生活中的概率问题

生活中的概率问题 ?6.3.1 生日相同的概率(一) 教学目标 (一)教学 能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率. )能力训练要求 (二 经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力. (三)情感与价值观要求 通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.并且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观. 教学重点 用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率. 教学难点 经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大. 教学方法 探究——实验——合作交流法. 本课时选择了贴近学生生活的生日问题，旨在通过具体收集数据.进行实验，统计结果，合作交流的过程，丰富学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系. 教具准备 每个同学课外凋查10个人的生日、生肖; 投影片两张: 教学过程 ?.创设问题情境，引入新课 [师]《红楼梦》62回中有这样一段话: 探春笑道:“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，也有三个一日的，两个一日的„„过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧，”宝玉又在旁边补充，一面笑指袭人:“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以 记得.” 关于生日问题，还有几个很有趣的故事: (1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊. 1 (2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说:“我们来打个赌.我说，我们之间至少有两个人的生日相同.“赌输了.罚酒三杯～”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报 结果没有生日恰巧相同的.“快!你可得罚酒啊!”突然，一个女佣出. 人在门口说:“先生.我的生日正巧与那边的将军一样”.大家傻了似的望望女佣.他趁机赖掉了三杯罚酒.那么，在几个人中，有2个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有2个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然还是一种偶然呢? 下面，我们就带着这个问题，学习研究一个历史上很有名的趣味性问题——生日相同的概率. ?.经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率 [师]400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗? [生]一定! [师]依据是什么呢? [生]抽屉原理——把m个东西任意放进n个空抽屉里(m>n).那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西. 在上面的问题小，由于一年最多有366天，因此，在400个同学中一定会出现至少2个人出生在同月同日.就相当于把400个东西放到366个抽屉里，一定至少有2个东西放在同一抽屉里. [师]这位同学解释得很精彩!同学们可接着思考:300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗? [生]这就不敢保征了. [师]但我认为我们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同. [生]不可能吧,～(惊讶) [师]不相信吗?我们现在就来调查一下全班同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的. 为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“0216”.然后，我们请两位同学把结果板演在黑板上.同时，请同学们想一想:在结果未出来之前，你能猜想到什么, [生]没有2个同学的生日相同. 2 [生]有2个同学的生日相同. [生]也许会有3个同学的生闩相同， „„ [师]有3个同学的生日当然也必然有2个同学的生日相同了.这 节课我们研究的只要有2个同学的生日相同即可. 但是，如果咱们班50个同学中市两个同学的生日相同，那么能说明这50个同学中有 2个同学生日相同的概率是1吗?如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗? [师]调查的结果出来了.同学们根据调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题. [生]咱们班50个同学中有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学中行2个同学生日相同的概率是1;而50个同学中没有2个同学生日相同.也不能说明其相应概率为0. [生]我也这样想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，我们就说国徽朝上的概率为1，国徽朝下的概率是0，很显然是错误的.概率的意义应是建立在大量的重复实验的基础上，用事件发生的频率近似地表示概率.因此.我们要真正体验随机选取的50个同学中有2个同学生日相同的概率，必须经过大量的重复的实验去体会、感受. [师]出示投影片:(?6.3.1 A) 活动一:每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选择50个被调查人，看看他们中有没有2个人的牛日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个.估计50个人中有2个人生日相同的概率. (1)设计目的:旨在通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到体问题的概率较大. (2)准备工作:每个同学课外调查10个人的生日，为了节约时间，可仿照前面的办 法，进行一定的简化，如可将“3月8日”记为“0308”. (3)设计方案:(可由学生自主设计，这里的方案，在具体实验时 3 仅供参考) 方案一:在具体实验时，可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取. 方案二:将每个同学所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再按照某规则从中选取50个进行实验，例如排成20×25的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往 右，自上而下地数出50个数，进行实验. 方案三:要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总. (4)过程指导: (a)收集数据为了节约时间，可以对生日的表示方式简化，还可以以小组的形式参与整理、收集数据，以保证时间的充分利用. (b)鼓励学生大胆地发言，交流、讨论从大量重复实验过程中初步感受到本问题的概率较大. (c)在活动和分析的基础上，激励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出1,365之间的某一个自然数代表生日进行实验;让同学们分工合作制作365个依次写有1,365的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取1张，记下号码放，回去;再随机抽取1张，记下号码，放回去;再从中抽取，一张„„直至抽取第50张.记下号码为一次试验.重复多次实验，即可估计出50个人中有2个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验. (5)评价指导 (a)主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况. (b)鼓励学生思维的多样性. (c)关注学生能否用实验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率. (d)关注学生对概率的理解是否全面. [师]通过大量重复的试验，你能估算一下50个人中有2个人生日相同的概率吗? [师生共析]我们可从实验的频率估计理论概率，并使我们感受到本问题的概率较大。 约为0.9704.其计算过程稍后再说明. [生]难怪老师刚开始那么肯定地说:“咱们班50个同学中很可能 4 有2个同学的生日相同.” [生]原来《红楼梦》中贾宝玉和探春说的“遇的巧”，实则是极为平凡的事. [生]美国数学家伯格米尼和与高级军官一起用餐的那个人，原来 他们早已知道这里的“玄机”了. [师]这个问题出入意料之处在于其结果违反了人们的自觉.人们 但计算结果告诉往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情. 我们:如果人数不少于23人，那么这种可能性就会达到50,.下面是一张说明“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表，你看了一定会很吃惊吧!(出示投影片?6.3.1 B) n P n P n P 20 0.4114 34 0.7953 48 0.9606 21 0.4437 35 0.8144 49 0.9658 22 0.4757 36 0.8322 50 0.9704 23 0.5073 37 0.8487 51 0.9744 24 0.5383 38 0.8641 52 0.9780 25 0.5687 39 0.8781 53 0.9811 26 0.5982 40 0.8912 54 0.9839 27 0.6269 41 0.9032 55 0.9863 28 0.6545 42 0.9140 56 0.9883 29 0.6810 43 0.9239 57 0.9901 30 0.7305 44 0.9329 58 0.9917 31 0.7305 45 0.9410 59 0.9930 32 0.7533 46 0.9483 60 0.9941 33 0.7750 47 0.9548 ?.应用、深化——比一比、赛一赛 出示投影片(?3.1 C) 活动二:课外调查的10个人的生肖分别是什么?他们中有2个人的生肖相同吗?6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率. (1)设计目的:本问题与生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动的经验，对较复杂的概 5 率问题有较直观的感受. (2)设计方案:(可由学生模仿生日问题，自主设计，这里的方案在具体实验时仅供参考) 方案一:将每个同学所调查的生肖随机排成某一适当的形式(如方阵)，然后按照某规则从中随机抽取6个进行实验. 方案:二:分小组实验(6人一组)，要求小组每个成员每次随机地写下自己所调查的一个生肖，由小组组长汇总收集数据，统计结果.最后根据全班收集的数据.估算出6个人中有2个人生肖相同的概率. 方案三:可以将学生所调查的生肖写在纸条上，并放到某个箱子中随机抽取. (3)过程指导 (a)鼓励学生积极、大胆地发言，阐述自己的没计方案.在讨论、交流的过程小进一步感受到大量重复试验中频率稳定于概率的基本意义.(b)在活动和分析的基础上，激励学生探索出该问题的模拟实验. ?评价指导:(a)主要评价学生能否用实验的方法估计一些复杂的随机事件的慨率.(b)鼓励学生思维的多样性，关注学生对概率意义的理解是否全面.(c)6个人中有2个人生肖相同的概率约为0.78.在这里不要求学生把结果精确到具体哪一位. ?.课时小结 ?.课后作业 1.课本习题6.4 2.从网上收集《自觉引出的错误——概论悖论》并在全班交流. 6