关于多元复合函数求导的树形图方法 毕业论文

关于多元复合函数求导的树形图 毕业 shi 题目名称 关于多元复合函数求导的树形图方法 学 院: 数学学院 专业年级: 学生姓名: 班级学号: 指导教师: 二O年 月日 摘 要 对多元复合函数求导问题历来是教学中的重点同时也是难点,如何把握重点,化解难点是本文所要达到的目的.本文详细地介绍了如何用图示方法协助链导法则解决对多元复合函数求导的问题.同时根据多元复合函数结构及其求导链锁过程的复杂性,提出一种现象直观的树形图上求导法:根据多元复合函数各变量之间的内在关系,并构建树形结构示意图,以简明的方式揭示函数的结构和图上求偏导的链锁规则. 关键词:复合函数;树形图;链锁规则;偏导数;路径图 I Abstract Multi-function derivation of the compound the problem has always been the focus of teaching is also difficult to grasp the key points，this article is to resolve the difficult to achieve(This paper describes in detail how to assist the chain differentiati- on rule-mapping methods to solve complex multi-function derivation of the prob- lem(At the same time under the multi-composite structure and its derivative function of the complexity of the process chain is presented on the phenomenon of intuitive derivation tree:According to multiple complex functions inherent relationship between variables to analyze and construct the tree diagram to reveal the simple way to map the structure and function of the partial derivative of the chain rule. Keywords: Composite Function;Tree;Chain Rules; Partial Derivatives; Road Map. II 目 录 中文摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„? 英文摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„? 目 录„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„? 1.引 言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.主要结果„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 3.应用举例„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18 致 谢 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 19 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20 III 1. 引 言 高等数学中,微分法的研究是微分学的基本之一,其中复合函数的求导问题尤为重要,同时又是非常重要的题型.当建立起偏导数概念以后,求已知多元函数的偏导数并不用任何新的方法,但对多元复合函数而言,就不象一元复合函数那么简单了.由于多元复合函数的复合结构复杂,怎么正确掌握求导法则是我们教学要达到的目的之一. 多元复合函数求导的方法有多种,如链导法则、全微分形式不变性、隐函数的微分法和向量植函数的Jacobi行列式等等.由于涉及的理论的多少,一般的高等数学教材只介绍前几种,由以链导法则为主.但是在介绍此法则时一般采用的是先 这种叙述方式很大程度是常常因理论上证明,给出公式,然后举例直接套用公式. 记不住公式或搞不清楚复合函数的复合结构关系而出错,使本来比较简单的问题复杂化. 我们先来分析一元复合函数,如,此时y是x的复合函数,于y,f(u),u,,(x) ,y,y,u,y,u,x是y对x的导数就是.这是实际上有一条链:,指y到x只,x,u,x 有一条路径,其中路径中每一个箭头表示前一个变量对后一个变量的导数,两个箭头即两个导数相乘.这条链较清晰地表明函数的复合关系,且求导式由路径立即得出.教学中一般均未体积这条链,在此抛砖引玉,对于理解下面链导法则的路径图有帮助. 熟练掌握多元复合函数的求偏导数方法,是高等数学课程教学的基本要求.在多元复合函数中,由于其复合结构繁多,中间变量及自变量都可能不只一个,且中间变量的层数亦不一定为单层,因此在实用链导法则时,极易出错.此时的关键是弄清楚函数的复合结构,哪些是中间变量,哪些是自变量.虽如此,但实际操作时仍易出错.倘若能仿上述一元复合函数的作法,加上适当的图形,直观地表明有关函数、中间变量、自变量之间的复合关系及依赖关系,将能更好地理解及运用链 1 导法则,且求导式不易出错. 这里的图形,称为路径图.其原则是如果函数到某最终变量(自变量)的路径有几条,则函数对该自变量的导函数或偏导数的表达就为几项之和,且每一项分别由路径中几个箭头的乘积构成,没个箭头表示前一变量对后一变量(箭头指变量) ,z,u的偏导数.如分别表示为,. z,x,u,x,x,x 假定下面所涉及到的函数均满足相关条件,同时遵循一个原则:在多元复 合函数的求导过程中,如果其中某一个中间变量是一元函数,则涉及到它的偏导 数记号应改为一元函数的导数记号. 2.主要结果 多元函数的微分法,主要是掌握复合函数偏导数的求导法则.该法则又称 链锁规则,表述为下述定理: [定理]若,在点(x,y)有偏导数,z=f(u,v),在对应点(u,v)u,,(x,y),v,,(x,y) 有连续偏导数,则复合函数,在点(x,y)有对x及y的偏导z,f[,(x,y),,(x,y)] 数: ,z,z,u,z,v (1) ,,，,,x,u,x,v,x ,z,z,u,z,v,,，, (2) ,y,u,y,v,y 公式(1)、(2)就是求其偏导数的链锁规则.这一规则又可叙述为“函数对其自变量的导数,等于函数对中间变量的偏导数乘以中间变量对该自变量偏导数之和,函数有几个与该自变量有关的中间变量,及结果就有几项，函数有几次复合,没一项就有几个因子相乘.”如何正确理解和掌握函数偏导数的链锁规则.关键在于正确识别复合函数的中间变量和自变量,找出他们之间的内在关系,分析清楚其 2 结构,以更直观的方式表示函数偏导数的链锁过程.为此,使用多元函数的树形图上求导法,以树形结构示意图形象直接地表示因变量到达自变量的所有途径,并以路径中构成函数关系且相邻的两个变量间的“线段”上,标记左端变量对右端变量的导数,通过建立图上链锁合成规则,正确求出函数的偏导数. 3.应用定理 下面分类举例进行讨论，给出其相关的复合函数的微分法则( 3.1中间变量为多个,最终变量为一个情形 如z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)其路径图为: ,x,. zt,y, 它表明z最终为t的函数,z到t有两条路径,每条路径有两个箭头.所以,z,z,x,z,y,,，, . ,t,x,t,y,t 类似推广 z,f(x,x,？x),x,x(t),i,1,2,？n,路径图为: 12nii ,x,1 ,,zxt 2 ,,xn ndxdzz,i,,,特别,如, x,,(t),y,,(t).路径图为: z,f(x,y,t),dtxdt,,1ii ,x,z,t . ,,y 显然z是t的函数,z到t有三条路径,其中一条路径为只有一箭头.所以z,t ,z,z,x,z,y,z,,，,，. ,t,x,t,y,t,t 3 dz其中:右端表示z对t的偏导数,即在z=f(x,y,z)中固定x,y为常数而计dt dz算出来,左端是z对t的全导数,即在的假设下计算出来. x,,(t),y,,(t)dt 3.2.中间变量为一个,最终变量为多个的情形 如此时z为st的复合函数,是多元函数.路径图为: z,f(x),x,,(s,t) ,s, z,x,t ,z,z,x,,Z到s有一条路径,路径上有两个箭头;Z到t同理.所以 ,s,x,s ,z,z,x,,.类似推广,路径图为: z,f(x),x,x(t,t,？t)12n,t,x,t ,t1 ,t2z,x ,？ ,tn ,z,z,x,,i,1,2,？,n则( ,t,x,tii 3.3(中间变量为多个,最终变量为多个的图形 如 路径图为: z,f(u,v)u,,(x,y)v,,(x,y) ,x,u,yz, ,x,v,y z为x,y的多元复合函数.此时,z到x有两条路径,路径上都有两个箭头;z到y ,z,z,v,z,u,z,z,v,z,u,,，,,,，,同理.所以 ，. ,x,v,x,u,x,y,v,y,u,y z,f(u,u,？,u)类似推广到n个中间变量,m个最终变量:, 12n 4 ，路径图为: u,u(t,t,？,t)i,1,2,？,nii12m ,t1 ,t2,u1,？ ,tm ,t1 ,t2,u2z ,？, ,tm ,？,？ ,t1 ,t2,un,？ ,tm ndu,z,zi,,则, .特别,如一 ，, j,1,2,？mz,f(u,v)u,,(x,y)v,,(x),,t,udti,1jij 路径图为: ,x,uz,y , ,v,x 此时z仍为x,y的复合函数.z到x有两条路径,但z到y只有一条路径.所以 ,z,z,v,z,u,z,z,u,,，,,,,. ,x,v,x,u,x,y,u,y 再如 ,,,路径图为: u,,(x,y)v,,(x,y)z,f(u,v,x,y) ,x ,x,u,y, z ,x,v,y ,yz为学x,y的多元复合函数,Z到x有3条路径,其中一条是z直接到x,z到 5 ,z,z,v,z,u,z,z,z,v,z,u,z,,，,，,,，,，同理.所以,上两式中z有两,x,v,x,u,x,x,y,v,y,u,y,y ,z,z种类型对x及y的偏导数.其中左端的,是把z看成具有中间变量及自变量,x,y ,z,zx,y的复合函数时求其偏导数,右端的,是z将看成四个独立变量u,v,x,y,x,y 的函数时求其关于x及y的偏导数.为避免混淆,可以采用下标加以区分.可写成: zzuzvz,,,,,,(),,，,，(), xy,u,vxuxvxx,,,,,, zzuzvz,,,,,,(),,，,，() , yx,u,vyuyvyy,,,,,, ,zz,,z()其中同理，z=f(u,v),u=都具有连续偏导数,求,. ,(x,y),v,,(x,y)x,u,v,xy,y, 因为z是关于u,v的函数,而u,v又是关于x,y的函数,所以z是关于x,y的函数.这表明z是因变量,u,v是中间变量，x,y是自变量.它们之间的关系可表示为图1. ,u,z,x,,,xx,u ,,,uu,,,y,uy,yz z,vx,xv,,,x ,,,vy,z,,,y,v,v,y 图1 图2 在图(1)中的左端始点z为因变量,右端终点x,y为自变量,中间的点u,v为中间变量,构成了多元复合函数的树形图.若以连结两个变量的f[,(x,y),,(x,y)] 线段上,标记以左端变量对右端变量的偏导数,见树形图(2),则由始点z到达终点x,y的各条路径,获得一串导数——导数链,为下一步链锁合成做准备. ,zz,u,x求:由图(2)左端始点z出发,沿路径线段上标记的导数依次,x 6 ,z,v,z,u,,记录下来,并作乘法:;沿路径,可得.由因变量z到达自z,v,x,u,x,v,x 变量x只有这两条路径.将前边所得两个结果相加有: ,z,z,u,z,v,,，, (3) ,x,u,x,v,x ,z,z,u,z,v,,，, (4) ,y,u,y,v,y 将公式(1)、(2)与公式(3)、(4)作比较,可见结果完全相同,这是因为例1就是关于多元复合函数求导法则的定理.但是后者是经过分析作图、标记路径、定导数链和链锁合成步骤得来,过程更为简明,这便是多元复合出数的树形图上求导法.不仅使函数的结构更加直观,而且也使求偏导数的“链锁”过程“脉络”清晰,因此更易于由树形图上作业,正确求得函数的偏导数.应指出不能盲目套用本法,要注意条件:因变量(即函数)存在连续的偏导数,中间变量分别存在偏导数. 3.4(当中间变量不只一层时，同样采取类似的分析方式 如，，，路径图为: u,u(x,y)w,w(x,u,v)v,v(x,y,u) ,x ,x, w,u,y ,x,u,y ,v,x ,y w,x,w,u,x;w,v,u,x w到x的路径有四条,分别为类似 w到y有三 wwuwvwvuw,,,,,,,,,(),,，,，,,，()条路径.所以 xu,v,yxuxvxvuxx,,,,,,,,, 7 ,w,w,u,w,v,w,v,w,v,u (),,，,，,，,,y,y,u,y,v,x,v,u,v,u,y ,x ,， , ，,路径图为w,f(u,v)u,u(x,y)v,v(x,y)x,x(r,,)y,y(r,,),x ,y ,u ,x ,y ,y w ,x， ,x ,y ,v ,x ,y ,y ,由路径图知,w是r，的复合函数.有四条路径:;w,rw,u,x . w,u,y,r;w,v,x,r;w,v,y,r ,w,w,u,x,w,u,y,w,v,x,w,w,y,w(),,,，,,，,,，,,所以:,类似的( ,,,x,u,x,r,u,y,r,v,x,r,v,v,r下面举例说明定理的意义: ,u[例1]设都具有连续偏导数,求. u,f(x,y,z),y,,(x,t),t,,(x,y),x本例中的中间变量和自变量混合在一起,为分辨它们,找出它们之间的内在 关系,可作树形图3: ,f ,f,x,,,x,x,,,x,y,y,x,,,x,x,f,,,x,f,t,y,y,t u,,,y,y,xu,,,y,y,,,x,x,t,t,,,x,,,t,,,t,,,z,,,x,t,z,z,z,x,z,,,z,,,x,f,z ,z,x 图3 图4 由图3可知,u是因变量，x,z是自变量;而对于中间变量y,t,t是关于x,z 的函数,y是关于x,t的函数,因而y是关于x,z的函数,记为y=y(x,z),于是 8 ,uu=f[x,y(x,z),z].把z视为常量,求u关于x的偏导数,记为;在u=f(x,y,z),x ,u中,把y,z视为常量,求关于x的偏导数,是与不相同的.为区别起见,将其记为,x ,f,或f.从u出发到达x有:这三条路径,仿例1u,x;u,y,x;u,y,t,x1,x 的做法得: ,u,f,f,y,f,y,t,u,,,,,,,f，f,,，f,,,,，,，,,或者 121221,x,x,x,y,x,y,x,x [注]若例1中z=z(x),则u=f{x,y[x,z(x),z(x)]},其树形图为图4.此时由u到达x的路径共有5条:;u,y,x;u,y,t,x; u,x u,y,t,z,x;u,z,x(于是按树形图上求导法可得u关于x全导 ,u,f,f,y,f,y,t,f,y,t,z,f,z,，,，,,，,,,，,数: ,x,x,y,x,y,t,x,y,t,z,x,z,x ,f,F,[例2]设F,f(x,y,xyz)具有二阶连续偏导数,求. 2,z,x 设u,x,v,xy,w,xyz则F,f(u,v,w),依次称u,v,w为第1，2，3个中间变量, ,,,,,,相应对f的偏导数依次记为f,f,f.应注意f,f,f仍然是关于u,v,w的函数,从123123 ,f而也是关于x,y,z的函数,且与函数F有着相同的树形图.将对第j个中间变量的1 ,,f偏导数记为自然还是关于u,v,w的函数.见图5和图6: ij ,u,x,u,x ,x,x,，，f,vi,1,2,3F,v i,y,y ,x,x ,w,y,w,y ,z,z 图5 图6 F,w,xF,u,x;F,v,x由图5可见F到达x的路径共有3条:，( 9 使用树形图上求导法得: ,F,f,u,f,v,f,w,,, (5) ,,，,，,,f，yf，yzf123,x,u,x,v,x,w,x 结合图6，对公式(5)再求对x的偏导数有: 2,Fdu,v,w,,v,wdu,vu,,,,,,,,,,,,,,,,,f,，f，f，yf,，f，f，yzf，f,()()(11121321222331322,xdx,x,x,,x,xdx,xx ,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，f),(f，yf，yzf)，y(f，yf，yzf)，yz(f，yf，yzf). 33111213212223313233,x 2,F此处注意: 是F=f(x,xy,xyz)对自变量x的二阶偏导数,将y,z视为常2,x 2,f,,f,量,而是F=(u,v,w)对u的二阶偏导数,将v,w视为常量,二者表示的意义112,u 为不同的. 此种情形还可以推广到n层复合的情形,其函数到某一最终变量的路径一般 n2为条,这里就不一一叙述了. 由上述实例不难看出,使用树形图上求导法,既能易于分清多元复合函数的结构,建立函数的导数链,又能以直观的方式进行“链锁合成”,帮助我们正确求出函数的偏导数.此法具有简明实用化难为易的特点,对提高教学效果,起到了事半功倍的作用. 综上所诉,在利用链导法则求多元复合函数偏导数时,首先分析其复合结构是非常重要的,在此基础上作出其求导路径图,直观地表明它们之间的关系,这也是链导法则图示的关键.这样做的好处在于,在求导过程中,无论变量之间的关系如何错综复杂,只要路径图一旦正确建立,区分清楚是几条路径及每条路径有几个箭头,则相应的求导式子便可得出.此种方法在多元复合函数的复合结构比较复杂的情形下较其它方法简洁,优越性更加突出. 10 致 谢 首先，我要衷心感谢程荣福老师，我能够顺利完成论文的写作，凝聚着程老师的心血与汗水(程老师严谨的治学态度和系统的科研思路让我受益终生(同时，程老师平易近人、和蔼可亲的生活作风也给我留下了深刻的印象(论文在资料调查和撰写中，得到了程荣福老师的热心帮助，感谢老师对我的精心指导，我的每一点进步都倾注着他的心血(程老师工作严谨细致，一丝不苟，孜孜不倦的求学精神和诲人不倦的育人风范使我感慨良多(师恩难忘,是我工作和学习的榜样，为我今后的学习生活树立了榜样(感谢曾帮助我的老师们，是他们用辛勤的汗水 11 培养了我(每一份情义都让我铭记在心(言语之陋难以尽述感激之情，谨以此文 略表我对你们的深深谢意和衷心祝服( 同时感谢数学系各位老师的关心和教育, 感谢我的同学对我的帮助, 感谢我 的家人的支持和鼓励! 参考文献 [1]申京浩, 杨奎元, 吕凤. 数学分析[M]. 沈阳:辽宁人民出版社,1985. 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