椭圆的性质

椭圆的性质（提高） 学习目标 　　1. 掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质. 　　2. 能用椭圆的简单性质求椭圆方程.　　3. 能用椭圆的简单性质解决有关问. 要点梳理 知识点一：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 　　椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 　　对于椭圆方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点　　①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 　　②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 　　③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率 　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 　　②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 　　要点诠释： 　　椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（1），，； 　　（2），，； 　　（3）,，； 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 　　椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 　　可借助下图帮助记忆： 　　　 　　a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 　　和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 　　标准方程 　　 　　 　　　图形 　　 　　 性质 　　焦点 　　， 　　， 　　焦距 　　 　　 　　范围 　　， 　　， 　对称性 　　　　　　　　关于x轴、y轴和原点对称 　　顶点 　　， 　　， 　　轴 　　　　　　　　长轴长=，短轴长= 　离心率 　　　　　　　　　　 　　要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同， 参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 知识点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 　　椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种， 任给一点M（x,y）， 　　若点M（x,y）在椭圆上，则有 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/dcd40c542142132c316353a688404903/507df496/ett20/resource/3bdc30954118f132eb143a6e6ebac8f1/zsjj.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET ； 　　若点M（x,y）在椭圆内，则有 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/dcd40c542142132c316353a688404903/507df496/ett20/resource/3bdc30954118f132eb143a6e6ebac8f1/zsjj.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET ； 　　若点M（x,y）在椭圆外，则有 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/dcd40c542142132c316353a688404903/507df496/ett20/resource/3bdc30954118f132eb143a6e6ebac8f1/zsjj.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET . 直线与椭圆的位置关系 　　将直线的方程与椭圆的方程 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/dcd40c542142132c316353a688404903/507df496/ett20/resource/3bdc30954118f132eb143a6e6ebac8f1/zsjj.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET 联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 　　①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； 　　②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； 　　③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 　　设直线交椭圆 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/dcd40c542142132c316353a688404903/507df496/ett20/resource/3bdc30954118f132eb143a6e6ebac8f1/zsjj.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET 于点两点，则 　　 　　　　 == 　　同理可得 　　这里 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/dcd40c542142132c316353a688404903/507df496/ett20/resource/3bdc30954118f132eb143a6e6ebac8f1/zsjj.files/image059.gif" \* MERGEFORMATINET 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 　　　　 类型一：椭圆的简单几何性质 1.已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6， 且，求椭圆的方程。 　【解析】 　　椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c， 　　，， 　　所以c=2，b2=32－22=5，　　故椭圆的方程为或。 　　【点评】灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程. 【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 【答案】椭圆的长轴和短轴长分别是，离心率，焦点，椭圆的四个顶点是 【变式2】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。 【答案】或 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______ 【答案】。 类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 　　2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率； 　　（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。 【解析】　 　　（1）由题意得， 　　　　 即，　　　　 解得。 　　（2）由题意得，　　　　 解得，故离心率。 　　【点评】椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式 椭圆的离心率，所以构造a、b、c三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a、b、c三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系。 　　求椭圆的离心率通常有两种方法： （1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c的值，利用公式直接求解。 　　（2）若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e。 　【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（　 　） 　　 【答案】D 【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】 3.设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。 　【解析】 　　在△MF1F2中，由正弦定理得 　　， 　　即 　　∴， 　　∴。 【点评】　 本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e。 【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。【答案】 【变式2】已知椭圆的左焦点为F，右顶点A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________。【答案】　 　　【解析】 　　根据题意，|AB2|=a2+b2，|BF|=a，|AF|=a+c，所以在Rt△ABF中，有(a+c)2=a2+b2+a2，化简得c2+ac―a2=0， 等式两边同除以a2，得e2+e―1=0，解得。　又∵0＜e＜1，∴。 　4．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。 【解析】 　　△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a， 　　由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°① 　　又|PF1|+|PF2|=2a　 ② 　　联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴ 　　 　　 　　【点评】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式. 【变式】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。 　　【变式】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。 答案与解析 　　【答案】 　　由已知，，所以， 　　即， 　　不等式两边同除可得， 　　解不等式得或. 　　由椭圆的离心率， 　　所以所求椭圆离心率. 【答案】 　　由已知，，所以， 　　即，　　不等式两边同除可得， 　　解不等式得或. 　　由椭圆的离心率， 　　所以所求椭圆离心率. 类型三：直线与椭圆的位置关系 　　5.已知椭圆，求过点且被平分的弦所在 【解析】 　　解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程， 　　　　　　 并整理得． 　　　　　　 由韦达定理得． 　　　　　　 ∵是弦中点，∴．故得． 　　　　　　 所以所求直线方程为． 　　解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 　　　　　　 　　　　　　 ①－②得．　　　　　 ⑤ 　　　　　　 将③、④代入⑤得，即直线的斜率为． 　　　　　　 所求直线方程为． 　　【点评】 　　（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． 　　（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． 　　（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用 【变式1】已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程 　【答案】直线的方程为x+2y－8=0 【变式2】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。 【答案】时，直线与椭圆恒有公共点 　　【解析】 　　△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a， 　　由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°① 　　又|PF1|+|PF2|=2a　 ② 　　联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴ 　　 　　 　　【点评】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式. 　　【变式】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。 答案与解析 　　【答案】 　　由已知，，所以， 　　即， 　　不等式两边同除可得， 　　解不等式得或. 　　由椭圆的离心率， 　　所以所求椭圆离心率. 　　【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 答案与解析 　　【答案】椭圆的长轴和短轴长分别是，离心率，焦点，椭圆的四个顶点是 　　【变式2】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。 答案与解析 　　【答案】或 　　【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______ 答案与解析 　　【答案】。 PAGE 8