【高数】§3 极限的计算

nullnull§3　极限的计算3.1 　极限的运算法则 3.2 　两个重要极限 3.3　 无穷小量的阶null3.1.1 极限的四则运算定理 1.3 设 lim f = A 和 lim g = B，则 (1) lim(f±g) = limf + limg = A+B (2) lim(kf) = klimf = kA （k 为常数） (3) lim(f ×g) = (limf ) ×(limg) = A × B (4) 若B≠0，则 lim(f÷g) = (limf ) ÷(limg) = A÷Bnull原式＝null原式＝null原式＝null解：注意分子、分母的极限都是无穷大量，不能直 接利用极限运算法则。需先将形式改写为 合适形式。 可用x 的最高次幂同除分子与分母，分别得到例 求下列有理函数的极限null例 7解： 先将原式作分子有理化变形null3.1.2 复合函数的极限定理 1.4null原式＝null3.2 两个重要极限1. 第一个重要极限例：求下列极限null1. 第二个重要极限证明概要：根据二项式定理由此可证 1. xn < xn+1 ; 2. 0 < xn < 3 即 {xn }单调增加且有上界，故存在极限。null例：求下列极限null例 19 连续复利问（自习）今有本金P0，计息期利率 r ，计息期数 t ： 一期结算后本利和： A1=P0＋ rP0 = P0(1＋r) 二期结算后本利和： A2=A1＋rA1= P0(1＋r)2 …… t 期结算后本利和： At=At-1＋rAt-1= P0(1＋r) t若每期结算 m 次，则每期利率为 r/m ，得 原 t 期后本利和： Am= P0(1＋ r/m) mtnull3.3 无穷小量的阶刻画/比较在同一变化过程中 不同的无穷小量趋向于零的速度观察：当 x0 时，x，2x，x2 都是无穷小，但它们趋于 0 的速度却不一样。具体来说，可以通过两个无穷小比值的极限来比较。由此引出无穷小量 阶 的概念null定义 1.20 设 lim f = 0，lim g = 0（即：f, g 是同一变化过程 的无穷小）， l, k 为常数：3. 若 ，则称 f 是 g 的高阶无穷小量，记作f = o(g) 特别地，用 g＝ o(1) 示 g 是无穷小量1. 若 ，则称 f 与 g 是同阶无穷小量，记作 f ~ lg2. 若 ，则称 f 与 g 是等价无穷小量，记作 f ~ g4. 若 ，则称 f 是关于 g 的 k 阶无穷小量nullRevisit 两个重要极限的相关结果，pp. 35~38null例 20 当 x→0 时，试将下列无穷小量与无穷小量 x2 比较无穷小量的阶：两个无穷小量比值的极限注意： 并非任意两个无穷小量都可以进行比较。例如null例 求下列极限阶的应用：利用等价无穷小代换简化计算极限 —— 仅限于 × 、÷ 运算性质：设 f1 ~ f2 , g1 ~ g2 ，且 lim ( f2/g2 ) 存在，则