常见函数的泰勒级数展开

常见函数的泰勒级数展开 泰勒级数的定义: 若函数f(x)在点的某一临域内具有直到(n+1)阶导数，则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为: 其中:，称为拉格朗日余项。 以上函数展开式称为泰勒级数。 泰勒级数在幂级数展开中的作用: 在泰勒公式中，取，得: 这个级数称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。 注意:如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f(x)。因此，如果f(x)在处有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f(x)都需要进一步验证。 几个重要的泰勒级数。x 为复数时它们依然成立。 , 指数函数和自然对数: , 几何级数: , 二项式定理: , 三角函数: , 双曲函数: , 朗伯W函数: