩短了航程 。 四 、 相 “切 ” 与相 “ 割” 墨卡托投影之 比较 墨卡托投影常用来制作海图 , 现以绘制我国海疆之墨卡托 投影为例 , 按 “ 切 ” 与 “ 割” 的两种情况加以比较 。 �一 � “ 切 ” 园柱等角投影 投影区域范围 � 印 � � � 。 , 叩 � 一 � � “ 、 入。一 �叱 。 、 入� 一 �� � 。 纬线 � 甲 � 一 。 。 经 纬网密度 � 人 久一 八 甲 二 � 。 比例尺 � � � , � � � , � � � 计算所得直角坐标 � � � � ��� � � 。。 � � � ““ �� � 。。 � � � 。。 ��� 。 � ��� � 。 � ��� � 。 � ��� � 。 � ��� 弓弓� �弓弓 � � � 自自 �� 。 � 弓弓 � � � � ��� �� � � ’ � 。 � � � � � �写 � 。 � � � � 。 � � � � 。 � � � � 。 � � � � 。 �只 � � 。 � � � � 。 � � � � 。 � � � � 。 � � � � 。 � � � � 。 �� � � 。 � � � � 甲甲甲 少� 入入 � � � ““ 八八八 夕 ,������ ��� ““ ��� � 。 � ��� ��� 。。 ��� � � � ��� ��� � 。。 ��� 弓� � ��� ���弓。。 争,, � 。 � ��� ��� � ““ ��� � � � � ��� ������� � � � ��� ������� � � � � ��� �������������������������� 、� � � ��� ������� � � � ��� ��� � ��� 夕夕 几� , � ������ � 。。 ��� 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1 9 。 2 444 2 4 。 0 555 555 。。 XXX 4 。 8 0000000000000 4 。 8 000 yyyyyyy 0 。 0 0000000000000000000000000000000000000000000 2 4 。 0 555 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 111 0 ““ XXX 9 。 6 3333333333333 9 。 6 333 yyyyyyy 0 。 0 0000000000000 2 4 。 0 555 11111111111 4 。 5 55555555555555555555555111 5 “““ 0 。 0 0000000000000 1 4 。 5 555 2222222222222222222 4 。 0 555 222 0 ““ XXX 1 9 。 弓8888888888888 1 9 。 5 888 yyyyyyy 0 。 0 0000000000000 2 4 。 0 555 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX222 5 ““ yyy 2 4 。 7 7777777777777 2 4 。 7 777 0000000 。 0 0000000000000 2 4 . 0 555 33333333333333333 0 。 1 888888888888888888888888888888888888888888888333 0 ““ XXX 0 。 0 0000000000000 3 0 。 1 888 yyyyyyyyyyyyyyyyyyy 2 4 。 0 555 333 5 ““ XXX 3 弓。 8 8888888888888 3 5 。 8 888 yyyyyyy 0 。 0 0000000000000 2 4 . 0 弓弓 444 0 。。 XXX 4 1 。 9 444444444444444444444444444 4 1 。 9 444 444 5 。。 yyy 0 。 0 0000000000000 2 4 。 0 555 4444444444444 8 。 4 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666 XXXXXXX 0 。 0 000 4 8 。 4 666 4 8 . 4 666 4 8 。 4 666 4 8 。 4 666 4 8 。 4 666 yyyyyyyyy 4 . 8 111 9 。 6 222 1 4 。 4 333 1 9 。 2 444 2 4 。 0 5 年第 2 期 555 。。 1 0 。。 1 5 。 一2 0 。。 } : : 。。 { 3 0 。。 一一 000 。 8 7 00000 O · 8 9 7 } 0 · 9 2 222 {{{{{ 3 5 0 4 0 。。 0000000000000 . 8 0 5 一。。 8 5 0000000000000000000 1 · 0 5 7 1 1 · 1 3 00000000 。 8 8 00000 O 。 9 5 6 { l 。 0 0 00000 OOO 。 7 5 666 O 。 7 7 55555 由以 上 “ 切 ” 与 “ 割 ” 投影的计算结果 一可知 , 虽然主 比例尺 、 投影区 域范围相 同 , 但两者图幅大小却有差 异 , “ 切” 园往投影较 “ 割 ” 园柱投影为大 。 ( 图 3 ) 若以计算得到的变形值绘制成图解曲线 , ( 图 4 ) 便很清楚地表明 , “ 切 ” 园柱 投影无论长度 、 而积的变形均较 “ 割” 园柱投影为大 , 并且愈至高纬 , 变形愈烈 , 因 而在制作我国海域的墨卡托投影图 时 , 以采用 “ 割” 园柱投影为宜 。 *** 尹尸尸 了了了 介介 二了了 仁仁仁仁仁乙/ 、、飞、、卜卜卜卜 ((( 夕夕夕洛洛洛洛洛洛PPP户户户户户户户............. ///////// /// o ‘‘ 八八八八八 IIIII匆匆,, 尸尸/// 守‘‘‘ 火火厂厂夕夕夕 硫硫硫;;;;;;; ’ ))) 岛耳耳尾尾‘‘‘‘‘ 米米米 夕夕夕夕 Z 夕夕 二沂沂少少、、、、 / 飞 ,,,, !!!!! 岁岁一 ‘ 气气厂弓弓111 决决之之之之 介介 万万 亡亡亡亡亡必必书\\\夕夕夕夕夕 ’’ \ 丫丫 飞飞飞飞飞飞6。。 /////////长,, 口 刁刁卜卜卜 厂州产产 /// 护‘‘‘ ((( 〔〔犷犷犷 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:::{阵石毛橇燕乒蒸歹于于石二孚三乡份乡今二手不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不///// ? 二礴霖汗灸少夕一才多》诀孔, 2 / /了二形/一一厂厂防防防每麟恕鹅找尾/几龙杯洲广‘产分谷户二尹尹 一子下下了了了 粉 丫 /勺/衰/ / 今魁 / , 了 / / 肠 尸 / 叮 X ///二二 }}}}} /, 石成/ 犷 / / 多赶写。芦 / / 孤夕/ / / / \///// }}}}} { 人叼屯 / / 刀 / 勺乡丫 刀 武 / / { / 人人 ~, 二二_______________________________________________________________________________________ ‘‘ lllll 乙 j 污竿、 、 . / 丫么 { 加 )、 海比户 / / / / /// 一 OOO 「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「了了户户户哪。 脚 /叭 /@ 沛妙 }妙 沙 沪。 { 吩 尸“中丈碧。 / 吵 /。 妞/加 峥 /////』』』岸, 办 忠馆份t’x 一刁 才 / 八 / 夕 / 诚, 厂 j 卜/ / // / /////}}}]]] // / { 了/ / / / 日 / / /气勺护 / 刀 // / /////口口口// / / /冤/ / / / / / / / / / // / /////厂厂厂/ / 月之尤/ 乡升厂分分分分弃// / / 又又:t‘‘ 口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口, ,, 二二二不半址见多公匕:多七七共口‘七或二老少少七少一一一lll咖 ·“ ·, ·, . , 旧 ‘ 9o 伶 . 。 、 ·, 。 ., , 二 . , 、 二 ., J , , 二 , .即 , .、 , ·。。 Io ; 灵灵犷 一一 为了 适应其他方面的需要 , 墨卡托投影除正轴外 , 还有横轴 、 斜轴等投影 , 如为 了编制两点间长距离不着陆飞行图 , 采用等角斜切 园柱投影 , 这种投影在宽为30 “ 的 带形区域内 ( 带形区域的轴线是大园线 ) , 该带近似于大园舫线 , 亦即在此一带区域 范围内各大园弧儿乎都被投影为 一些直线 , 故有 利于绘制用 于长途 飞 行的航 线图 。 通用横轴墨卡托投影〔4〕 ( u n i v e r s a l T r a n s v e r e s e M e r c a t o r p r o je e t io n 简称u T M 投影 ) , 属子横等角割园柱投影 , 非常接近高斯一克吕格投影 , 仅是 中央 经线不是等长 , 而是 一个缩短了的常数0.999 6 , 两条割线上没有变形 。 由于该投影将 世界 划分为60 个投影带 , 每带经差 6 “ , 带的编号系统与 1 : 10 0万比例尺 地图 有关 规定是一致的 , 故用于卫星象片的数学基础 。 自从人类为探索月球 的奥秘而 飞 向月球 以来 , 月球地图投影的研究也随之发展 。 其 中墨卡托投影 、 横轴墨卡托投影和 U T M 投影等均被应用 。 1 9 6 0 年编制的1 : 100 万 月球宇航图 , 按不同地带采用了三种投影 , 其 中南 、 北纬16 “之间的月球赤道区带便 是墨卡托投影 。 1 9 7 2 年美国为宇宙飞船阿波罗号编制的月球地形图 , 也采用过横轴墨卡托投影 。 此外 , 墨卡托投影在我国和世界上许多国家出版的地图集 中也广泛被采用 。 由此可 见 , 墨卡托投影在实际应用 中不断得到充实和发展 , 在 地图科学 中更加 闪耀着光 辉 。 年第2 期 137 今 参 考 文 献 〔1 〕测绘词 典 , 第703 页 , 上海 辞书 出版社 , 1 9 8 1 年 〔2 〕吴 忠性 , 地 图投影 , 第88页 , 测绘 出版社 , 1 9 8 。年 〔3 〕程 尤举 , 墨卞托投影及 大园投影构成 及其在确 定航线 、 计算航程 、 航向方 面 的应 用 , 第 i 页 , 1 9 7 9 年 〔4 〕胡毓拒 、 龚剑 文 、 黄伟 , 地 图投影 , 第11灭 、 1 7 4 页、 1 7 5 页 , 测绘 出版社 , 1 9 8 1 年 A N A N A L Y S IS O F M E R C A T O R P R O J E C T 10 N T :一n l ) e 1 o n 只 L u 0 5 h o u m c i T h i s p a p e r d o s e r ib 。: t h e a d v a n t a g e s o f t h e M e r e a t o r p r o j e e t i o n B a s e d o n a e t u a l e x a m p l e s , i t d i s e u s s e s t h e a p p l i e a t i o n o f “ , 1 i e e , , a n d “ e u t ” o f r o t , n d p r o i e e t i o n t o m a p 一 m a k i n g i n e h i n a 。 舀耳今